北京市石景山区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025—2026学年第一学期高二期末试卷 数学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知直线1的一个方向向量是v=(3,4),则直线1的斜率是() A.4 B.3 c.-3 D.-4 4 2.在(2+x)的展开式中，x2的系数为（) A.10 B.20 C.40 D.80 3.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论错误的是() A.a+b=(10,-5,-2) B.l4=6 C.a.b=22 D.a-b,b,a+b能构成空间向量的一组基底 4“曲线+ =1表示椭圆”是0<m<2”的() m 2-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高二数学试卷第1页（共7页) 双曲线cya>0的一个焦点为2,0，则C的离莲 A.5 B.2W3 c. 3 D.2 2 3 2 6.将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有()种 A.28 B.20 C.14 D.11 7.如图1，设抛物线C:x2=4y的焦点为F,过x轴上一点A作直线1交C于B,D两 B 点，若F四=3，FD=7,则 D =() B. 1 B A.4 3 2-7 C. 9 图1 8.如图2，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比 为1：4，则侧面与底面所成的二面角为() p A. B. 4 D. -3 图2 9如图3，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN=2. 则AM+A的最小值为() A.4 B.2W13 C.8 D.4W5 图3 高二数学试卷第2页（共7页) 10.如图4，AB是平面a的斜线段，A为斜足，点C满足sin∠CAB=sin∠CBA(2>O), 且在平面x内运动，则() A当2时，点C的轨迹是椭圆 B.当2=1时，点C的轨迹是抛物线 C.当九=2时，点C的轨迹是圆 D.当λ=3时，点C的轨迹是双曲线 图4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 I1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于一 12.若抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2)，则抛物线C的准线方程为 13.若(x-2)=a+ax+a2x2++a6x5则a=—；la+l%+%++a= (用数字作答) 14、若直线)=x-)与双曲线C:花y2=1只有一个公共点，则长的一个取值 为 ;若直线1与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，则k的取值范围 为 高二数学试卷第3页（共7页） 15.已知曲线C:ax2+by2+y=1(a,b是常数)，P,2为曲线C上不同的两点，给出下 列四个结论： ①若a=b,则曲线C关于直线y=x对称； ②若a+b=0,则曲线C恒过两个定点； ③若a=b=l,则P,0可能位于直线x+y= 23的两侧： 3 ④若a=b=1,圆M:x2+y2=2,则所有P,2均在圆M上或圆M内； 其中所有正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分13分) 已知A(4,3),B(5,2),C(1,0)是圆M上的三点，D(2,3). (I)判断A,B,C,D四点是否共圆，并说明理由； (Ⅱ)过点D的直线1被圆M截得的弦长为4，求直线I的方程， 高二数学试卷第4页（共7页) 17.(本小题满分14分) 如图5，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，平面EAD⊥平面ABCD, DLFC,EF CD,EF=ED2CD.点M在棱C上，平面DM与棱FB交于点N (I)求证：CD⊥EA; (Ⅱ)求证：AD∥MN; (Ⅲ)若平面ADE∩平面BCF=1,求二面角A-I-B的大小. D A 图5 18.(本小题满分14分) 已知椭圆C:x2+2y2=4. (I)求椭圆C的短轴长和离心率； (Ⅱ)过点M(L,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点，若弦AB的中点为M,求直线1的方 程与弦AB的长 高二数学试卷第5页（共7页） 19.(本小题满分15分) 如图6，在△MBC中，BM⊥BC,A,D分别为边MB,MC的中点，且BC=AM=2, 将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB,如图7，连接PB,PC. P(0 B D B 图6 图7 (I)求证：PA⊥平面ABCD; (Ⅱ)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；： (Ⅲ)线段PC上是否存在点G,使平面GAD与平面PAD的夹角正弦值为5 若存在， 5 心的值：若不存在，请说明理由。 求出PG 20.(本小题满分15分) 已知椭圆严：。+a>6>0的左右项点分别为么B,=4,离心率为 (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)经过点P(1,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合).直线CB 与直线x=4相交于点M,求证：A,D,M三点共线. 高二数学试卷第6页（共7页） 21.(本小题满分14分) 已知有序数对X:(x1,x2,x3),有序数对Y:y1,y2,y3),定义“T变换”： 上=2-y2=3一x2=x3一通过“T变换”可以将有序数对X转化为有序数对 Y. (I)写出有序数对X:(2,6,4)经过3次“T变换”后得到的有序数对； (Ⅱ)若有序数对X:(x,x2,x)经过一次“T变换得到有序数对Y:(y,2,x)(x≥y),且有序 数对Y的三项之和为4050，求之的值： (Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，有序数对Y经过k次“T变换”后得到有序数对三项之和最小， 求k的最小值. 高二数学试卷第7页（共7页） 2025—2026学年第一学期高二期末 数学试卷答案及评分参考 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A B C B B c 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 题号 11 12 13 14 15 答案 -2 x=-1 64,665 浴案不啡)，) ①②④ 三、解答题：本大题共6个小题，共85分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分13分) 解：(I)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. [25+4D+3E+F=0 则}29+5D+2E+F=0.解得D=-6,E=-2,F=5. 1+D+F=0 所以圆M的方程为x2+y2-6x-2y+5=0 代入D(2,3)圆的方程，4+9-12-6+5=0. 故点D在圆M上，即A,B,C,D四点共圆！ …6分 (2)当直线l的斜率不存在时，对于(x-3)2+(y-1)2=5,令x=2,得y=3或y=-1. 此时弦长为3-(（-1)=4，符合题意，故直线1的方程为x=2 当直线l的斜率存在时，设y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0」 于是圆心M(3,)到直线的距离为d=Bk-】2k+3引+2 Vk2+1 Vk2+1 高二数学答案及评分参考第1页（共7页） 则4=2 k+2 解得k=-3故直线1的方程为3x+4y-18=0. Vk2+1 综上所述，直线1的方程为x=2或3x+4y-18=0」 …13分 17.(本小题满分14分) (I)因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD 又因为平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD 所以CD⊥平面EAD EAC平面EAD,所以CD⊥EA …4分 (IⅡ)因为ABCD为矩形，所以AD/IBC, 因为ADt平面FBC,BCC平面FBC,所以ADI/平面FBC. 又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,且ADC平面ADMN, 所以AD/MN. …8分 (IⅢ)因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 因为AD⊥FC,且FC∩CD=C,FC,CDC平面CDEF,所以AD⊥平面CDEF, 由(I)知CDL平面ADE,因为DEC平面ADE,所以CD⊥DE. 所以DA,DC,DE两两互相垂直.建立空间直角坐标系D-xz. 不妨设EF=ED=1,则CD=2,设AD=a(a>0). E 由题意得，A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0), D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1). 所以CB=(a,0,0),C℉=(0，-1,1)，设平面FBC的 法向量为元=(sy=,则nC5=0即 =0, 元C℉=0， -y+z=0. 令z=1,则y=1,所以i=(0,1,1): 高二数学答案及评分参考第2页（共7页) 又平面4D的法向量为文=(02.0)，所以snDC-号 DC D2 因为二面角A-1-B的平面角是锐角，所以二面角A-1-B的大小为45°.…14分 18.(本小题满分14分) (0由x2+2y2=4得+y =1 42 所以a=2,b=√2，c=√2 所以短轴长为2b=2W2,离心率e-C2 ……6分 a 2 (Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-1=k(x-1) y-1=k(x-1) 联立 x2+2y2=4 消去y得 1+2k2)x2-(4k2-4)x+2k2-4k-2=0 设A5D.B所以五+x气44=24收 1+2k2 由M为A,B中点得x+:2=2,解得k=-】 所以直线直线1的方程为：x+2y-3=0. A8=a+k3[G+x)P-4,]=3 …14分 3 19.(本小题满分15分) 解：(I)因为A,D分别为MB,MC的中点，所以AD∥BC. 因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD, 又PA⊥AB,ABOAD=A,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. …4分 (I)因为PA⊥AB,PA⊥AD,∠DAB=90°，所以AP,AB,AD两两垂直. 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A-z, 高二数学答案及评分参考第3页（共7页)