3.1椭圆中焦点三角形面积公式的推导与应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆焦点三角形面积公式的推导与应用，通过课前3分钟激情朗读复习三角形面积公式、余弦定理及二倍角公式，为新知学习搭建预备知识支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 以“一课一题”为主线，设计独立思考推导、小组合作交流、展示精讲总结等环节，引导学生自主构建公式，培养逻辑推理与数学运算素养。习题含例题、变式拓展及分层作业，注重数学应用，助力学生掌握公式应用，提升解决几何问题的能力。

普洱中学 普中形象我是榜样 普洱中学2027届数学导学案 PUER MIDDLE SCHOOL 31《椭圆中焦点三角形面积公式的推导与应用（第一课时)》 班级： 姓名： 【学习月标】 1.理解椭圆焦点三角形的定义，能准确识别图形结构。 (核心素养：数学抽象、直观想象) 2.自主推导并掌握椭圆焦点三角形的面积公式。 (核心素养：逻辑推理、数学运算) 3.能够运用该公式解决相关的面积，角度和几何问题。 (核心素养：数学建模、数学应用) 【学习重、难点】 1.重点：椭圆焦点三角形面积公式的推导与应用。 2.难点：公式推导中的代数变形与几何关系的转化。 【课前3min激情朗读】 定义 平面内到两个定点的距离之和为常数（大于，「，》的点的轨迹是椭圆 图形 焦点坐标 E(-c,0,E(c,0) F(0,-c,E,(0,c) 标准方程 x2.y2 =1(a>b>0) y2 x2 + =1(a>b>0) a、b、c关系 a2=b2+c2 焦点位置判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上 三角形的面积公式 sx底×高：3hsmC=)e sin B=besin A 2 abc(R为外接圆的半径) E(a+h+cr为内切圆的半径 a2=b2+c2-2bc cosA sin 2a =2sin a cos a 余弦定理：b2=a2+c2-2 ac cos B cos 2a cos2a-sin2a c2=a2+b2-2ab cos C =2cos'a-1 二倍角公式： =1-2sin2a 普洱中学 普中形象 我是榜样 普洱中学2027届数学导学案 【导了【预客知识】 1. 焦点三角形的定义： 2. 核心问题：(“一课一题“的起点) 例：已知椭圆方程+”=1，点P是椭圆上任意一点，∠FP5=60那么△FPF的面积为 、十 123 【思、议、展】 任务一：独立思考，尝试推导 1.设PF=m,PF=n,根据椭圆的定义，m和n满足什么关系？ 2.在APFF2,已知两边m,n及其夹角0，如何用m,n,0表示面积S? 3.已知第三边FF2=2c,你能联想到哪个定理可以将m,n,C,联系起来？ 4.请尝试将m和n消去，推导出只含有b和0的面积公式 任务二：小组合作，交流思路 任务三：小组展示与教师精讲 邀请小组代表展示推导过程 教师点评并板书规范推导过程，强调代数变形与几何意义的结合； 总结面积公式： 普洱中学 普中形象 我是榜样 普洱中学2027届数学导学案 任务四：同归例题与变式拓展 1:已知椭圆方程 2 25+16 =1,点P是椭圆上任意一点，∠F,PF2=90°，那么 △PFF,的面积为 2:已知椭圆方程 y2 +9=L,点P是椭圆上任意一点，△PF,E,的面积为35， 16 则∠FPF2= 3已知，是搭题C:苦+茶=1o>动>0的两个供点，防上C上点 y2 PFPE, 且P. 2,若△PF,F,的面积为3√3，则b= 【随堂达标检测】 ,y2 吧知園条Q2的两个慕分别为A上若正春D使220W 则△F,PF的面积为 P为椭圆+1上一点，F,F是其焦点，若PF·PF2=0,则△FPF,的面 3.设P为椭 x2 y 100+ 4=1上-点，F1,F为左右焦点，若∠FPP2=60°，则P点的纵坐标为() R±335 c 93 9 4 D193 4 4已知P为椭圆 2 9 =1上的点，FF是椭圆的两个焦点，且∠FPF2=60, 则|PFI|PF2|= 【课堂小结】 知识收获： 方法收获： 思想收获： 普洱中学 普中形象我是榜样 普洱中学2027届数学导学案 【(作业布置 1,设F,F,是椭圆4红+上=的两个焦点，P是椭圆上的点，且1PFHP5,上4：3， 496 则△PFF,的面积为() A.8 B.6 C.4 D.2 2.已知椭圆+y2=1的两个焦点为F,E,点M在该椭圆上，且MME,=0, 4 则点M到x轴的距离为 3.已知F(-c,0),F(c,O)是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若PF·PF,=O,且SPs=c2, 则椭圆E的离心率为 4椭圆+y2=1的焦点为F,P,点P在椭圆上，且满足PRHPF=2,则 ∠FPF的大小为 选做 (2021年甲卷)已知F,F,为椭圆C:+上=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的 两点， 164 且|PQ曰EF,,则四边形PFQF,的面积为 (2023年甲卷)椭圆号+二-1的两个焦点为F,F,O为原点，P为椭圆上一点，c0s∠FP5,- 96 则IOP=