福建省莆田哲理中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年莆田哲理中学高二年级上学期期末考试卷 数学试题 一、单项选择题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 3．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 4．点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 6．已知空间中的点，且，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 8．已知数列的前项和为，若，，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 二、多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得2-4分，有选错的得0分．） 9．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两圆的公切线有2条 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量不能构成空间的一组基 11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的有（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C上满足的P有且只有一个 C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 D．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是 ． 13．记为等比数列的前项和．若，，则 ． 14．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 四、解答题．（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)令记数列的前n项和为，求的值． 18．（17分）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°， 若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； (3)设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年莆田哲理中学高二年级上学期期末考试卷 参考答案 1、 单项选择题 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、多项选择题 9．AB 10．BCD 11．ABC 三．填空题 12． 13． 14．4 四、解答题 15．(1) (2)，或 【详解】（1）圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； （2）直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或． 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，    在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）建立空间直角坐标系，      则，，，，， 因此，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以． 17．(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得； 当时， ， 又符合上式，所以； （2）， 18．(1)证明见解析 (2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处 【详解】（1）由题可知，，且， ∴． 连接BO，如图，则，且． ∵是边长为4的等边三角形， ∴，，且． 从而有，故． ∵， ∴平面． （2）假设存在满足题意的点． 由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，，． 设，． 则． 设平面AMP的法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，且点M在线段BC的靠近点B的三等分点处， 即． 19．(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是， 可得，解得， 因此椭圆的方程为． （2）解：设，， 联立方程组 ，整理得， 由，解得， 则， 因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则， 可得，即， 代入得，整理得满足， 所以． （3）解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，， 设，则，所以，则， 因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点， 则为中点，所以， 又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， 则的方程为， 即； 又由直线的斜率为，所以直线的方程为， 由，可得，则， 解得，即， 又因为、分别为、在轴的垂足， 则，， 所以为定值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $