精品解析：上海市外国语大学附属大境中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

上外附属大境中学二0二五学年度第一学期期末调研考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则 ____________. 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 3. 已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则_________． 4. 函数过定点________. 5. 若的最小值是___________． 6. 在等比数列中，，则__________. 7. 已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则______________. 8. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 9. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 10. 已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数__________. 11. 关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是_____. 12. 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是_________（填写序号） ① ② ③ ④0 二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 16. 已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数a，存在奇数个零点 则下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 三、解答题（本大题共5题，8+8+8+12+14，共50分） 17. 设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 18. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最大项. 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 20. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 21. 如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”. （1）试判断函数是否为“可拆分函数”？并说明理由； （2）证明：函数为“可拆分函数”； （3）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学二0二五学年度第一学期期末调研考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 3. 已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解 【详解】因为角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点， 所以， 故答案为： 4. 函数过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 5. 若的最小值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式可直接求得结果． 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 6. 在等比数列中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质易得结果. 【详解】由题意，可得，所以. 故答案为：. 7. 已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】因为是幂函数， 所以,即，所以或， 当时，易知该幂函数的图象经过第一、三象限，满足题意； 当时，易知该幂函数的图象经过第一、二象限，不满足题意. 故答案为：. 8. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 9. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，，再利用无穷等比数列和的公式求解即可. 【详解】因为无穷等比数列，，则，， 又， 所以，解得或（舍）. 故答案为：. 10. 已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数__________. 【答案】或0 【解析】 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 11. 关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】换元令t＝2x，则t∈[，2]，转化为考虑方程k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0的根的问题. 【详解】令t＝2x，则t∈[，2]， ∴方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0，化为:k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0， 根据题意，此关于t的一元二次方程在[，2]上有零点， 整理，得:方程k(t2﹣2t+6)＝30，当t∈[，2]时存在实数解 ∴k，当t∈[，2]时存在实数解 ∵t2﹣2t+6＝(t﹣1)2+5∈[5，6]， ∴k∈[5，6]， 故答案为[5，6]. 【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法，将问题转化为二次方程的根的问题，常用分离参数求解. 12. 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是_________（填写序号） ① ② ③ ④0 【答案】② 【解析】 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】由题意可得，问题可转化为圆上有12个点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合， 则通过代入和赋值的方法，当时，此时得到圆心角为， 然而此时或时，都有2个与之对应， 根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”， 因此，只有当时，此时旋转，满足一个对应一个， 所以的可能值只能是. 故答案为：② 二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析每一个选项判断得解． 【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确； 对于选项B，因为，所以，所以该选项正确； 对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误； 对于选项D，所以，所以该选项正确． 故选：C 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示， 令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 16. 已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数a，存在奇数个零点 则下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】D 【解析】 【分析】根据值域中不含负无理数可判断①；根据为有理数或为无理数，解出可判断②. 【详解】对于①，因为，显然的值域中不含负无理数， 故的值域不为，故错误； 对于②，的零点，即为有理数或为无理数， 对于为有理数，必有解， 对于为无理数，必有解或无解， 故零点有三个或一个，故正确； 故选：D 三、解答题（本大题共5题，8+8+8+12+14，共50分） 17. 设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1） ，，. （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据列不等式即可求得答案. 【小问1详解】 当时，由得，所以. 由得，所以， 所以. 【小问2详解】 由得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最大项. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 20. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 21. 如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”. （1）试判断函数是否为“可拆分函数”？并说明理由； （2）证明：函数为“可拆分函数”； （3）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围. 【答案】 (1)假设是“可分拆函数”，则存在，使得 即 ，而此方程的判别式 ，方程无实数解， 所以，不是“可分拆函数”． (2)令， 则， 又 故， 所以在上有实数解，也即存在实数，使得 成立， 所以 是“可分拆函数”． (3) . 【解析】 【详解】试题分析: （1）按照“可分拆函数”的概念，只需方程有根即可，据此判断； （2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号即可证明结论； （3）若函数在（0，+∞）上为可分拆函数，只需方程在该区间上有实根，然后借助于换元的方法，将，然后分离参数方法，即可求出的取值范围． 试题解析： （1）略 （2）略 （3）因为函数为“可分拆函数”， 所以存在实数，使得=+， =且 ，所以 ， ,则 ,所以 ， 由得 ，即的取值范围是 ． 【点睛】本题主要考查了抽象函数及其应用，着重考查方程思想，考查构造函数思想及零点存在定理，分离常数法的综合应用，属于难题，考查创新概念及其应用，综合性强，解决本题的关键在于“转化”能力，很多问题是通过“化难为易”，“化生为熟”来解决的，对学生的发散思维能力要求较高，同时求满足条件的参数的取值范围的题目也是高考中常考的题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $