精品解析：上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷 2026.01 (满分100分， 时间90分钟) 一、填空题(本大题共有10题，每题4分，满分40分) 1. 已知集合，，则__________． 2. 扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的面积为__________. 3. 已知，试用表示__________． 4. 设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数__________． 5. 已知角的终边经过点，则_________. 6. 已知实数 满足，则的取值范围是________． 7. 在中，若，，，则的面积是________． 8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为________． 9. 中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 10. 设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为__________. 二.选择题(本大题共有3题， 每题4分， 满分12分) 11. 如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （    ） A. B. C. D. 12. “”是“角为第二象限角”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 对于函数，若存在，使得成立，则称函数是“准奇函数”，为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数，使得有无数个“准奇值”. 下列判断正确的是（　　 ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三.解答题(本题共5道题，8+8+10+10+12，满分48分) 14. 已知函数的定义域为，的定义域为. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 15. 已知函数（为常数）是奇函数. （1）求的值与函数的定义域. （2）若当时，恒成立.求实数的取值范围. 16. 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值 （2）若，，分别求和的值． 17. 某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. （1）设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； （2）该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 18. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”，若不存在，请说明理由； （3）求函数在区间上的所有“Γ区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷 2026.01 (满分100分， 时间90分钟) 一、填空题(本大题共有10题，每题4分，满分40分) 1. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程化简集合，再根据集合的概念和表示方法求解即可. 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 2. 扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的面积为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】直接利用扇形的面积公式求出扇形的面积即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2 ,半径为3 , 所以扇形的面积. 故答案为：9. 3. 已知，试用表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数运算性质，，代入求解即可. 【详解】由， ∵， ∴， ∴=， 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算性质，主要考查计算能力和对数运算性质的灵活应用，属于基础题. 4. 设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的性质来解答即可. 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 5. 已知角的终边经过点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义，以及诱导公式和二倍角正切公式，直接求出结果即可. 【详解】由任意角的三角函数的定义可知， 所以； 故答案为：. 6. 已知实数 满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】因为， 则原方程变形为， 因为，当且仅当时取等号， 即时，等号成立． 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7. 在中，若，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性，判断复合函数单调性，根据函数零点的性质，解不等式即可. 【详解】设函数，定义域为， 根据对数函数和一次函数单调性可得和都是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 9. 中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和两角和的正弦公式解三角形，再根据正弦定理求出三角形外接圆半径的表达式，进而求出结果. 【详解】已知，，所以，， 则， 对于，根据正弦定理可得，则； 对于，根据正弦定理可得，则； 则. 故答案为：. 10. 设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是偶函数求出，再由函数的单调性及对称性可得. 【详解】由是偶函数可得，即， 所以，设，任取，则， 所以在上单调递增，也即在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以的最小值在对称轴处取得，即. 故答案为： 二.选择题(本大题共有3题， 每题4分， 满分12分) 11. 如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，以及指数函数的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】因为，则，，即，所以，所以A成立； 因为，则，所以，所以B不成立； 因为，根据指数函数性质得，所以C成立； 因为，则，所以，所以D成立； 故选：B． 12. “”是“角为第二象限角”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 13. 对于函数，若存在，使得成立，则称函数是“准奇函数”，为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数，使得有无数个“准奇值”. 下列判断正确的是（　　 ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】命题①根据“准奇函数”的定义，按和分类讨论，判断是否有解即可；命题②根据“准奇函数”的定义，当时，令，解出的值即可判断. 【详解】对于命题①：当时，；当时，， 若是“准奇函数”，需存在使得，分两种情况讨论： 1）若，则，，， 代入得，显然，即无解； 2）若，则，，， 代入得，即， 因为，，所以无解； 综上不存在满足条件，即不是“准奇函数”，命题①为真命题； 对于命题②：当时，，当时，， 若是“准奇函数”，需存在，使得， 若，则，代入得，解得， 因此存在实数，使得有无数个“准奇值”(所有均为准奇值)，命题②为真命题， 故选：A 三.解答题(本题共5道题，8+8+10+10+12，满分48分) 14. 已知函数的定义域为，的定义域为. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根式和分式有意义求出集合，再根据集合交集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，即， 所以，解得， 要使函数有意义，则，即， 解得，即， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 因为，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围是 15. 已知函数（为常数）是奇函数. （1）求的值与函数的定义域. （2）若当时，恒成立.求实数的取值范围. 【答案】（1），定义域为或；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域； （2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，所以， 即， 所以，令，解得或， 所以函数的定义域为或； （2）， 当时，所以，所以. 因为，恒成立， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型. 16. 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值 （2）若，，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. 【小问2详解】 由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 17. 某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. （1）设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； （2）该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1） （2）110吨 【解析】 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【小问1详解】 由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 18. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”，若不存在，请说明理由； （3）求函数在区间上的所有“Γ区间”. 【答案】（1）不是函数的一个“区间”，理由如下： 结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 当或时，取得最小值，，故此时函数的值域为， 而此时，所以区间不是函数的一个“区间”； （2）不存在，理由如下： 当时，，函数在单调递增， 设的 “区间”为， 则在区间上的值域为， 当时，而， 此时，显然无解， 所以函数在上不存在这样的“Γ区间”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给定义，以及分段函数解析式，根据定义域求出值域，判断结果是否符合定义； （2）根据题目所给定义，以及函数单调性，根据函数在定义域上的值域，列出不等式组，根据不等式组解的情况，判断结果； （3）根据题目所给定义，以及函数单调性，根据函数在定义域上的值域，列出不等式组，根据不等式组解的情况，列出方程，根据方程的解判断结果； 【小问1详解】 不是函数的一个“区间”，理由略； 【小问2详解】 不存在，理由略； 【小问3详解】 由（2）知，在上不存在这样的“Γ区间”，要找函数在区间上的所有“Γ区间”，只可能在上存在 “区间”， 设函数在内的“Γ区间”为， 当时，，函数在上单调递减， 所以当区间满足“区间”定义时，函数在区间上的值域为 所以，即， 故为方程的两根， 因式分解得， 当时，解得， 当时，解得， 因为， 所以，即“Γ区间”为， 综上，函数在区间上的所有“Γ区间”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $