专题3.2 椭圆的简单几何性质（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.2 椭圆的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 1 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 2 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 3 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 4 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 4 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 5 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 6 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 6 【题型9 椭圆的实际应用问题】 7 知识点1 椭圆的范围 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是 C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6 【变式1-2】（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【变式1-3】（2025·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 椭圆的对称性 1．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式3-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【变式3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 1．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 2．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 【例5】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式6-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【变式6-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式6-3】（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 【例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【变式8-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）“”是“椭圆且离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式8-2】（24-25高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【题型9 椭圆的实际应用问题】 【例9】（24-25高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 椭圆的简单几何性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 1 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 3 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 6 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 9 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 10 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 12 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 14 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 17 【题型9 椭圆的实际应用问题】 19 知识点1 椭圆的范围 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【解答过程】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是 C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D. 【解答过程】解：因为曲线，不是椭圆方程， 所以曲线不是椭圆，故A正确； 因为曲线， 所以，所以，故B错误； 曲线与轴正半轴的交点坐标为， 若曲线关于直线对称， 则点也在曲线上， 又，所以点不在曲线上， 所以曲线不关于直线对称，故C错误； 对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为， 则以四点为顶点的四边形的面积为， 所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【解题思路】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【解答过程】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（2025·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解. 【解答过程】 因为椭圆：，所以，，所以， 所以，， 因为点 在上，所以，所以，， 又，，所以， 又，， 所以， 因为大于，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：. 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【解答过程】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【解答过程】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围. 【解答过程】设为椭圆的右焦点，由题知， 故，显然为的圆心， 则， 由椭圆定义得， 故， 令，理由如下： 设，，则，， 故 ， 因为，所以， ， 函数均单调递增，故在上单调递增， 所以. 故选：A． 知识点2 椭圆的对称性 1．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 【题型3 椭圆的对称性及其应用】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的对称性可判断. 【解答过程】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【解题思路】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 【答案】C 【解题思路】由题设可得且求参数值，即可得结果. 【解答过程】要使为正三角形，则， 由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使，则必在左右顶点上， 所以，即，故，则. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【解答过程】椭圆的长半轴长，半焦距， 由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称， 则四边形为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ， 而，所以. 故选：D. 知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率 1．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 2．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 3．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 【变式4-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可. 【解答过程】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出椭圆方程，由题意可得，结合离心率以及的关系，可得出答案. 【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为， 依题意有，解得， ∴椭圆的标准方程为， 故选：C． 【变式4-3】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆离心率为，故可设，， 则椭圆的方程为. 由椭圆的定义可知，， 在中，， 由余弦定理可知， 所以， 即， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 【题型5 求椭圆的焦点、焦距】 【例5】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解题思路】由椭圆的标准方程,结合平方关系，即可求得焦点坐标. 【解答过程】由椭圆方程化标准方程得：， 由，可得， 则焦点坐标为：和， 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】A 【解题思路】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m． 【解答过程】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5， 故选：A． 【变式5-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 因为椭圆与椭圆有相同的焦点， 则，因为，解得. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意画出图形，求出,根据为等腰直角三角形,得到，结合计算即可. 【解答过程】由题可求得，则. 根据椭圆对称性，可知为等腰直角三角形， 所以，则，解得 ， 所以椭圆C的焦距为. 故选：A. 【题型6 求椭圆的长轴、短轴】 【例6】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解题思路】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解. 【解答过程】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程对的取值进行分类讨论，再由离心率计算可得结果. 【解答过程】若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 综上可得，椭圆的长轴长为6或. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【解答过程】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以， 所以，得. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两椭圆扁平程度相同可得两椭圆的离心率相等，由条件可求小椭圆的离心率，设大椭圆的长轴长为，根据离心率的定义列方程可求，由此可得结论. 【解答过程】由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同. 由小椭圆的短轴长为，长轴长为，可得其焦距长为，故离心率. 设大椭圆的长轴长为，又大椭圆的短轴长为， 所以，解得， 故大椭圆的长轴长为. 故选：A. 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，从而求出，代入离心率公式即可求解. 【解答过程】解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【解答过程】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，则可得，从而可求解. 【解答过程】椭圆E的焦点为，则， 如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有， 在中，由余弦定理推论得， 在中，由余弦定理得，解得， ， 所求椭圆E的离心率为. 故选：B． 【变式7-3】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，即可求出的不等关系，再由当Q点与重合时，得出，再根据点Q在的延长线上，即可得解. 【解答过程】 由题设为锐角且， 设，则且， 故， 因为在椭圆内部且在的延长线上，故且， 故， 而， 整理得到：， 故，故， 综上可得：. 故选：B. 【题型8 根据椭圆的离心率求参数】 【例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【解答过程】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）“”是“椭圆且离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据离心率求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若椭圆且离心率为， 当椭圆的焦点在轴时，则，解得； 当椭圆的焦点在轴时，则，解得； 所以由推得出“椭圆且离心率为”，故充分性成立； 由“椭圆且离心率为”推不出“”，故必要性不成立； 所以“” 是“椭圆且离心率为”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式8-3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【解答过程】由，得，因此，而，所以. 故选：A. 【题型9 椭圆的实际应用问题】 【例9】（24-25高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，解出即可得出离心率. 【解答过程】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 【变式9-1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式9-2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 【变式9-3】（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【答案】A 【解题思路】设椭圆的方程为，进而根据题意得，故，再根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】解：设椭圆的方程为， 因为此椭圆的离心率为，且， 所以，所以， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm. 故选：A. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$