3.5 确定圆的条件 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级下册数学

3.5确定圆的条件 导学案 【学习目标】探索不在同一直线上的三个点确定一个圆． 【学习重难点】理解并运用不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【导学过程】 一.知识回顾 ⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于_____. ⒉确定圆需要两个基本条件，一个是____，另一个是____，其中，____确定圆的位置，____确定圆的大小. 3.____点确定一条直线． 二.探究新知 探究（一）确定圆的条件 1.如图1，经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形) 2.如图2，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（作出图形） •A •B •C •A •B •A 图3 图1 图2 结论1：①经过一点A可作____个圆； ②经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的____________上； ③以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径可作____个圆. 3.如图3，经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A，B，C三点的⊙O存在 （1）圆心O到A，B，C三点距离____（填“相等”或“不相等”）. （2）连接AB，AC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥AC，则MN是AB的______.EF是AC的_______. （3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离____. 4.议一议：过如下三点能不能作一个圆?为什么? 因为AB和BC的中垂线____________________. 结论2：不在同一条直线上的三个点________圆. 探究（二）三角形的外接圆： 1.经过三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的____圆；这个三角形叫做圆的____三角形；外接圆的圆心叫做三角形的____，是三角形三条边____________的交点. 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。 锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在__________. 三.典例与练习图4 例1.下列说法正确的有（ ）个 ①经过三个点一定可以作圆．②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. A.0 B.1 C.2 D.3 练习1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（ ）. A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm 例2.在如图4正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）图5 A．点P B．点Q C．点R D．点M 练习2.如图5，以点P（4，2）为圆心的圆弧与x轴交于A（2，0），B两点， 则点B的坐标________． 例3.（破轮求径）如图6，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm，CD=8cm.（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；图6 （2）求（1）中所作圆的半径. 解：（2）连接OA，设OA=x,在Rt△AOD中，由勾股定理得：O OA2=OD2+AD2，即：________________ 答：圆的半径是________. 练习3.如图7，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．图7 四.课堂小结 1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆． “不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”． 2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 五.分层过关图8 1.三角形的外心是（ ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条高的交点 2.直角三角形两直角边长分别是16和12，此三角形的外接圆半径是（ ） A．6 B．8 C．10 D. 8或10 3.A、B、C是平面内的三点，AB=BC=3,AC=6，下列说法中正确的是（ ） A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上,B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外 C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外,D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内 4.如图8，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=____. 5.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． (1)求证AC＝AE；(2)求△ACD外接圆的半径． 图9 思考题： 6.如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y=0.5x2-bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．（1）则抛物线的解析式为：________________； （2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，点D的坐标________，∠ADB=________； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M， 求点M的坐标及⊙M的半径； 图10 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5确定圆的条件 导学案 【学习目标】探索不在同一直线上的三个点确定一个圆． 【学习重难点】理解并运用不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【导学过程】 一.知识回顾 ⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于半径. ⒉确定圆需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 3.两点确定一条直线． 二.探究新知 探究（一）确定圆的条件 1.如图1，经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形) 2.如图2，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（作出图形） •A •B •C •A •B •A 图3 图1 图2 结论1：①经过一点A可作无数个圆； ②经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； ③以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径可作无数个圆. 3.如图3，经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A，B，C三点的⊙O存在 （1）圆心O到A，B，C三点距离相等（填“相等”或“不相等”）. （2）连接AB，AC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥AC，则MN是AB的中垂线.EF是AC的中垂线. （3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离相等. 4.议一议：过如下三点能不能作一个圆?为什么? 因为AB和BC的中垂线互相平行，没有交点. 结论2：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 探究（二）三角形的外接圆： 1.经过三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；这个三角形叫做圆的内接三角形；外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点. 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部. 三.典例与练习图4 例1.下列说法正确的有（ D ）个 ①经过三个点一定可以作圆．②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. A.0 B.1 C.2 D.3 练习1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（D）. A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm 例2.在如图4正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（B）图5 A．点P B．点Q C．点R D．点M 练习2.如图5，以点P（4，2）为圆心的圆弧与x轴交于A（2，0），B两点， 则点B的坐标（6，0）． 例3.（破轮求径）如图6，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm，CD=8cm.（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；图6 （2）求（1）中所作圆的半径. 解：（2）连接OA，设OA=x,在Rt△AOD中，由勾股定理得：O OA2=OD2+AD2，即：x2=(x-8)2+122,x=13 答：圆的半径是13cm. 练习3.如图7，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．图7 解：由BC=12，易得BD=6，AD=8， 设OA=x,则由勾股定理得： OB2=OD2+BD2，即：x2=(8-x)2+62,解得：x=6.25 答：外接圆半径是6.25 四.课堂小结 1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆． “不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”． 2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 五.分层过关 1.三角形的外心是（ B ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点图8 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条高的交点 2.直角三角形两直角边长分别是16和12，此三角形的外接圆半径是（C） A．6 B．8 C．10 D. 8或10 3.A、B、C是平面内的三点，AB=BC=3,AC=6，下列说法中正确的是（B） A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上,B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外 C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外,D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内 4.如图8，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=45°. 5.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． (1)求证AC＝AE；(2)求△ACD外接圆的半径． 证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴AD是圆的直径，∴∠AED=90° ∵AD平分∠CAB∴AC=AE图9 (2)在Rt△ABC中，AC＝5，CB＝12∴AB=13∵AC=AE=5∴BE=8∵∠B=∠B,∠BED=∠C∴△BED∽△BCA ∴∴∴DE=，∴AD=∴△ACD外接圆的半径是 思考题： 6.如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y=0.5x2-bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．（1）则抛物线的解析式为：y=0.5x2-1.5x-2； （2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，点D的坐标（5，3），∠ADB=45°； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M， 求点M的坐标及⊙M的半径；图10 （3）如图，连接MA，MB，∵∠ADB=45，∴∠AMB=90， ∵MA=MB，MH⊥AB，∴AH=BH=HM=2.5， ∴点M的坐标为(1.5，2.5），⊙M的半径为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$