2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末综合测试卷

2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末综合测试卷 (共3大题,满分120分,时间90分钟) 一、单选题(共10题,每题3分,共30分) 1．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 4．若的三边长满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意可知，据此即可判断求解． 【详解】解：，，为的三边长， ， ， ， 即：， 一定是直角三角形； 故选：D． 5．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标与平面直角坐标系，先通过，结合点的坐标为，可得，即可作答． 【详解】解：∵，点的坐标是 ∴ ∴ ∴ 故选：C 7．如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形-轴对称变换． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：B． 9．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 10．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 二、填空题(共7题,每空3分,共27分) 11．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 13．如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 14．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 15．如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 16．如图，已知直线与两坐标轴分别交于、两点，与直线交于点，点在的内部（不包括边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的其他应用，一元一次不等式的应用，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出直线与两坐标轴分别交、两点，得，结合直线与直线交于点，得，理解题意，当点在的内部，故同时满足在直线 （即 x 轴）的上方，在直线：的下方，以及在直线  的下方，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与两坐标轴分别交、两点， ∴令时，则， 解得， ∴； ∴令时，则， ∴； ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， 解得， ∴， ∴， ∵点在的内部， ∴在直线 （即 x 轴）的上方，即， ∴ 解得， ∵点在的内部， ∴在直线：的下方， 依题意，把代入，得， 即， ∴， ∴， ∴， ∵点在的内部， ∴在直线  的下方， 依题意，把代入，得， 即， ∴， ∴， ∴， ∵且且， ∴， 故答案为：． 17．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 三、解答题(共8题,第18题7分,其余每题8分,共63分) 18．计算与求值： (1)计算： (2)求x的值： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）先进行开方运算，再进行减法运算即可； （2）利用平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 解得或． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于x轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征及三角形面积的计算，解题关键是掌握关于 x 轴对称的点的坐标变化规律，并用割补法求三角形面积． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数”，找出A、B、C的对称点再连接成． （2）根据图直接写出点的坐标． （3）用割补法（将三角形放在矩形内，用矩形面积减去周围多余三角形的面积）计算的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图可知，点的坐标为． （3）解：． 20．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知线段的垂直平分线，尺规作图画已知角的角平分线； （1）作线段的垂直平分线与的交点即为点D； （2）使得的点E到、的距离相等，即的角平分线与的交点. 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D，连接， 由垂直平分线的性质可知：， 则点D即为所求. （2）解：如图，作的平分线，交于点， 此时点E到、的距离都等于的长度， ∴， 则点E即为所求. 21．填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)， (2)应用场景1：；应用场景2： 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； 应用场景2：设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：由等面积法知：， ∴， ∴，得证． 故答案为：，； （2）解：应用场景1：在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； 应用场景2：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． 答：绳索的长为． 22．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 23．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 24．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． (1)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (2)小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； (3)小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 【答案】(1)函数表达式为，一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为 (2)小明将赢得这场比赛，见解析 (3)或 【分析】本题考查了根据函数图像获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用．熟悉用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）由图可知，领先米，得出反映小亮所跑路程与时间之间关系的图像是，设的函数表达式为，把，代入，求出和的值，即可得出函数表达式． （2）用待定系数法求出表达式是，再求出当时，，的自变量的值，再比较即可． （3）进行分类讨论：当小明在小亮前时，和当小明在小亮后时，即可解答． 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数表达式为， ∴一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为； （2）解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴小明将赢得这场比赛． （3）解：当小明在小亮前时，此时， 解得：， 当小明在小亮后时，此时， 解得：， 故答案为：或． 25．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末综合测试卷 (共3大题,满分120分,时间90分钟) 一、单选题(共10题,每题3分,共30分) 1．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若的三边长满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 10．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 二、填空题(共7题,每空3分,共27分) 11．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是 （用科学记数法表示）． 12．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 13．如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 14．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 15．如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 16．如图，已知直线与两坐标轴分别交于、两点，与直线交于点，点在的内部（不包括边界），则的取值范围是 ． 17．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 三、解答题(共8题,第18题7分,其余每题8分,共63分) 18．计算与求值： (1)计算： (2)求x的值： 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于x轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 20．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 21．填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． (2)应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 22．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 23．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 24．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． (1)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (2)小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； (3)小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 25．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $