专题六数列 期末复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年数学选择性必修第二册 第四章 数列 2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲六 第四章 数列【解析】 内 容 概 括 一、数列的基本知识与概念 典型例题 知识要点 题型一：等差数列的基本量运算 1.数列的概念 题型二:等差数列的判定与证明 2.数列的分类 题型三：等差数列的性质 3.数列的两种常用的表示方法 题型四：等差数列前n项和的性质 典型例题 题型五：等差数列前n项和的最值 题型一：数列的周期性 题型六:等差数列的数学文化 题型二：数列的单调性 题型七：等差数列奇偶项的和 题型三:数列的最大（小）项 三、等比数列和前n项和 题型四：数列中的规律问题 知识要点 题型五：数列的恒成立问题 1.等比数列的有关概念 题型六：用an与Sn的关系求通项或项 2.等比数列的有关公式 二、等差数列及其前n项和 3.等比数列的性质 知识要点 典型例题 1.等差数列的有关概念 题型一：等比数列的基本运算 2.等差数列的有关公式 题型二：等比数列的判定与证明 3.等差数列的常用性质 题型三:等比数列项的性质应用 4.等差数列的前n项和公式与函数的关系 题型四：等比数列前n项和的性质 5.等差数列的前n项和的最值 题型五：等比数列奇数项之和与所有偶数项之和的性质 6.其他衍生等差数列． 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 一、数列的基本知识与概念 1.数列的定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项. 3.数列的分类:   类 别 含 义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列；an＋1>an 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列;an＋1<an 常数列 各项相等的数列;an＋1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 4.数列的表示法:(1)通项公式;(2)图像法;(3)列表法;(4)递推公式． 5.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． 6.an与Sn的关系:若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 【常用结论】1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立． 2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立． 题型一：数列的周期性 例1-1．在数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推关系可以得到数列为等比数列，即可求出结论. 【详解】依题意，，则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，，所以当时，. 故选：B. 例1-2．斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据，且，求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 【详解】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列， 则，，，，，，，，， 则数列是以6为周期的周期数列，则， 则数列的第100项为3， 故选：． 例1-3．已知数列满足， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系和首项求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 【详解】因为数列满足，，， ，，......， 由上可知，对任意的，， . 故选：B. 例1-4．已知数列中，，则a2026=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 【详解】由， 得，，，，，， 则是以6为周期的周期数列，所以a2026=a337*6+4=a4=. 故选：A. 变式1-1.在数列中，，若对，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式得出,进而即可． 【详解】由与相减得：， 即，又，故， 所以. 故选：A. 变式1-2.已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2026项的和为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 …， 所以数列的各项依次为3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期为6． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …， 所以数列是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0， 其前项12的和为． 又， 所以数列的前2026项的和为等于前10项的和． 故答案为：. 【方法归纳】 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 题型二：数列的单调性 例2-1．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为单调递增数列，得到，再进行验证，判断结论. 【详解】由单调递增，得， 由，得，∴. 时，得①， 时，得，即②， 若，②式不成立，不合题意； 若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.综上，排除B，C，D. 故选：A 例2-2．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据数列为单调递增数列，可以得到对任意恒成立，求出k的取值范围，再判断结论. 【详解】由题意得数列为递增数列等价于 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，且可以无限接近于0，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 例2-3．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若数列为递增数列， 则， 即 由，所以有， 反之，当时，，则数列为递增数列， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件， 故选：C. 变式2-1．已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列是递增数列，可以判断两段数列都是递增数列. 【详解】因为，是递增数列， 所以，解得， 所以实数t的取值范围为， 故选：C 变式2-2．已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为递减数列，利用通项公式进行判断. 【详解】因为，所以数列为递减数列， 当时，， 故可知当时，单调递减，故为递减数列， 只需满足，即． 故选:A. 变式2-3．已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，则， 所以，即，所以是递增数列，故充分性成立； 当时，则，所以是递增数列， 所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立， 所以“”是是递增数列的充分不必要条件. 故选：B 【方法归纳】 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列. 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断. 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断. 题型三:数列的最大（小）项 例3-1．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______. 【答案】. 【分析】根据两个已知数列写出新数列的通项公式，从而得到的通项公式，再利用作差法确定最大项. 【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：， 该数列为首项为1，公差为的等差数列，所以，所以 因为. 所以当时，，即， 又， 所以数列的最大项为第二项，其值为. 故答案为：. 例3-2．记为数列的前n项和，若，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】依题意，数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 于是，令， 则有， 显然当时，，即，因此当时，数列是递增的， 又，所以的最小值为. 故答案为： 例3-3．已知数列满足，，则的最小值为_________. 【答案】9 【详解】由已知可得，，所以当时，有. 则有，，，.....，， 两边分别相加可得， 所以. 当时，满足条件. 所以，，所以. 设， 根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增. 又，， 所以，当或时，有最小值为9. 故答案为：9. 变式3-1．已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以，又，， 所以是首项为64，公比为k的等比数列，则， 则， 因为是唯一的最大项，所以，即，解得， 即k的取值范围为. 故答案为：. 变式3-2．数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，单调递增，因此时，取得最大值为， 当时，， 因为是中的最大项， 所以解得， 故答案为: . 【方法归纳】 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型四：数列中的规律问题 例4-1．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．110 B．128 C．144 D．89 【答案】C 【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈， 所以，， 又因为，，所以，；，； ，；，； ，；． 故选：C. 例4-2．我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，所有项的个数和为55，第56项为12， 故选：B. 变式4-1．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（    ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】B 【详解】由题意可得，三角数列的通项为， 则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….， 设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则， 其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…， ∴在三角数列中，第二个正方形数是36. 故选：B. 变式4-2．观察下列各式： ；；；；； ..... 则（    ） A．28 B．76 C．123 D．10 【答案】C 【详解】设则 通过观察不难发现：从而 故， 故选：C. 题型五：数列的恒成立问题 例5-1．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______． 【答案】 【详解】∵， ∴数列为单调递减数列，． 从而，即k的最小值为． 故答案为： 例5-2．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】 从而可得，即， 因为，所以. 故答案为： 变式5-1．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ∵不等式恒成立， ∴，解得， 故选：B. 变式5-2．数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由此可知， 所以， 所以 ， 对任何正整数恒成立，即． 故选：A. 题型六：用an与Sn的关系求通项或项 例6-1.记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 例6-2.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 变式6-1.已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求的通项公式； （2）可求得，进而可得结论. 【详解】（1）因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． （2）由（1），， 所以， 所以． 变式6-2.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析;(2). 【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可； （2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得. 【详解】（1）数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 【方法归纳】用an与Sn的关系求通项或项 1.关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2.已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 二、等差数列及其前n项和 1. 等差数列的概念:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 2.等差数列的分类: (1)d>0⇔{an}为递增数列； (2)d<0⇔{an}为递减数列； (3)d＝0⇔{an}为常数列． 3.等差中项的概念:由三个数a，A，b组成的等差数列,则A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 4.等差数列的通项公式: ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． ①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 5. 判断等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 6. 等差数列的性质: (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n. 7.等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d． (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d. 8.等差数列的前n项和公式 (1)已知数列的首项，末项与项数，Sn＝； （2）已知首项，公差与项数Sn＝na1＋d 【方法归纳】 1.等差数列{an}的前n项和Sn常见变形： (1)Sn＝n·； (2)Sn＝n2＋(a1－)n； (3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)． 2.等差数列前n项和公式的性质： (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)， 则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. （2）若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)， 则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，＝. 3.等差数列前n项和Sn的最值 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 【方法归纳】 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 题型一：等差数列的基本量运算 例1-1．若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为，可得， 所以有，解得， 故选：B. 例1-2．已知数列．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值． 【答案】(1)；(2)28 【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式； （2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案. 【详解】（1）由，可知， 所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可知， 令，解得， 令，解得， 即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大， 最大值为． 例1-3．在公差为的等差数列中，，则（    ） A．1或2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项列式求解即得. 【详解】在等差数列中， 则，整理得， 所以. 故选：D 变式1．若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 题型二:等差数列的判定与证明 例2-1．已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) 利用等差数列的定义证明；(2)利用裂项相消法. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 于是，因此数列是常数列，则， 从而，即， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以. 例2-2．记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列； ② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)略；（2）利用裂项相消法. 【详解】（1）选择条件①：， ， 两式相减可得， 即，， 两式相减可得， 化简可得， ，数列是等差数列． 选择条件②：设数列的首项为，公差为p，则， 故， 当时，， 当时，，， 又． 数列是等差数列． （2）数列是等差数列，且公差， ． ， 故 ． 例2-3．已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求出的通项． (2)证明：． 【答案】(1)略；（2）略. 【详解】（1）由，可得， ∴，即， ∵，即， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，即． （2）令①， ∵，∴②， ①×②得， ∴，即． 变式2．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满． (1)求证：为等差数列； (2)记，求数列的前2023项的和M． 【答案】(1)略；（2）. 【详解】（1）因为， 当时，，解得或， 又，所以，故， 由，可得，所以， 当时，．所以，即， 所以， 所以 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）所以，则， 因为， 故． 【方法归纳】 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 题型三：等差数列的性质 例3-1.已知等差数列，若，则 . 【答案】7 【分析】根据等差数列的性质和题设条件，求得，结合，即可求解. 【详解】因为等差数列中，满足， 根据等差数列的性质可得，解得， 又由. 故答案为：7. 例3-2.在等差数列中，已知，那么等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值． 【详解】为等差数列，设首项为，公差为， 由已知有，， 即． 故选：A． 例3-3.已知数列为等差数列，，则（    ） A．19 B．22 C．25 D．27 【答案】A 【分析】依题意由等差数列性质计算可得，利用等差中项计算可得，可求出. 【详解】根据等差数列性质，由可得， 所以可得， 又可得， 所以. 故选：A 例3-4.记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 题型四：等差数列前n项和的性质 例4-1．等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（   ） A．130 B．170 C．210 D．260 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知数据，求解即可. 【详解】利用等差数列的性质：成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C. 例4-2．设是等差数列的前n项和，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前项和公式计算的等量关系，代入所求即可求出结果. 【详解】设数列的公差为， ，， 则， 故答案为：. 例4-3．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论） 同理因为为等差数列的前项和，所以可设． 又，所以，即， 整理得，解得． 不妨设，则，则，故， 故选：D． 例4-4．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 题型五：等差数列前n项和的最值 例5-1．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 例5-2．已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，. 故选：B． 例5-3．【多选】已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 【答案】ABD 【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D. 【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为， 所以， 若，则一定大于零，不符合题意， 所以，，故A正确； B：由A可知， ，故B正确； C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误； D：，，故D正确. 故选：ABD. 例5-4．【多选】已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前 项和公式即可判断BCD. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， 所以当时，，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 例5-5．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【方法归纳】在等差数列中，求的最小（大）值的方法： （1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）； （2）借助二次函数的图象及性质求解. 变式5. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以，所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 题型六:等差数列的数学文化 例6-1．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【分析】利用数列为等差数列的条件求出公差和其中一项. 【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为， 依题意有：，， ，公差 ， 则， 所以谷雨这一天的日影长度为尺， 故选：A 例6-2．家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（    ） A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元 【答案】D 【分析】先将问题情境转化为等差数列模型解决，其中，，再由等差数列的通项公式及其前项和公式求解即可. 【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为， 可得，，所以公差为， 所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为. 故选：D 例6-3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（    ）斤棉花？ A．99 B．116 C．133 D．150 【答案】A 【分析】先将问题情境转化为等差数列模型解决，其中996为其前项的和，为其公差，再由等差数列的通项公式及其前项和公式求解即可. 【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列， 设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为， 则由题意得：， 解得：， 所以． 故选：A 例6-4．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块． 【答案】 【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差为，，设每层有 环，则，，根据等差数列前项和公式求出，再求出即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，， 设每层有环，则，， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 所以，则， 即上层有扇形石板块. 故答案为：． 例6-5．【多选】《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ） A．2 B．9 C．11 D．13 【答案】ACD 【分析】设该“等腰梯形垛”最上面一层有根木棍，共有层，由等差数列的前项和可得，分类讨论，或，解方程即可得出答案. 【详解】设该“等腰梯形垛”最上面一层有根木棍，共有层，则， 即．因为， 所以或或， 解得或或. 故选：ACD． 题型七：等差数列奇偶项的和 例7-1．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【详解】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 例7-2．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 例7-3．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 例7-4．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 例7-5．已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 【答案】ABD 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即； ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即； 所以，A对， ，B对； ，C错； 为奇数时， ，D对. 故选：ABD 例7-6．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【方法归纳】等差数列奇、偶规律 结论1：若等差数列的项数为 则 结论2：若等差数列的项数为 则 三、等比数列和前n项和 1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q为非零常数 )． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数) 2. 等比中项:若三个数a，G，b组成的等比数列．则G叫做a与b的等比中项，且G2＝ab. 3. 等比数列的通项公式 (1) an＝a1qn－1.(2)an＝am·qn－m(n，m∈N*)． 4. 等差与等比数列对比 5. 等比数列前n项和公式: Sn＝ 6. 等比数列的性质: (1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a; (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列; (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (4)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (5)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (6)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和， 则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 7. 等比数列的判定方法 (1) 定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2) 等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3) 通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4) 前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 【说明】前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． 题型一：等比数列的基本运算 例1-1．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 例1-2．已知数列是等比数列，，则该数列的以及依次为（    ） A．682， B．， C．682，或 D．，或 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的前n项和和通项即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 根据题意，得，解方程得，或， ，或. 故选：C 例1-3．设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，，， 故． 故选：B. 例1-4．已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． （2）因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 题型二：等比数列的判定与证明 例2-1．甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 【答案】（1），． （2），． 【分析】（1）利用已知条件用，表示，； （2）利用定义证明数列为等比数列并求出，的通项． 【详解】（1）由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以，． （2）由（1）知，，， 可得， 所以数列是等比数列， 因为％，所以 ①， 又因为  ②． 联立①②得，． 例2-2．已知数列满足，，其中为的前n项和． 证明：(1)是等比数列． (2)． 【答案】(1)略;(2)略. 【分析】(1)利用定义法证明数列为等比数列； (2)根据（1）求出的通项公式求出相邻两项的和，再利用等比数列求和方法和放缩法进行证明. 【详解】（1）∵，∴， 两式相减得：， 即． ∴． 当时，，即 又∵， ∴是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以 令， 则． 不等式左边的前2n项和． 又， ∴原不等式得证． 例2-3．已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)略;(2). 【分析】(1)利用定义法证明数列为等比数列； (2)利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，，得， 整理得，而， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列 （2）由（1）知，∴， ∴， 设，则， 两式相减得， 从而 ∴. 例2-4．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两个等式，结合方程的思想，全部转化为关于的方程，解方程组可得. 【详解】设数列的公比为，由得，所以， 又因为各项均为正数， 所以， 由得，所以， 故， 故选：A. 变式2．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 【方法归纳】 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列. 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列. 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列. 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列. 题型三:等比数列项的性质应用 例3-1．已知等比数列的前n项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出数列的前三项，再利用等比数列的条件即可求出c的值. 【详解】由题意可得，， ， 故有. 故答案为： 例3-2．已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________. 【答案】 【分析】根据已知条件得到数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式和等比中项的性质求解. 【详解】因为在数列中，，，则，所以，， 所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为， 因为、是函数的两个零点， 由韦达定理可得， 因为，可得，所以，， 由等比中项的性质可得，因此，. 故答案为：. 例3-3．若实数成等差数列，成等比数列，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列的公差计算求出，再根据等比中项求出即可. 【详解】实数成等差数列，则等差数列的公差为， 成等比数列，则， 由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则. 故答案为：. 变式3-1．已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等比中项的定义得出；再根据等差数列的通项公式得出，化简即可解答. 【详解】因为是与的等比中项，所以. 又因为数列为等差数列，公差为， 所以，化简得，即， 所以. 故选：A. 变式3-2．在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 【答案】165 【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即， 因公差大于零，解得，（舍）， 所以， 故答案为：165. 题型四：等比数列前n项和的性质 例4-1．已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________.【答案】40 【分析】利用，求出S10,S30,再由等比数列前项和的性质可求出的值. 【详解】因为，，所以，，则等比数列的公比， 所以，，也是等比数列， 所以，，也是等比数列， 所以， 即，解得或， 又，所以. 故答案为：40. 例4-2．在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值. 【详解】由，得， 因为数列为等比数列，所以成等比数列， 所以， 所以，整理得，, 解得或， 因为等比数列的各项为正数，所以， 所以， 故选：D 例4-3．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 变式4-1.设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【答案】91. 【详解】 等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列， ∴，∴， ∴. 【方法归纳】 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则； ②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 题型五：等比数列奇数项之和与所有偶数项之和的性质 例5-1．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为 ，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 例5-2．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 例5-3．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 例5-4．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，， 所以， 故选：C． 例5-5．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 【方法归纳】等比数列奇偶规律 结论1：若等比数列的项数为，则 结论2：若等比数列的项数为，则 说明：分别表示所有奇数项与所有偶数项的和 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 例6-1．在等差数列中，． (1)求等差数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)an=2n-1；(2)Sn=2n-2n2-1 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题知，则，解得． （2）设数列的通项公式为，则，， 则． 例6-2．公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【分析】（1）根据作差求出，即可求出公比与参数的值； （2）由（1）可得，则，利用等差数列求和公式求出，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）， 当时，； 当时，，所以， 所以，，， 又数列为等比数列，则， 又，，解得； （2）由（1）可得， 所以， ， 当时，， ． 即：． 例6-3．已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立，即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学选择性必修第二册 第四章 数列 2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲六 第四章 数列【解析】 内 容 概 括 一、数列的基本知识与概念 典型例题 知识要点 题型一：等差数列的基本量运算 1.数列的概念 题型二:等差数列的判定与证明 2.数列的分类 题型三：等差数列的性质 3.数列的两种常用的表示方法 题型四：等差数列前n项和的性质 典型例题 题型五：等差数列前n项和的最值 题型一：数列的周期性 题型六:等差数列的数学文化 题型二：数列的单调性 题型七：等差数列奇偶项的和 题型三:数列的最大（小）项 三、等比数列和前n项和 题型四：数列中的规律问题 知识要点 题型五：数列的恒成立问题 1.等比数列的有关概念 题型六：用an与Sn的关系求通项或项 2.等比数列的有关公式 二、等差数列及其前n项和 3.等比数列的性质 知识要点 典型例题 1.等差数列的有关概念 题型一：等比数列的基本运算 2.等差数列的有关公式 题型二：等比数列的判定与证明 3.等差数列的常用性质 题型三:等比数列项的性质应用 4.等差数列的前n项和公式与函数的关系 题型四：等比数列前n项和的性质 5.等差数列的前n项和的最值 题型五：等比数列奇数项之和与所有偶数项之和的性质 6.其他衍生等差数列． 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 一、数列的基本知识与概念 1.数列的定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项. 3.数列的分类:   类 别 含 义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列；an＋1>an 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列;an＋1<an 常数列 各项相等的数列;an＋1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 4.数列的表示法:(1)通项公式;(2)图像法;(3)列表法;(4)递推公式． 5.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． 6.an与Sn的关系:若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 【常用结论】1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立． 2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立． 题型一：数列的周期性 例1-1．在数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 例1-2．斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例1-3．已知数列满足， ，则（    ） A． B． C． D． 例1-4．已知数列中，，则a2026=（   ） A． B． C．1 D．2 变式1-1.在数列中，，若对，则（    ） A． B．1 C． D． 变式1-2.已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2026项的和为 ． 【方法归纳】 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 题型二：数列的单调性 例2-1．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 例2-3．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-1．已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变式2-3．已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法归纳】 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列. 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断. 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断. 题型三:数列的最大（小）项 例3-1．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______. 例3-2．记为数列的前n项和，若，则的最小值为_____． 例3-3．已知数列满足，，则的最小值为_________. 变式3-1．已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为______． 变式3-2．数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是______． 【方法归纳】 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型四：数列中的规律问题 例4-1．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．110 B．128 C．144 D．89 例4-2．我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 变式4-1．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（    ） A．28 B．36 C．45 D．55 变式4-2．观察下列各式： ；；；；； ..... 则（    ） A．28 B．76 C．123 D．10 题型五：数列的恒成立问题 例5-1．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______． 例5-2．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________. 变式5-1．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式5-2．数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型六：用an与Sn的关系求通项或项 例6-1.记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 例6-2.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 变式6-1.已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 变式6-2.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【方法归纳】用an与Sn的关系求通项或项 1.关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2.已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 二、等差数列及其前n项和 1. 等差数列的概念:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 2.等差数列的分类: (1)d>0⇔{an}为递增数列； (2)d<0⇔{an}为递减数列； (3)d＝0⇔{an}为常数列． 3.等差中项的概念:由三个数a，A，b组成的等差数列,则A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 4.等差数列的通项公式: ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． ①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 5. 判断等差数列的方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 6. 等差数列的性质: (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n. 7.等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d． (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d. 8.等差数列的前n项和公式 (1)已知数列的首项，末项与项数，Sn＝； （2）已知首项，公差与项数Sn＝na1＋d 【方法归纳】 1.等差数列{an}的前n项和Sn常见变形： (1)Sn＝n·； (2)Sn＝n2＋(a1－)n； (3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)． 2.等差数列前n项和公式的性质： (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)， 则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. （2）若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)， 则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，＝. 3.等差数列前n项和Sn的最值 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 【方法归纳】 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 题型一：等差数列的基本量运算 例1-1．若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 例1-2．已知数列．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值． 例1-3．在公差为的等差数列中，，则（    ） A．1或2 B．1 C． D． 变式1．若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二:等差数列的判定与证明 例2-1．已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 例2-2．记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列； ② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 例2-3．已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求出的通项． (2)证明：． 变式2．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满． (1)求证：为等差数列； (2)记，求数列的前2023项的和M． 【方法归纳】 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 题型三：等差数列的性质 例3-1.已知等差数列，若，则 . 例3-2.在等差数列中，已知，那么等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3-3.已知数列为等差数列，，则（    ） A．19 B．22 C．25 D．27 例3-4.记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 题型四：等差数列前n项和的性质 例4-1．等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（   ） A．130 B．170 C．210 D．260 例4-2．设是等差数列的前n项和，若，则 ． 例4-3．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 例4-4．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 题型五：等差数列前n项和的最值 例5-1．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5-2．已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 例5-3．【多选】已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 例5-4．【多选】已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（    ） A． B． C． D． 例5-5．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【方法归纳】在等差数列中，求的最小（大）值的方法： （1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）； （2）借助二次函数的图象及性质求解. 变式5. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 题型六:等差数列的数学文化 例6-1．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 例6-2．家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（    ） A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元 例6-3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（    ）斤棉花？ A．99 B．116 C．133 D．150 例6-4．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块． 例6-5．【多选】《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ） A．2 B．9 C．11 D．13 题型七：等差数列奇偶项的和 例7-1．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 例7-2．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 例7-3．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 例7-4．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 例7-5．已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 例7-6．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【方法归纳】等差数列奇、偶规律 结论1：若等差数列的项数为 则 结论2：若等差数列的项数为 则 三、等比数列和前n项和 1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q为非零常数 )． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数) 2. 等比中项:若三个数a，G，b组成的等比数列．则G叫做a与b的等比中项，且G2＝ab. 3. 等比数列的通项公式 (1) an＝a1qn－1.(2)an＝am·qn－m(n，m∈N*)． 4. 等差与等比数列对比 5. 等比数列前n项和公式: Sn＝ 6. 等比数列的性质: (1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a; (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列; (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (4)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (5)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (6)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和， 则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 7. 等比数列的判定方法 (1) 定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2) 等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3) 通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4) 前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 【说明】前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． 题型一：等比数列的基本运算 例1-1．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 例1-2．已知数列是等比数列，，则该数列的以及依次为（    ） A．682， B．， C．682，或 D．，或 例1-3．设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 例1-4．已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 题型二：等比数列的判定与证明 例2-1．甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 例2-2．已知数列满足，，其中为的前n项和． 证明：(1)是等比数列． (2)． 例2-3．已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 例2-4．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【方法归纳】 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列. 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列. 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列. 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列. 题型三:等比数列项的性质应用 例3-1．已知等比数列的前n项和为，则__________. 例3-2．已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________. 例3-3．若实数成等差数列，成等比数列，则= . 变式3-1．已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 题型四：等比数列前n项和的性质 例4-1．已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________. 例4-2．在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 例4-3．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 变式4-1.设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【方法归纳】 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则； ②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 题型五：等比数列奇数项之和与所有偶数项之和的性质 例5-1．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例5-2．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 例5-3．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 例5-4．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 例5-5．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【方法归纳】等比数列奇偶规律 结论1：若等比数列的项数为，则 结论2：若等比数列的项数为，则 说明：分别表示所有奇数项与所有偶数项的和 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 例6-1．在等差数列中，． (1)求等差数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 例6-2．公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 例6-3．已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $