探寻神奇的幻方教学设计 2025-2026学年人教版数学七年级上册

《探寻神奇的幻方》 项目式学习教学设计 新乡市第十中学 张静民 一、项目内容及其解析 1.内容 查阅幻方的相关资料，了解“幻方”的基本概念、历史演化、文化传承、实际应用，探索三阶幻方本质特征，归纳幻方构造的普适性方法. 2.内容解析 本项目是综合与实践领域，数与代数主题下的项目学习活动.该项目源自 真实的情境，通过视频引入、查阅资料等引导学生初步感受幻方的神奇与魅力，通过尝试填写引发对其“本质特征”的深入思考.通过模型建构、代数推理让学生学会用数学的眼光观察现象、用数学的思维探索现象背后蕴含的规律，发展运算能力、推理能力和模型观念.基于幻方本质特征的理解，学生又进一步开展应用实践和设计创意，提高应用意识和创新意识，增强实践能力和社会责任感. 探寻神奇的幻方 学生核心素养发展 课内小组 汇报展示 提出问题 交流反思 总结提炼 课外小组合作研究 查阅资料 问题解决 撰写报告 团队协作素养 数学 历史 信息技术 政治 艺术 跨学科核心素养 基于以上分析，本项目的教学重点：透过现象挖掘本质，经历从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的学习过程；通过模型建构、代数推理探索现象背后蕴含的规律.在‘观察-猜想-验证-归纳-建模’的过程中，感悟方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想方法，发展学生的运算能力、推理能力、模型观念. 二、项目目标及其解析 1.项目目标 （1）了解“幻方”的基本概念、历史起源，感受数学文化的魅力. （2）通过尝试不同的方法填三阶幻方，理解幻方填法的多样性，提高运算能力，发展创新思维. （3）经历观察、猜想、验证、归纳、类比等数学活动，探究三阶幻方的特征，会用代数推理的方式进行说理，获得“由特殊到一般”的研究经验，提高观察能力、推理能力，发展符号意识、模型观念. （4）依托项目学习，形成资料梳理、规律表达、创意作品等成果，会反思活动过程，提升发现问题、提出问题的能力. 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：能够通过书籍和网络，自主搜集并整理幻方的基本概念、历史演化、文化传承、实际应用等. 达成目标（2）的标志是：能够通过不断试验、调试，将整数1-9填入方格，并基于操作经验进行合情推理. 达成目标（3）的标志是：能从具体的幻方出发，通过观察、比较，发现三阶幻方的特征,并能用字母表示数对发现的规律进行推理论证. 达成目标（4）的标志是：会进行自主或合作探究，理解幻方的特征，完成成果报告和展示交流. 三、教学问题诊断分析 1.具备的基础(知识、能力) 本项目实施对象为八年级学生，该年段学生在数与代数领域已经学习了有理数的加减、整式的加减、一元一次方程的相关知识，能够进行有理数及整式的加减法运算，能够根据等量关系建立方程. 学生已经具备了一定的实践操作能力和数学推理能力，积累了一定的小组合作探究、实验活动经验.同时，相比于七年级，该年级学生的推理能力以及分析问题、解决问题的能力有显著提升，为项目的实施提供了很好的能力基础. 2.可能存在的问题(问题、障碍) 学生对“透过现象探索本质”的研究路径缺少经验，导致发现问题、提出问题较为困难，需要教师以任务为导向，引导学生从数学的角度提出问题. 其次，学生从哪里入手，以及从哪些角度研究三阶幻方的特征，如何讲清特征背后的道理、归纳幻方构造的普适性方法需要教师的引导. 基于以上分析，确定本项目的教学难点：发现并揭示研究三阶幻方的特征. 3.教学策略分析 （1）以文化情境为切入，激发探究动机 发现问题往往是推开探究之门的开始.在日常教学中，学生善于分析和解决 给出的既定问题，而缺少发现问题的“慧眼”.通过播放洛书视频，让学生初步感受幻方的神秘，从而激发内在探究动机，引导学生“你能用数字把这个图案翻译出来吗？”在把真实情境数学化的过程中发现问题. （2）以问题生成为核心，推动自主探究 通过“试填1-9”这一低起点、开放性的任务，让学生在不断试错过程中获得一些具体的、感性的经验，学生分享各种“试填”方法后，引导学生基于自身的操作体验与初步发现进行小组讨论，学生的思维从“如何做”自然转向“为何如此”，学生经历观察、猜想、自发地提出如“中心数与九数之和有何关系？”、“不同位置的数字之间存在怎样的关系？”以及“什么样的九个数才能构成幻方？”等驱动性问题. （3）以信息技术为支撑，突破认知壁垒 在本项目中，学生创新性地运用AI技术作为探究工具，在理解罗伯法填写奇数阶幻方的基础上，利用AI编程，将这种算法转化为可执行的程序进而验证了规律.这有效突破了认知壁垒，保证了探究活动的开展和问题的解决. （4）以支架支持为策略，促进能力跃升 项目以支架支持为策略，教师在学生课外遇到困难时（如证明规律、调试代码），通过启发式提问、资源推荐、方法点拨提供精准指导.这帮助学生突破最近发展区阈限，从合情推理走向演绎推理，最终促进能力跃升，提升自主探究和创新实践的能力. 四、项目实施过程设计 1.入项活动 初识幻方 环节1：视频引入 传说在大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，背负洛书，启发大禹治水，划定九州.汉孔安国传载：天与禹洛出书，神龟负文而出，列于背，有数至于九，禹遂因而第之，以成九类常道.洛书呈九宫分布，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫.洛书五方白圈为阳数，四隅黑点为阴数，阴阳错综，五行逆运，取逆克之理.河图洛书相辅相成，形成一套蕴含着天地生息、五行生克、阴阳变换的数理模型，是中华文化无上珍贵的秘宝. 你能用数字把这个图案翻译出来吗? 追问：观察这个方格，你有什么发现呢？ 【设计意图】通过观看视频，发现神秘图案，引起学生的好奇心，引出本次项目的主题. 环节2：布置任务 任务1 查阅相关资料，了解幻方的基本概念、历史演化、文化传承、实际应用等. 任务2 尝试将整数1-9填入9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等. 【设计意图】通过查阅资料，拓宽视野，感受魅力，解决“为什么学”的动力问题.再动手实践，尝试填写，亲历“发现问题、产生困惑”的原始探究过程，为下一步的研究做铺垫. 学习支架：教师指导学生对查阅相关信息进行整理、提炼、分析. 2.第一课时 走近幻方 环节1：分享查阅的资料及填法 根据课前查阅的资料和小组分工，由各小组分别介绍幻方的概念、传承和应用，然后分享1-9填入九个方格的不同填法. 【设计意图】从感受现象到思考现象背后的原因，自然地引发数学思考，从而自然生发出驱动性问题. 环节2：小组讨论，提出问题 在教师指导下，学生通过小组合作探究，以“三阶幻方”为研究对象，围绕幻方的构成及结构要素提出驱动性问题： 1.将整数1-9填入九个方格，有多少种情况？各情况之间有什么关系？ 2.幻方中的九个数与中心数有什么关系？ 3.幻方中不同位置的数字有什么关系？ 4.满足什么条件的九个数可以构成幻方？ 【设计意图】学生自主讨论并提出本小组想要研究的驱动性问题，教师适当参与到各小组的讨论中，给与一定的提示和建议. 3.第二课时 探寻幻方 小组围绕驱动性问题确定研究的内容及方法，有序开展研究. 学生可能遇到的困难1：从哪里入手来开展研究，如何研究？ 教师引导：从具体的幻方出发，观察数字规律，提出猜想，然后验证规律. 学生可能遇到的困难2：如何验证规律能否推广到任意三阶幻方？ 教师引导：引导学生思考任意三阶幻方该如何表示？启发他们用字母表示数进行演绎推理. 学生可能遇到的困难3：如何将抽象的数学规律转化为具体的创意成果？ 教师引导：引导学生在理解规律的基础上，思考其工具性、创造性及迁移性价值，如：能否利用规律来补全幻方？能否将幻方的对称、和谐之美与艺术进行融合？ 4.第三课时 揭秘幻方 环节1：分组展示研究成果 师生活动：小组项目负责人展示研究成果，其他小组成员做好记录，可在展示结束后提出疑问，由展示小组负责解答，小组互评和教师评价相结合. 驱动性问题1：整数1-9填入九个方格有多少种情况？不同情况之间有什么关系？ 学生通过观察已知的8个幻方，发现中心数都是5，四个角上的数都是偶数.接着对所发现的规律进行推理论证，由此归纳出将整数1-9填入九个方格只有8种情况，接着利用旋转、轴对称揭示了这8种情况的内在联系.具体过程如下： 假设中心数不是5，假设中心数为1，那么无论2处于哪个位置.要想幻和为15，,另一个数应该为12.超过了最大数9，显然是不成立的.同理中心数为2、3、4，也不成立.假设如果中心数为6、7、8，无论9处在哪个位置，这条路径上的幻和都超过了15，也不成立.如果中心数为9，那么无论8处在哪个位置,都超过了15.因此中心数必定为5. 接着探究四个角上的数是否一定是偶数.首先观察了第一行的数字，因为幻和为15，15为奇数.所以第一行的3个数只能同为奇数或者是两个偶数，一个奇数.因此，就有以下三种情况：奇奇奇、偶偶奇、偶奇偶. 如果第一行是三个奇数，那么根据幻和是15，第三行也是三个奇数.这样1-9中的奇数就不够用了，所以这种情况不成立，如果第一行是偶偶奇，那么第三行就是奇偶偶，补全幻方后会发现1-9中的偶数不够用了.所以这种情况也不成立.经过分析，第三种情况是成立的，这样就说明了四个角上的数一定是偶数. 由此说明了将整数1-9填入九个方格只有8种情况.接着该小组又进一步分析这些情况之间有什么关系，通过动手操作，发现将①顺时针转动90度就可以得到②③④.将①②③④沿中间一列翻折就可以得到⑤⑥⑦⑧. 基于这些特征他们还创作了两幅作品： 宇宙幻数 算筹幻方 驱动性问题2：幻方中的九个数与中心数有什么关系？ 学生从整数1-9入手，通过观察数字规律，提出猜想，然后用字母表示数进行抽象建模，推理论证出了九数之和与中心数的关系，进而归纳出了给定九数构造三阶幻方的步骤，并将这种构造方法推广到了任意奇数阶幻方.具体过程如下： 首先计算出这九数之和为45，中心数是5，由此猜想九数之和=中心数×9，这个结论对任意三阶幻方都成立吗？学生可能存在困难，此时需要引导学生思考：如何表示任意三阶幻方呢？ 学生先研究了幻和和九数之和的关系，发现了九个数之和＝幻和×3 ，这样就将问题转化为证明幻和=中心数×3. 设幻和为x,则有：2x+3e=3x,解得x=3e.因此得出幻和＝中心数×3，所以九数之和=中心数×9. 由幻和=中心数×3，又进一步得到对角两数字和是中心数的两倍，上下左右两数字和也是中心数的两倍. 由此归纳出给定9个数构造三阶幻方的步骤： （1）计算中心数（2）配对（3）调试确定其它数的位置. 如：将-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5填入9个空格中，步骤如下： 1.九数之和=9 2.中心数：9÷9=1 3.配对：-3,5；-2,4；-1,3；0,2 4.调试确定其他数的的位置. 接着又继续探究这种构造方法是否适用于任意的奇数阶幻方，该小组首先尝试了五阶幻方.先确定中心数是13，然后对剩下的数字进行两两配对，在不断调试时遇到了困难，通过查阅资料利用罗伯法进行编程，通过运行，得出更高阶幻方.通过观察也满足规律.这样这种构造方法就可以推广到任意奇数阶幻方. 同时他们通过查阅资料了解到五阶幻方有2亿7千多万种填法，而中心数也不一定是13，但是他们的构造方法一定能构造出满足条件的幻方. 驱动性问题3：幻方中不同位置的数字之间有什么关系？ 学生从具体的幻方入手，通过观察、猜想、推理论证得到规律，并运用图形和符号语言来表达这些规律，最后还根据规律设计运算程序补全幻方，整个探究过程体现了从特殊到一般再到特殊.具体过程如下： 该小组观察了不同位置的数字，同样发现了与中心数对应的上下、左右、对角两数字和是中心数的两倍. 既然角上的数、角上的数都和中心数有联系，那么角上的数与边上的数有没有联系呢？ 通过观察发现角上的数等于对角相邻两数和的一半. 推理过程如下： 该小组还发现了一个数所在的行或列或对角线中的其他两个数的和相等. 他们将这三个结论分别命名为对角线法则、三角形法则和相交线法则，并给出了符号表示： 接着利用规律设计运算程序补全幻方： 法2： 法3： 法1： 通过多角度的思考问题，学生发现补全幻方的关键是先求出幻和. 最后，该小组借鉴百子回归图，以“抗战胜利80周年”为主题，构造了一个立体幻方. 驱动性问题4：满足什么条件的九个数可以构成幻方？ 学生用字母表示数，将具体的数字关系抽象为一般模型，并基于幻方内在的数学结构将其合理的分成三组.通过对组间差值、组内差值的分析，为“满足什么条件的九个数可以构成幻方”建立了一个数学模型.具体过程如下： 该小组在发现“与中心数对应的上下、左右、对角两数字和是中心数的两倍”的基础上，用三个字母表示出了各个位置上的数. 借助对角线法则和三角形法则，发现对角线上的三个数是等差的，呈三角形分布的这三个数也是等差的.于是把它们抽取出来，通过观察发现，组与组之间也是等差的.由此得出：只要满足组间差值一样、组内差值一样的互不重复的九个数就能够构成幻方.并利用这一规律借助AI设计了一款填幻方的游戏. 环节2：回顾探究过程 总结研究方法 五、课堂教学目标检测 1.目标检测设计 本项目开展过程中，对小组提出的驱动性问题，通过小组合作完成，得到研究成果. 2.目标检测完成情况 小组对驱动性问题的确定过程和结果进行交流展示汇报. 3.项目式学习评价 项目式学习过程性评价关注的是学生在学习过程中状况，在学生完成每个项目后，可对照项目式学习过程中的学习评价表对学生的水平进行量化的考核. 评价指标 项目学习中的表现 自评 组评 师评 五星(5分) 四星(4分) 三星(3分) 学习兴趣 特别感兴趣，有主动探索的欲望 感觉活动有难度，但是想试试看 不感兴趣，跟着教师、同学的思路 信息收集与整理 能主动查阅资料了解幻方的基本概念、历史演化、文化传承及实际应用 在教师引导和同学帮助下了解幻方的基本概念、历史演化、文化传承及实际应用 对幻方有大概了解 幻方的试填探索 能独立完成三阶幻方的试填，并解释原因 能独立完成三阶幻方的试填，无法解释原因 在教师的引导下完成三阶幻方的试填 问题提出能力 能够提出有深度、有价值的探究性问题，能够围绕问题设计研究方案 能够提出基本的探究问题，问题具有一定的研究价值 难以提出有效的探究性问题，缺乏主动提问的意识 规律探索与推理论证 能在教师的指导下，通过模型建构和代数推理验证猜想，逻辑严密，推理过程清晰 在教师较多帮助下能够进行模型建构和推理验证，验证过程基本完整 即使有教师指导，也难以独立完成模型建构和推理验证，验证过程缺乏逻辑性 规律应用与作品创意 能够将探索出的幻方规律灵活应用于作品创作，作品富有创意，体现对规律的深入理解和创新应用 能够应用所探索的幻方规律进行作品创作，但创意一般 应用规律创作作品时遇到困难，需要大量帮助，作品创意不足，未能很好体现幻方规律 小组合作 能够配合组员完成小组任务，并能提出自己的建议，发挥引导作用 能够配合组员完成小组任务，愿意为小组做出努力 配合小组，但缺乏主动性 反思总结 对项目学习过程进行总结能够修正自己的问题，并将学习所得进行应用推广，开展进一步研究 对项目学习过程进行总结，知道了自己在学习过程中存在问题，希望总结经验去进一步的努力尝试 缺少进一步反思总结 总分 学科网（北京）股份有限公司 $