精品解析：北京市平谷区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

北京市平谷区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每题2分） 1. 如图，在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 故选：D． 2. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0）， ∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2． 故选：A． 3. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，得，又因为，证明则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 4. 如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，弧长的计算，掌握圆周角定理是关键，根据题意得到，由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴劣弧的长为． 故选：B． 5. 在中，，于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键．证明，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：D． 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，当时，那么，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，可得反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内，随着的增大而增大，结合判断即可得出结果，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，，， ∵函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∴， ∴， 故选：A． 7. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 8. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，然后证明，即可判断①；先由勾股定理求出 ，再由三角形面积公式求解的面积，即可判断②；过点A作交的延长线于点Q，先证明，再证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即可求解的周长，即可判断③；分别计算求解，，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵于点H， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵点E在边上，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②在中，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴的面积为： ， 故结论②正确； ③过点A作交的延长线于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的周长为：， 故结论③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 10. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将方程左边分式拆分为两个分式之和，再通过移项求解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质；根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式； 【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）； 故答案：（答案不唯一）． 12. 如图，四边形内接于，为的直径．若，．则_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为____cm． 【答案】240 【解析】 【分析】延长BE交AC延长线于F点，得出BF，再利用坡度求出FC，则可求出AC. 【详解】延长BE交AC延长线于F点，则BF=30cm， ∵坡度， ∴FC=930=270cm, ∴AC=FC-DE=270-30=240cm. 【点睛】此题主要考查坡度的应用. 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质是解决问题的关键．过点作轴于点，设与轴相交于点，证明四边形，四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义得，，进而得，由此即可得出的面积． 【详解】解：过点作轴于点，设与轴相交于点，如图所示： ， 轴， ， ， ， ，， 四边形，四边形和四边形都是矩形， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ． 故答案为：． 15. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为_____（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 即，之间的距离为． 故答案为：． 16. 二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下得出，再结合抛物线对称轴得出 ，即可判断①错误；由题意可得对称轴为直线，结合抛物线过点，得出抛物线经过点，则，再结合，求出，由二次函数的顶点为，得出，即可判断②正确；由函数图象可知，当时，，当时，，即可判断③错误；点C关于对称轴对称点在抛物线上，即可判断④正确；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴交点为和， 由函数图象可知，当时，，当时，， ∴，故③错误； ∵点在抛物线上， ∴点C关于对称轴对称点在抛物线上， ∴为的一个根，故④正确． 故答案为：②④． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、20、21、22题，每题5分；第23、24、25、26题，每题6分；第27、28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19. 已知二次函数几组x与y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）从表格选出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）根据表格数据描点连线绘制函数即可； （3）观察函数图象及表格即可求解． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 把代入得： ， 解得， 因此，二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：描点，连线画出函数图象，如图： 【小问3详解】 解：由表格可知，时，或， 由函数图象可知，时，x的取值范围为或． 20. 已知：，是直线上的两点． 求作：，使得点在直线上方，且，． 作法： 分别以，为圆心，大于长为半径画弧，在直线上方交于点，在直线下方交于点； 作直线、交直线于点； 以点为圆心，长为半径画圆，在直线上方交直线于点； 以点为圆心，长为半径画圆．在直线上方交直线于点； 连接，． 就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径， ．（ ）（填推理的依据）． ，，在上， ．（ ）（填推理的依据）． ． 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ．（ ）（填推理的依据）． 就是所求作的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 【解析】 【分析】本题是圆综合题，尺规作图，涉及圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及作图的基本能力． （1）根据题意补全图形； （2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接，． 为的直径， ．（直径所对的圆周角是直角）． ，，在上， ．（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）． ． 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）． 就是所求作的三角形． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 21. 某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接，由垂径定理得出，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，设． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为5米． 22. 为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）13米 （2）上升了约6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键． （1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答． （2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答． 【小问1详解】 解：在中，米，， ∴（米）， ∴直吊臂的长约为13米； 【小问2详解】 解：延长交水平线于点C， 则水平线， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴当时，货物M上升了约6米． 23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的交点是． （1）求和的值； （2）当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数、反比例函数和不等式的关系，熟知一次函数与反比例函数的图象与性质是解答此题的关键． （1）将点的坐标代入求出的值，再将所得点的坐标代入，即可求出的值． （2）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ， 点的坐标为． 将点代入得：， ； 【小问2详解】 解：函数，当时，， 过点， 把代入得，， 把代入，得，解得， 当时，直线与直线平行， 当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值， 的取值范围是． 24. 如图，内接于，点D为的中点，连接平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，同弧或等弧所对圆周角相等，相似三角形的判定和性质等知识是关键． （1）连接，如图，根据垂径定理得到，结合切线的判定方法即可求解； （2）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，由角平分线定义，三角形的外角的性质得到，由此即可求解； （3）根据题意证明，得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图， 由（2）得， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得,． 25. 某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量（单位：）和乙装置的浇水量（单位：），部分数据如表： 0 5 10 20 30 40 50 60 … 0 m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 … 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … （1）补全表格，的值为 （结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若甲装置比乙装置早启动了分钟，则甲装置启动 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为 （结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水 （结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或，或； 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据当时，，当时，，则与是正比例函数，求出解析式即可； （2）根据画函数图象方法步骤即可； （3）由于甲装置比乙装置早启动了，当时，，考虑时间偏移，将图象整体向上平移个单位（），然后观察图象即可； 观察图象即可． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， 与是正比例函数， 设， ，解得， ， 当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出函数图象如下： 【小问3详解】 解：甲装置比乙装置早启动了，当时，， 考虑时间偏移，将图象整体向上平移个单位（），如图所示， 根据图象可知，甲装置启动或时，两台装置的浇水量相同，约为或， 故答案为：或，或， 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1） （用含的式子表示）； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当，时， ； 当点从点运动到点的过程中，的长随着的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式、点的坐标特征、图象和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点坐标代入二次函数解析式即可得解； （2）由题易得抛物线和直线解析式，进而可求点、坐标，进而得解；由题易得，进而画出图象，结合图象即可得解． 小问1详解】 解：将点代入得，， 整理得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知， 抛物线解析式为， 当时，则抛物线解析式为，直线解析式为， 当时，， ， ，， ； 故答案为：； ， ，， ， 则其对称轴为直线， 由题可得， 当时，此时，的函数图象如图， 由图象可知时，随的增大而增大， 故； 当时，此时，的函数图象如图， 由图象可得此时无符合题意的区间，故舍去； 综上，． 27. 如图，等边，延长，并将射线绕点B顺时针旋转得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段的延长线上，且，连接，过点A作． （1）依题意补全图形，猜想线段与之间的数量关系，并证明； （2）取的中点N，连接，若，请写出与的数量关系并证明． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）理解题意，补全图形，结合旋转的性质，等边三角形的性质，得出，得，又因为，运用等腰三角形的三线合一得，即可作答． （2）由，得，证明是等边三角形，则，因为N是的中点，得，运用勾股定理得，即，所以，因为，，得，即， ，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【小问1详解】 解：如图1所示，结论． 理由：连接 ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）； 【小问2详解】 解：结论： ．理由如下： 如图2中，过点A作于点J，过点D作于点K． 设． 由（1）得， ∴， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28. 如图，在线段上有一动点（点与，不重合），分别以，，为直径作半圆，、、分别为半圆弧的中点，四边形的对角线交于点，则称点为线段的“红心点”． （1）如图，点的坐标为，以下各点中是线段的“红心点”的是 ； ，，， （2）如图，已知，，若点、是线段上的点，且和不重合， 线段的“红心点”组成的图形面积为 ； 若抛物线上存在线段的“红心点”，则的取值范围为 ． 【答案】（1）， （2）；②或． 【解析】 【分析】（1）先利用半圆弧中点的性质，得出、、均为等腰直角三角形，进而证明四边形是矩形，得到是的中点；接着根据的坐标确定的坐标，设出动点的坐标，推导出红心点的坐标表达式，再根据横坐标的取值范围判断符合条件的点． （2）①同理推导线段的红心点组成的图形是由两个全等的等腰梯形构成的六边形，利用三角形中线的性质，先求出的面积，再得到单个等腰梯形的面积，最后乘以2得到总面积． ②先将抛物线解析式化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分（开口向下)和（开口向上)两种情况讨论：当时，结合红心点的上半区域，求出抛物线经过边界点时的值，确定的范围；当时，结合红心点的下半区域，求出抛物线经过边界点时的值，确定的范围，最后综合得到的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，连接，， 点、、分别为半圆弧的中点， ， ， 、、共线，、、共线， ， 四边形是矩形， 是的中点， ∵点的坐标为，为的中点， ∴半圆的半径为2，点的坐标为． 设线段上动点()， ∴线段的“红心点”的坐标为． ∵， ∴． 在，，，中只有和符合条件； 【小问2详解】 ①解：如图，同理，线段的“红心点”组成的图形为六边形， 由两个全等的等腰梯形和等腰梯形组成，其中，分别是等腰直角三角形两腰的中点， 连接，则，， ∴， ， ，，， ， ， ， ， 线段的“红心点”组成的图形六边形的面积为：； ②解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 令，即，解得或， 即抛物线与轴交于、， ∵半圆以为直径， ∴ ∴，. 如图，当时，抛物线开口向下， 随着的增大，抛物线的顶点距离轴越来越近， 当抛物线经过点时， 将代入，得，解得， 结合抛物线的图象特征，得的取值范围为； 如图，当时，抛物线开口向上， 随着的减小，抛物线的顶点距离轴越来越近， 当抛物线经过点时， 将代入，得，解得， 结合抛物线的图象特征，得的取值范围为． 综上，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市平谷区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每题2分） 1. 如图，在中，，则值是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 3. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 4. 如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A B. C. D. 2π 5. 在中，，于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，当时，那么，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 10. 若，则______． 11. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 12. 如图，四边形内接于，为的直径．若，．则_____． 13. 如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为____cm． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为 _____ ． 15. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为_____（结果保留根号）． 16. 二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、20、21、22题，每题5分；第23、24、25、26题，每题6分；第27、28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 19. 已知二次函数几组x与y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）当时，直接写出x的取值范围． 20. 已知：，是直线上的两点． 求作：，使得点在直线上方，且，． 作法： 分别以，为圆心，大于长为半径画弧，在直线上方交于点，在直线下方交于点； 作直线、交直线于点； 以点为圆心，长为半径画圆，在直线上方交直线于点； 以点为圆心，长为半径画圆．在直线上方交直线于点； 连接，． 就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径， ．（ ）（填推理的依据）． ，，在上， ．（ ）（填推理的依据）． ． 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ．（ ）（填推理的依据）． 就是所求作的三角形． 21. 某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 22. 为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的交点是． （1）求和的值； （2）当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，内接于，点D为的中点，连接平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. 某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量（单位：）和乙装置的浇水量（单位：），部分数据如表： 0 5 10 20 30 40 50 60 … 0 m 1.0 2.0 3.0 40 5.0 6.0 … 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 … （1）补全表格，的值为 （结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若甲装置比乙装置早启动了分钟，则甲装置启动 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为 （结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水 （结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1） （用含的式子表示）； （2）过点作轴垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当，时， ； 当点从点运动到点的过程中，的长随着的长的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，等边，延长，并将射线绕点B顺时针旋转得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段的延长线上，且，连接，过点A作． （1）依题意补全图形，猜想线段与之间的数量关系，并证明； （2）取的中点N，连接，若，请写出与的数量关系并证明． 28. 如图，在线段上有一动点（点与，不重合），分别以，，为直径作半圆，、、分别为半圆弧的中点，四边形的对角线交于点，则称点为线段的“红心点”． （1）如图，点的坐标为，以下各点中是线段的“红心点”的是 ； ，，， （2）如图，已知，，若点、是线段上的点，且和不重合， 线段的“红心点”组成的图形面积为 ； 若抛物线上存在线段的“红心点”，则的取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $