第3章 圆 章节提优卷 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第3章 圆 章节提优卷2025-2026北师大版九年级下 一．选择题（共8小题） 1．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 2．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　） A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定 3．三角形的内心是该三角形的（　　） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 4．下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 5．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　） A． B．4m C．5m D．6m 6．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 7．如图，⊙O的半径等于6，其内接正六边形ABCDEF中，AE、BF交于点G，BD、CE交于点H，则四边形BGEH的面积是（　　） A．36 B． C． D．24 8．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 二．填空题（共8小题） 9．在直角坐标系中，以P（3，1）为圆心，r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为　 　 ． 10．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC＝36°，且⊙O的半径为1，则劣弧的长是 　 　 ． 11．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 　 　 ． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　 　 ． 13．如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝　 　 °． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点P是圆上任意一点，且∠APB是锐角，则sin∠APB的值为 　 　 ． 15．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝12，EF＝8，点M在以半径为4的⊙D上运动，则MF2+MG2的最小值为　 　 ． 16．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　 　 ； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 18．如图，BO平分∠ABC，AB与⊙O相切于点D，连接OD，延长DO交BC于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，OE＝5，求BD的长． 19．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，⊙O的半径为6cm．求圆中阴影部分的面积． 20．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数． 21．抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F，AE＝BF． （1）求证：AC＝BD． （2）若AE＝4，AC＝8，求两个绳柄之间的距离AB． 22．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD （1）求证：AB＝CD； （2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论． 23．数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小； （2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度． 一．选择题（共8小题） 1．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 2．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　） A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定 【解答】解：∵点P在⊙O外， ∴d＞3． 故选：A． 3．三角形的内心是该三角形的（　　） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【解答】解：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 故选：B． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【解答】解：A、错误．弧是圆上两点间的部分． B、如图， 弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误． D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确； 故选：D． 5．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　） A． B．4m C．5m D．6m 【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB， ∴AD＝DBAB＝2m， 设该桨轮船的轮子半径为rm， 在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2 即r2＝（r﹣1）2+22， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为2＝5（m）， 故选：C． 6．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 【解答】解：连接BD， 由题意得，AB＝BD， ∴∠DAB＝∠ADB， ∵CD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠DAB＝∠ADB＝2∠DBC＝2∠C， ∵∠ABC＝87°，∠BAC+∠C+∠ABC＝180°， ∴3∠DBC＝93°， ∴∠DBC＝31°， ∴的度数为31°． 故选：B． 7．如图，⊙O的半径等于6，其内接正六边形ABCDEF中，AE、BF交于点G，BD、CE交于点H，则四边形BGEH的面积是（　　） A．36 B． C． D．24 【解答】解：如图，连接OA，OF，BE． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴△AOF是等边三角形，BE是⊙O的直径， ∴∠AOF＝60°，∠BFE＝90°， ∴∠AEF∠AOF＝30°， ∴FG＝EF•tan30°＝2， ∴EG＝2GF＝4， 同法可得GB＝BH＝EH＝4， ∴四边形BGEH是菱形， ∴四边形BGEH的面积＝BG•EF＝24． 故选：C． 8．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 【解答】解：如图所示，△ACB为四个全等的直角三角形其中之一，DH⊥AB，EG⊥AB，DI⊥EG，EF∥AB．DJ⊥AC，DK⊥CB． 易得四边形EFGB和DHGI均是矩形． 由于“弦图”为中心对称图形，故依次连接四个全等直角三角形的内切圆圆心，构成的四边形为正方形． 根据题意，EF＝DH＝IG＝6，OE＝OD，则DEOE． 根据对称性可得AH＝FB＝EG． 设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 在Rt△ACB中，⊙D为内切圆，易得四边形CJDK为边长等于6的正方形． 由切线长定理可得AJ＝AH，BK＝BH． ∴AB＝AH+BH＝AJ+BK+CJ+CK，即c＝a+b﹣12． 又∵AC＝AJ+CJ＝b，AB＝AH+GB+HG＝c， ∴HG＝DI＝c﹣（AH+GB）＝c﹣（AJ+CJ）＝c﹣b． ∴EI＝EG﹣DH＝AC﹣CJ﹣DH＝b﹣2×6＝b﹣12． 在Rt△DIE中，DE2＝EI2+DI2，即（c﹣b）2+（c﹣a）2＝340． 整理得：2c2+a2+b2﹣2c（a+b）＝340． ∵a2+b2＝c2，a+b＝c+12． ∴c2﹣24c﹣340＝0，解得c＝34． 故答案为：D． 二．填空题（共8小题） 9．在直角坐标系中，以P（3，1）为圆心，r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为　3或　 ． 【解答】解：当圆心在（3，1）且与y轴相切时，r＝3， 当圆心在（3，1）且经过原点时，r． 故答案为：3或． 10．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC＝36°，且⊙O的半径为1，则劣弧的长是 　　 ． 【解答】解：如解图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°， 故劣弧的长是． 故答案为：． 11．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 　5＜r＜13　 ． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴△ABD是直角三角形， ∵CD＝AB＝12，AD＝5， ∴， ∴r的取值范围为：5＜r＜13， 故答案为：5＜r＜13． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　　 ． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DCB＝45°， ∴∠DCB＝∠DAB＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°， ∴BD＝AD＝1， ∴． 故答案为：． 13．如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝　115　 °． 【解答】解：由题意∠C+∠D＝180°， ∵∠C＝65°， ∴∠D＝115°， 故答案为：115． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点P是圆上任意一点，且∠APB是锐角，则sin∠APB的值为 　　 ． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由题意和正方形的性质得，∠AOB＝90°， ∴∠APB∠AOB＝45°， ∴sin∠APB． 故答案为：． 15．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝12，EF＝8，点M在以半径为4的⊙D上运动，则MF2+MG2的最小值为　144　 ． 【解答】解：设GF的中点为N，连接MN、DM，如图： 则DM＝4，GNGFDE＝6，根据题意可得，MF2+MG2＝2MN2+2GN2＝2MN2+72， ∴当MN的值最小时，MF2+MG2的值最小， 又∵点M在以半径为4的⊙D上运动， ∴MN的最小值＝DN﹣4，由勾股定理可得：DN， ∴MN的最小值为6， ∴MF2+MG2的最小值为＝2MN2+72＝2×36+72＝144， 故答案为：144． 16．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　16　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠ADB＝120°， ∴∠ADB+∠ACB＝180°， ∴四边形ACBD是圆内接四边形， ∴OA＝OBAB4， ∴⊙O直径为8． 如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC， ∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC， ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠DAC+∠DBC＝180°， ∴∠DBC+∠HBC＝180°， ∴点D，点B，点H三点共线， ∵DC＝CH，∠CDH＝60°， ∴△DCH是等边三角形， ∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDHCD2， ∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大， ∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大， 即CD＝8， ∴四边形ADBC的面积的最大值为 CD2＝16， 故答案为：16． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　（3，2）　 ； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． （2）⊙M于y轴相交，理由如下： 由勾股定理得：MA， 即⊙M的半径为r， ∵⊙M的圆心M的坐标为（3，2）， ∴点M到y轴的距离d＝3， ∵d＜r， ∴⊙M于y轴相交． 18．如图，BO平分∠ABC，AB与⊙O相切于点D，连接OD，延长DO交BC于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，OE＝5，求BD的长． 【解答】（1）证明：过点O作OF⊥BC于F， ∵AB与⊙O相于点D， ∴OD⊥AB， ∵BO平分∠ABC，OD⊥AB， ∴OF＝OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为4，OE＝5， ∴在Rt△OEF中，EF3， ∵BF，BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BC，OD⊥AB， ∴BD＝BF， 设BD＝BF＝x， 在Rt△EDB中，（x+3）2＝x2+92，x＝12， ∴BD＝12． 19．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，⊙O的半径为6cm．求圆中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接CO． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠ACO＝∠BCD， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图，过C作CE⊥AB于E， ∵∠D＝30°，∠OCD＝90°， ∴∠COD＝60°，∠AOC＝∠D+∠OCD＝120°， ∵CE⊥AB于E， ∴CEOD＝3cm， ∴cm2，S扇形OAC12π cm2， ∴圆中阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC＝（12π﹣9）cm2． 20．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数． 【解答】解：解法一：（用垂径定理求） 如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F， ∴， 又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠FCA＝25°， ∴的度数为25°， ∴的度数为50°； 解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED， ∵AE是直径， ∴∠ADE＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠E＝∠B＝25°， ∴的度数为50°； 解法三：（用圆心角求）如图，连接CD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠A＝65°， ∵CA＝CD， ∴∠ADC＝∠A＝65°， ∴∠ACD＝50°， ∴的度数为50°． 21．抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F，AE＝BF． （1）求证：AC＝BD． （2）若AE＝4，AC＝8，求两个绳柄之间的距离AB． 【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图所示， ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°． ∵AE＝BF， ∴AE+OE＝BF+OF，即AO＝BO， 在Rt△ACO和Rt△BDO中， ∵， ∴Rt△ACO≌Rt△BDO（HL）． ∴AC＝BD； （2）解：设OE＝OC＝x，则AO＝x+4， 在Rt△ACO中，由勾股定理，得 （x+4）2＝x2+82， 解得：x＝6． ∴AO＝10． ∴AB＝20． 22．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD （1）求证：AB＝CD； （2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积； （3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， 则， ∴AB＝CD； （2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H， ∵弧BD的度数为120°， ∴∠BOD＝120°， ∴∠BOH＝60°， 则BHOB＝4， ∴BD＝8， 则四边形ABCD的面积AC×BD＝96； （3）AD＝2OM， 连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2， ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE， ∵∠BOC＝2∠BAC， 而∠BOC＝2∠BOM， ∴∠BOM＝∠BAC， 同理可得∠AOE＝∠ABD， ∵BD⊥AC， ∴∠BAC+∠ABD＝90°， ∴∠BOM+∠AOE＝90°， ∵∠BOM+∠OBM＝90°， ∴∠OBM＝∠AOE， 在△BOM和△OAE中， ， ∴△BOM≌△OAE， ∴OM＝AE， ∴AD＝2OM． 23．数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小； （2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度． 【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠A′B′C＝∠ABC＝130°，∠BCB′＝50°，CB＝CB′， ∴∠CB′B＝65°， ∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝65°； （2）（Ⅰ）直线BB′与⊙A′相切， ∵∠A′B′C＝∠ABC＝150°，∠BCB′＝60°，CB＝CB′， ∴∠CB′B＝60°， ∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝90°， ∴直线BB′与⊙A′相切； （Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B＝90°，BB′＝BC＝5，AB′＝AB＝3， 由勾股定理得，A′B． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $