期末章节重难点复习2：一元二次方程不等式与基本不等式训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末章节重难点复习2：一元二次方程不等式与基本不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解含参一元二次不等式】 （25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式的解集为.经典例题例题 (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. （23-24高一上·湖北武汉·期中）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·广东揭阳·期中）已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．小试牛刀2 (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值； (2)求关于的不等式的解集． （24-25高一上·福建南平·期中）设.小试牛刀3 (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【题型2：一元二次不等式在R上恒成立问题】 （25-26高一上·湖南·月考）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.经典例题例题 （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. （2025高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的不等式.小试牛刀2 (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. （25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为 .小试牛刀3 【题型3：一元二次不等式在区间上恒成立或有解问题】 （24-25高一上·广东佛山·月考）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D． （2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）小试牛刀2 A．4 B．3 C．2 D．1 （25-26高一上·云南玉溪·月考）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .小试牛刀3 【题型4：一元二次方程根的分布问题】 （25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B．或 C．或 D．或 （23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．小试牛刀1 (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为 .小试牛刀2 （25-26高一上·湖南长沙·期中）设，函数.小试牛刀3 (1)若函数是奇函数，求实数的所有可能值； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【题型5：一元二次不等式的综合题型】 【多选题】（22-23高一上·河南·月考）已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【多选题】（24-25高一上·福建泉州·月考）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（   ）小试牛刀2 A． B．，若，则 C． D．不等式的解集为 （24-25高一上·湖南衡阳·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 .小试牛刀3 【题型6：基本不等式的综合题型】 【多选题】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，满足，给出下列四个结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·河南·月考）已知，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．. D． 【多选题】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知两个实数、满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末章节重难点复习2：一元二次方程不等式与基本不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解含参一元二次不等式】 （25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式的解集为.经典例题例题 (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （23-24高一上·湖北武汉·期中）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 故选：C． （24-25高一上·广东揭阳·期中）已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．小试牛刀2 (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)①③，， (2)答案见解析 【分析】（1）利用假设法说明①②、②③均不符合题意，即则只能是①③，即可得到，是方程的两根，利用韦达定理及二次函数的性质计算可得； （2）由（1）可得不等式即，对分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）解：假设条件①②符合题意．∵，则二次函数的图象开口向下， ∴的解集不可能为，不满足题意． 假设条件②③符合题意．由，知二次函数的图象开口向下，无最小值，不满足题意． ∴满足题意的条件为①③． ∵不等式的解集为，∴，是方程的两根， ∴，，即，． ∴函数在处取得最小值，∴，即， ∴，． （2）解：由（1）知，则，即， 即． ∴时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或． 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． （24-25高一上·福建南平·期中）设.小试牛刀3 (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型2：一元二次不等式在R上恒成立问题】 （25-26高一上·湖南·月考）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.经典例题例题 （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，按是否为0分类，再利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）将给定不等式两边平方化成含参数的一元二次不等式，再按对应方程根的大小分类求解. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2025高一上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“命题与命题真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案. 【详解】“，”为假命题， 等价于“，”为真命题. 当时，，成立； 当时，需满足， 解得； 综上：. 故选：A （25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的不等式.小试牛刀2 (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可． 【详解】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为． 故答案为：． 【题型3：一元二次不等式在区间上恒成立或有解问题】 （24-25高一上·广东佛山·月考）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. （25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. （2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）小试牛刀2 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题可得，由不等式的性质可得，.不等式可转化为，令，则原题意等价于对一切，恒成立.由二次函数的性质即可求解. 【详解】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图象开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. （25-26高一上·云南玉溪·月考）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【题型4：一元二次方程根的分布问题】 （25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B （23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．小试牛刀1 (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【详解】（1）由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. （2）由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. （3），所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】由函数的图象与直线有两个交点，可得有两个不同的正实数解，结合对勾函数的性质及图象，分、及，求得；由与有四个交点，可得或，取交集即可得答案. 【详解】因为函数的图象与直线有两个交点， 则有两个不同的正实数解， 所以有两个不同的正实数解， 由对勾函数的性质可知当时，， 所以函数的最小值为， 所以当时，， 不满足有两个不同的正实数解； 当时，， 此时满足有两个不同的正实数解； 当时，时， 要使有两个不同的正实数解，如图所示： 只需即可，解得， 所以， 综上，当有两个不同的正实数解时； 又因为与有四个交点，即有四个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 所以，解得或， 又因为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： （25-26高一上·湖南长沙·期中）设，函数.小试牛刀3 (1)若函数是奇函数，求实数的所有可能值； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得：，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）（方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. （2）当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. （3）当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故，即从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以从而. 综上，实数的取值范围是. 【题型5：一元二次不等式的综合题型】 【多选题】（22-23高一上·河南·月考）已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的解集，可知，从而判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误. 【详解】解：由题意得,故A错误， 因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度， 得到二次函数的图像， 所以,即，B正确， 如图，又，所以，C正确， 当时，，， 所以，D错误. 故选：BC. 【多选题】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项， 判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 【多选题】（24-25高一上·福建泉州·月考）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（   ）小试牛刀2 A． B．，若，则 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据取整函数的定义结合举反例，一元二次不等式的解法对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，，，，所以A为真命题； 对于B，因为， 所以，， 所以，B为真命题； 对于C，，，所以C为假命题； 对于D，解不等式， 得或， 所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：. （24-25高一上·湖南衡阳·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断的关系及的符号，再结合基本（均值）不等式求范围即可. 【详解】解：关于的不等式的解集为， 所以，且和1是关于的方程的两实数根， 由根与系数的关系知，， 解得， 所以，因为，所以 即 故答案为：. 【题型6：基本不等式的综合题型】 【多选题】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，满足，给出下列四个结论正确的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】选项A，利用基本不等式得到，计算得解；选项B，取特殊值，排除法得解； 选项C，取特殊值时，排除法得解；选项D，将的两边平方求出，由选项A可知，代入计算得解. 【详解】选项A，，， ，，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故选项A正确； 选项B，当时，成立，但，故选项B错误； 选项C，当时，由解得， 则， 即，故选项C错误； 选项D，将的两边平方得到， 即，即， 则，由选项A可知， 即，则有，，，即， 故，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD. 【多选题】（25-26高一上·河南·月考）已知，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C．. D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式判断；对于，利用基本不等式结合指数幂的运算判断；对于C，令， 利用“1”的代换判断；对于 由，结合选项A判断. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于， 因为，所以，由A知， 所以，当且仅当时取等号，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 【多选题】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知两个实数、满足，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用重要不等式逐项判断即可. 【详解】因为两个实数、满足， 由重要不等式可得，故， 当且仅当时，即当或时，等号成立，B对； 另一方面，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，A对； 对于CD选项，由题意可得， 由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，D对； 因为，故， 所以，即， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 又，C对. 故选：ABCD. 【多选题】（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式可得，再解不等式即可；对于B，根据基本不等式，易知等号不成立；由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对于D，由即可解得. 【详解】，当时取等号， ， 解得，当时取等号，故A正确； ， 当时取等，又，所以等号不成立，故B错误； ， 当时取等，又，所以即时取等，故C正确； ，当时取等号， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $