6.4 实践与探索 第一课时 ——配套问题 教学设计2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学七年级下册 6.4 实践与探索 第一课时 ——配套问题 一、教学内容解析 1. 内容 根据现实情境理解方程的意义，能依据具体问题列出方程；理解方程解的意义，在具体的实际问题情境中对方程的解进行具体分析。 2. 内容解析 本节课选自华东师大版七年级下册第六章《一次方程组》第 4 节实践与探索，是单元教学的收官内容，共安排两个课时。本单元以“一次方程组的概念、解法”为基础，以“应用一次方程组解决实际问题”为核心，而本课时是在学生掌握二元一次方程组解法及列方程解基础实际问题后，增设的探究性进阶内容。 二元一次方程组是初中数学“代数与代数运算”领域的核心基础，在新课标理念下，其不仅是求解未知量的工具，更是学生构建方程模型、用数学方法分析并解决现实问题的关键载体。同时，一次方程组中蕴含的“变量对应”、“等量关系分析”思维，是后续学习函数（尤其是一次函数）的重要铺垫，而本节课对“方程解的意义”的深化分析，更是衔接“数学运算”与“现实应用”的核心纽带。因此，设计本节探究活动课，既是对单元知识的综合运用，更是落实新课标“从数学知识到数学素养”转化的必要环节。 本节课聚焦“列二元一次方程组解决生活中的配套问题”，教学以“包装盒材料节约”为真实情境切入点，通过视频呈现现实问题，自然引出课题。课堂以问题串为驱动，引导学生经历“观察情境—提取信息—分析等量关系—建立方程组—求解检验—解释实际意义”的完整过程，完成“现实问题—数学模型—实际方案”的完整转化，着力培养学生的数学建模素养、逻辑推理素养与数学运算素养。 基于以上分析，本节课的教学重点是：理清问题情境中的等量关系，并根据等量关系列出方程组，实现“现实问题”到“数学模型”的精准转化。 二、教学目标设置 1.课标要求 能立足“包装盒材料分配”等配套生产真实情境，理解方程是对现实等量关系的符号化表达、方程的解是对应实际问题（如材料分配方案）的数学结果；能据此梳理数量关系列出二元一次方程组，并结合生产实际分析解的现实合理性，从而设计出最优方案。同时在这一过程中发展数感与运算能力，初步建立用方程模型解决实际问题的思维，落实“用数学语言表达现实世界”的核心素养。 2.目标 （1）通过思考、讨论、探索配套问题中的数量关系，建立方程模型，提升抽象能力与建模素养； （2）经历用二元一次方程组探索、解决配套问题的全过程，知道配套问题中蕴含的基本的等量关系和一般解题规律，强化逻辑推理的严谨性和数学运算素养； （3）通过在开放性问题中探索合适的配套方案，培养学生分析、解决问题的能力，体会数学实际应用价值，深化数学建模与数据分析素养。 三、学生学情分析 从知识基础看，学生已具备了列、解二元一次方程组的相关知识，并积累了相关的实践与探究的经验。从思维与能力层面，七年级学生已经具备初步的方程思想和初步的数学抽象思维，而且七年级学生积极性高，乐于思考，具备初步的自主合作探究的学习能力，为本节课的进一步学习奠定了良好的基础。 然而，七年级是学生数学思维从“具象运算”向“抽象建模”过渡的关键阶段，建模思想仍处于初步感知层面。当前学生的核心认知难点集中在两点：一是“找关系”的思维卡点——虽能列解方程组，但面对配套问题中“资源总量”与“部件比例”交织的复杂情境，常因难以精准梳理核心等量关系，导致方程组列写偏差；二是“联现实”的思维盲点——求解后易将方程的解等同于最终答案，忽略结合“材料数量为正整数”、“需满足配套比例”等实际情境，分析解的现实合理性，难以实现“数学解”到“实际方案”的转化。 基于以上分析，本节课的教学难点是：会对具体的实际问题情境中方程的解进行具体分析。 四、教学策略分析 本节课围绕“配套问题中理解方程意义与分析方程的解”，结合七年级学生思维特点，采用“情境具象化+问题串分层导学+小组合作探究+精准反馈纠错”的整合教学策略： 1.通过“快递行业迅猛发展背景下，包装盒需求激增与材料消耗现状”视频，帮助学生直观感知“材料有限性”与“包装需求”之间的现实约束； 2.通过“提取信息—建方程—析解”阶梯式问题串，引导学生自主搭建“现实—等量关系—方程—解的检验”的完整逻辑链，掌握用方程刻画配套； 3.借助小组合作完成“列方程—求解—验解—写方案”任务，在互动中补全思维漏洞、强化数学表达； 4.最后针对“配套比例列反”、“未检验解的现实合理性”等典型错误精准点拨，引导学生修正思维偏差，最终实现学生深度理解“方程是现实数量关系的数学表达、方程的解需适配实际情境”的核心内涵。 五、教学过程 （一）复习回顾，巩固旧知 上一节课，我们已经学习了如何利用二元一次方程组求简单的实际问题，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的一般思路吗？ 审、设、列、解、验、答 【设计意图】通过回顾二元一次方程组解决实际问题的步骤，为解决配套问题做铺垫。 （二）联系生活，提出问题 引导语：快递已深度融入日常生活，海量包装盒的生产却带来资源消耗与环境压力。如何合理分配材料、提高资源利用率？这一社会焦点问题，本质上是典型的“配套问题”。今天，我们就从这里出发，一起探寻用数学思维解决配套问题的方法。 问题 1：如何根据配套问题列出二元一次方程组？ 【设计意图】通过直观呈现行业发展与资源消耗的现实场景，让学生深切体会能源节约的必要性，进而增加学生的求知欲，体会数学与生活的联系。 （3） 合作实践，解决问题 例题 1 用 20 张卡纸做长方体包装盒，一部分做侧面，另一部分做底面.每张卡纸可以做侧面 2个或者底面 3 个，如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分配卡纸才能使做成的侧面和底面正好配套？请大家用所学知识设计配套方案。 思考1: 如何理解正好配套？ 思考2: 题目中有哪些已知量和未知量？ 师生活动：学生口答，教师板书： 正好配套：就是侧面个数与底面个数比正好为 1：2。 已知量：共有 20 张白卡纸；每张白卡纸可制作 2 个侧面，或者 3 个底面；1 个侧面和 2 个底面能做成 1 个包装盒。 未知量：用几张白卡纸做侧面？用几张白卡纸做底面？ 【设计意图】通过思考1将“正好配套”抽象为“侧面:底面=1:2”的数学关系，思考2梳理已知量与未知量，既培养数学抽象、建模素养，也适配七年级思维，为小组定位等量关系及列方程组铺垫基础。 思考3：如何将实际问题转化为数学问题？ 师生活动：学生共同确定通过建立方程或者方程组将实际问题转化为数学问题，教师引导建立方程组首先需要设元，根据思考2知有两个未知量，则可设用x 张白卡纸做侧面，y 张白卡纸做底面，而建立正确方程组的关键是找出正确的等量关系。 思考4: 题目中有哪些等量关系？ 解：设用x 张白卡纸做侧面，y 张白卡纸做底面。 等量关系一 得到方程 等量关系一 得到方程 师生活动：学生独立思考，之后给学生充足的时间进行交流分享，然后写在学案上，学生代表上台讲解思路，教师巡视指导. 生1：等量关系一：做侧面的白卡纸张数+ 做底面的白卡纸张数=20 得到方程：x+y=20 生2：等量关系二：侧面个数与底面个数之比= 1：2 得到方程：2x：3y= 1：2 师：还有同学有补充吗？ 生3：2x：3y= 1：2是一个比例式，要根据比例的基本性质“两个外项积等于两个内项积”，将其转化为等量关系：2×2x = 3y。 从而得到二元一次方程组，解得 . 【设计意图】借助列表分析法，能帮助学生更直观地梳理配套问题中的已知条件与未知量，从而快速定位其中的等量关系；在此基础上，再引导学生依据比例的基本性质，总结并掌握这类问题中等量关系的核心规律，逐步培养起方程建模的思想方法。 追问1：方程组的解不是整数，这意味着什么？ 师生活动：教师展示非整数解，引导学生讨论后，师生共同明确：这意味着卡纸无法正好配套，会有卡纸剩余，不符合实际情境。 【设计意图】借非整数解的冲突，打破“方程有解即符合实际”的误区，让学生重视用现实约束（卡纸为整张）检验方程的解，深化数学建模素养。 追问2:由于实际生产中材料分配需为整数，那么该如何调整x、y 的取值才合理呢？ 师生活动：教师提示可对方程组的解采用“进一法 ”和“去尾法 ”取整分析。 【设计意图】借“进一法”和“去尾法”的提示，激发学生进一步探索卡纸配套方案的兴趣。 活动1 为了不浪费资源，如何分配白卡纸才能使做出的包装盒最多？最多能做多少个？ 设计方案 x 和 y 的解 侧面 2x 个，底面 3y 个 包装盒个数 剩余数量 综合以上三种方案，最多可以制作 16 个包装盒。 从结果分析来看，选用方案____更能减少浪费。应分配____张白卡纸做侧面， ____张白卡纸做底面. 最多可以做____个包装盒。 师生活动：学生独立思考后与同伴分享交流，写出设计方案： 生1：对x、y均采用去尾法可得x=8、y=11，可制作16个侧面、33个底面，因为16个侧面需要32个底面，所以可以做成16个包装盒，剩余1张卡纸和1个底面； 生2：对y采用进一法可得x=8、y=12，可制作16个侧面，36个底面，同样只能做成16个包装盒，剩余4个底面； 生3：对x采用进一法可得x=9、y=11，可制作18个侧面，33个底面.而18个侧面需要36个底面，但实际仅有33个底面，所以只能做成16个包装盒，剩余2个侧面和1个底面。 从结果来看，每种结果都有白卡纸剩余，选用方案1，更能减少浪费。最多可以制作16个包装盒。 【设计意图】通过现实生活中的配套问题，抽象出配套问题的本质。在此基础上，以方程的解为非整数解为抓手，在分析 x、y 取值的过程中，逐步培养数学分类思想，引导学生在具体问题情境中寻找最合适的解，从而培养学生的分类讨论思想和应用数学的意识。 活动2 如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分配这些白卡纸才能既使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？ 师生活动：学生独立完成后进行交流分享，小组代表上台展示。 生：将剩余的1张白卡纸裁出1个侧面和1个底面，与多出来的1个底面再做一个包装盒，就正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料。 师：同学们从节约能源与资源充分利用的角度，结合不套裁与套裁两种方式，通过二元一次方程组解决了卡纸配套问题。套裁指的是在同一块材料上，同时规划裁剪出多种不同形状、尺寸的部件，以最大化利用材料、减少浪费的裁剪方法。 【设计意图】让学生感悟数学在合理规划资源中的工具性作用，理解现实生活中当材料无法正好配套时，可通过套裁方式充分利用材料，进而渗透“节约是美德”的教育，同时引导学生体会数学来源于生活又应用于生活的本质，提升解决实际问题的核心素养。 活动3 20张白卡纸不套裁不能正好配套，在不套裁的前提下，该如何调整白卡纸的数量使得侧面和底面正好配套？ 师生活动：小组讨论交流，并展示方案。 生1：根据方案1，剩余的1张卡纸做2个侧面，要再添加1张卡纸做3个底面，加上原本多出的1个底面，正好配套。因此添加1张卡纸做3个底面。 序号 剩余数量 添加数量 方案1 1张卡纸和1个底面 添加1张卡纸做3个底面 生2：根据等量关系：4x=3y，由比例的基本性质可得：x：y=3：4，由比例关系可知，每7张卡纸能恰好组成一套。因为7的倍数都能满足配套要求，而7×3 = 21，即21张卡纸可完整配套。目前已有20张卡纸，因此只需再添加1张白卡纸，便能达成配套条件。 【设计意图】考虑到学生应用数学意识能力的不同，预设多种回答情况，以便在课堂上灵活运用．通过多角度启发学生寻找问题的解法，使学生在深度思考过程中，积极思辩，批判质疑，进行思维碰撞，互相启迪，合作辨析，参悟原理，获得发现，从而实现数学思维与能力的进阶。 师生活动：教师引导学生共同归纳配套问题的解题方法：定配套比→设元→列方程组→检验→找最优方案。 【设计意图】先通过步骤化归纳帮助学生梳理配套问题的解题逻辑，建立清晰思维框架，再用课堂检测习题巩固强化对方法的理解与运用，让学生从“懂方法”落实到“会解题”，提升解题能力与应用意识。 （4） 课堂检测，强化应用 现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可制8个盒身或 22个盒底，一个盒身和两个盒底可配成一个完整的盒子。问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 师生活动：学生独立完成并将完整过程写在学案上，教师巡视指导，投影展示学生的做法，学生代表上台讲解解题思路，教师补充，最后师生共同总结解决配套问题的完整步骤。 【设计意图】通过知识的实际应用，培养学生的抽象思维与用数学解决问题的意识，让学生切实体会数学与生活的紧密联系。 （五）课堂交流，学有所获 1.请梳理并说一说，本节课研究问题的整体思路是怎样的？ 2.在本节课的学习中，你掌握了哪些数学思想方法？ 【设计意图】通过开放式小结，使学生自主回顾、总结梳理所学知识，培养学生归纳、概括和表达能力.最后教师引导学生以思维导图的形式，助力学生梳理解决实际问题的完整流程步骤，提炼其中蕴含的数学思想方法，深化对数学本质的理解，进一步领悟方法、思想与本质的内在关联，最终有效落实以数学思维思考现实世界的核心素养培养目标。 （六）课后作业，评价反馈 1.基础性作业： 某车间有60名工人，生产甲、乙两种零件，平均每人每天能生产甲种零件24个或乙种零件12个。已知2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 2.拓展性作业： （1）设想 20 年后的新兴行业（如太空种植基地），借助豆包或DeepSeeK 设计与配套问题相关的数学场景，提出具体问题并写出详细解答思路。（例如：在太空种植基地中，一套植物生长舱需要搭配 2 个营养液循环器和 3组光照调控设备，若基地要扩建 100 套生长舱，总共需要采购多少个配套设备？ 请说明解题步骤与关键逻辑。 （2）完成学习评价表。 学习评价表 组长： 评价者： 评价者组别： 分值 自评得分 互评得分 课前准备（25）用数学的眼光观察 长方体模型的制作 5 配套问题中的比例关系 10 关于配套组合的其他生活实例 10 课上任务（25） 用数学的思维思考 理清题目中的等量关系 10 方程组的解不是整数时根据实 际问题意义找最合适方案 15 课堂展示（30） 用数学的语言 表达 是否主动展示 5 展示语言规范，清晰明确 10 针对提问回答准确 10 能在规定时间内完成 5 小组协作学习 （20 分） 小组成员能和谐相处 5 小组成员分工明确 5 小组成员高效解决问题 10 总分 100 在今天的课堂环节中，最大的收获是： 探究过程中遇到的困难是： 解决办法是： 教师综合评价 A B C D 【设计意图】通过基础性作业检测考查学生能否掌握本节课所学的知识，拓展性作业以开放性题目培养学生的发散性思维，激发学生的跨学科思维、创新能力及社会责任感；通过学习评价表多方面、多角度地总结评价学生在数学探究课的学习过程中的表现，在生生互评与教学评一体化的双重作用下，使学生的学习体验更加丰富多彩，让评价成为推动教学进步的重要力量。 （七）板书设计 6.4实践与探索（1） ——配套问题 1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ①审题 ②设元 ③列方程组 ④解方程组 ⑤检验作答 2.例题1： 已知量： 未知量： 3.配套问题解题方法： 设元→定比→列等式→求解验配 六、课堂教学目标检测 1.填空 （1）用铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。若用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底能使盒身与盒底正好配套，则可列方程为 。 （2）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓配两个螺母。设安排m名工人生产螺栓，n名工人生产螺母刚好配套，则m + n = ，且可列方程 。 （3）用90根相同的钢管搭建支架，每搭建一个支架需要3根长钢管和2根短钢管（钢管仅分长短两类），设搭建x个支架用了长钢管，y个支架用了短钢管且刚好用完钢管，则x与y的数量关系为 ，且3x + 2y = 。 【设计意图】3道题梯度覆盖配套问题核心要点，从单一等量关系提炼到多维度关系整合，再到新场景模型迁移，分层检测基础建模能力，锻炼逻辑推理素养，夯实“用数学符号表达数量关系”的数学抽象素养，对标“掌握基本等量关系”的目标。 2.解答题 某服装厂要制作一批工装，每件工装需要1件上衣和2条裤子。现有150米布料，每2米布料可做3件上衣，每3米布料可做5条裤子。设用a米布料做上衣，b米布料做裤子，恰好能使上衣和裤子配套制成工装。 （1）求a与b的数量关系（用含a的式子表示b或含b的式子表示a）； （2）求用多少米布料做上衣，多少米布料做裤子？ 【设计意图】以生活场景为载体，通过“推导关系+求解方案”两问，完整检测二元一次方程组解决配套问题的全流程，强化综合应用能力，培养“用数学思维解决现实问题”的数学应用意识，呼应“体会数学价值、培养解题能力”的目标。 七、教学反思 教学亮点： 1.学情分析精准，教学靶向性强：课前通过问卷采集数据，明确学生在“配套等量关系理解”和“卡纸分配问题”上的薄弱点，以此为依据制定教学方案，避免盲目教学，让课堂内容更贴合学生需求。 2.新旧知识衔接巧妙，突破难点高效：针对配套等量关系这一难点，引入小学阶段已学的“两个外项积等于两个内项积”公式，搭建起知识桥梁，帮助学生快速关联已知与未知，顺利掌握解题关键，高效突破教学重点。 3.复杂问题可视化，学生理解更直观：面对卡纸分配结果出现分数的复杂情况，采用列表格的方法，将抽象的数学关系转化为清晰的表格呈现，引导学生分情况讨论，使学生快速理解不同分配逻辑，降低学习难度。 4.以核心素养为导向，问题链设计进阶：围绕数学学科核心素养，以问题为主线设计教学，结合学情打造进阶式问题链。例如通过活动2的问题“20张白卡纸不套裁无法正好配套，如何设计方案实现正好配套？”引导学生想到“添加白卡纸”；再以活动3的问题“至少添加多少张白卡纸能让侧面与底面正好配套？”引发深度思考，有学生借助比例关系逆运用，得出“卡纸为7的倍数即可配套”，进而找到“只需添加1张”的答案，有效发展学生思维与问题解决能力。 教学不足：在活动2“如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分配这些白卡纸才能既使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？”的处理上，由于课堂时间的局限性，未引导学生关注“新增裁制方式使变量增至3个”的变化，未搭建“多变量情境与三元一次方程组”的关联，错失培养多变量问题建模思维的机会，难以自主用三元一次方程组精准解决问题。 改进措施：在活动2教学中，首先引导学生对比变量变化，建立三元一次方程组与多变量情境的关联；其次依托列表分析法，组织小组合作探究，通过“各分配方式下侧面、底面的总产量如何表达？”“配套比例（1侧配2底）如何转化为数量等式？”等靶向提问，帮助学生精准推导核心等量关系，构建规范的三元一次方程组；最后开展方法对比研讨，引导学生分析“算术试算”的局限性与“三元一次方程组”的逻辑性、普适性差异，总结“多变量问题用多元方程建模更精准”的结论，帮助学生形成“遇多变量先设未知数、再找等量关系”的解题思路。 学科网（北京）股份有限公司 $