精品解析：浙江省舟山市2025--2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025学年第一学期九年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. “一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 不确定事件 C. 必然事件 D. 随机事件 2. 已知的半径是，点在圆外，则线段的长可能是（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，弦，都是的直径，若，则（ ） A B. C. D. 5. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 7. 如图，已知和是位似图形，位似中心为点O，且，则和的面积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 学习了“两个三角形相似预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确是（ ）． A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 如图，四边形为正方形，延长至点，以线段为边作正方形，取的中点，连接，下列能说明点是线段的黄金分割点的条件是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若，则等于________． 12. 在中，，，，则值为________． 13. 已知扇形面积为，半径为6，则扇形的弧长为________． 14. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是______（精确到0.01）． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 16. 如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算 （1）； （2）已知三个数，，，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式． 18. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 19. 寒假期间，小夏一家计划到舟山旅游，她利用制作了一份旅游攻略，其中包含A、B、C、D四个推荐景区．由于时间有限，一家人决定只选择部分景区游玩．为此，小夏将四个景区的名称分别写在四张背面完全相同的卡片上，准备通过随机抽取的方式来确定游览安排． （1）小夏父母只打算游玩一个景区，若从4张卡片中随机抽取一张，则抽到“普陀山景区”的概率为________； （2）小夏自己则想游玩两个景区，她从4张卡片中先随机抽取一张后，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的景区恰好是“桃花岛景区”和“普陀山景区”的概率． 20. 掷实心球是中考体育考试项目之一，小王准备投掷实心球（如图），实心球行进路线呈抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，距离地面． （1）求关于的函数表达式； （2）根据舟山市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分分．判断小王在此次考试中是否得到满分，并说明理由． 21. 如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． （1）求的长度； （2）如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 22. 为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息． 信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称． 信息2：经测量得到，，，． 任务（1）：求文化长廊最大宽度的长； 任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离． （参考数据：，，，结果精确到） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上不同的两点，且，求证：． 24. 如图，为的直径，弦，连接，，弦绕点逆时针旋转得到线段，连结交于点． （1）如图，若， ①求的度数； ②记交于点，连结．求证：； （2）在（1）的条件下，探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； （3）设，，请直接写出关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. “一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ） A. 不可能事件 B. 不确定事件 C. 必然事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断即可得出答案． 【详解】解：“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是不可能事件， 故选：． 2. 已知的半径是，点在圆外，则线段的长可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 因为点在圆外，则大于半径，即可求解． 【详解】解：∵的半径是，点在圆外， ∴，即， ∴选项中的长可能是． 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：C． 4. 如图，弦，都是的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据，，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．利用排除法，由可以排除A选项；由得对称轴，可以排除B和C选项；即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴可以排除A选项； ∵， ∴抛物线的对称轴， ∴可以排除B和C选项； 故选：D． 6. 如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：正多边形的外接圆为， 点为正边形的中心．， ， ， 故选：C． 7. 如图，已知和是位似图形，位似中心为点O，且，则和的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的面积之比是， 故选：A． 8. 学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质． ①、③通过平行相似，得出，再运用相似的性质即可解题； ②无法通过证明相似，所以②不符合题意． 【详解】解：如图所示： 对于①：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①符合题意； 对于②：且，但无法保证，故②不符合题意； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意． 综上所述，符合题意的是①③． 故选：B． 9. 如图，四边形为正方形，延长至点，以线段为边作正方形，取的中点，连接，下列能说明点是线段的黄金分割点的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、黄金分割的定义，正确进行计算是解题关键． 先设正方形的边长为，可求出，然后根据选项给的条件结合正方形判断或者即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴设，， ∵的中点， ∴， ∴， 选项A：∵，正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项A不符合题意； 选项B：∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项B不符合题意； 选项C：∵，， ∴， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 当，选项C符合题意； 选项D：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项D不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点，求出直线的解析式，设出点坐标，再过点作直线轴，过点作交直线于点，过点作交直线于点，结合旋转的性质证明，推出点，然后将点代入反比例函数中，得到关于的二次函数解析式，运用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵设直线的解析式为：， 将点，代入得： ， 由得：，即， 将代入中得：，即， ∴直线的解析式为：． ∵动点在线段上（不与端点重合）， ∴设动点． 过点作直线轴，过点作交直线于点，过点作交直线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵点绕点逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴点， ∴，， ∴点，即点， ∴点，即点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ∴得到关于的二次函数解析式为：， ∵，， ∴当时，有最大值为， ∵，， 又∵， ∴离对称轴越远的函数值越小， ∴当，有最小值为， ∵动点不与线段端点重合， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式和一次函数上的点的特征、反比例函数上的点的特征、二次函数的最值和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个要点和做出辅助线是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若，则等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确变形是解题关键． 根据，设，，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 在中，，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 13. 已知扇形面积为，半径为6，则扇形的弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案． 【详解】解：设扇形的弧长为，由扇形面积公式可得， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 14. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是______（精确到0.01）． 【答案】0.78． 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率． 【详解】通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先通过图像得出抛物线的对称轴为直线，再求出的对称点为，最后根据并结合图像求解即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵当，即抛物线在直线下方的部分， ∴由图可得：当或时，． 故答案为：或． 16. 如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 【答案】 ①. ②. 2或4 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义可得，，由勾股定理可得；证明，得到，则；证明，可得，则，，再根据矩形面积公式求解即可； （2）分点F在上和点F在的延长线上两种情况，证明得到，证明，，再根据相似多边形的性质得到或，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点F在上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，； 当点F在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，或； 综上所述，或 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，相似多边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与相似多边形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算 （1）； （2）已知三个数，，，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式． 【答案】（1）； （2）添加，比例式为（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算和成比例，熟练掌握特殊角的三角函数值和比例的性质是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）可以设再添上的数是，根据比例的定义就可解得． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：设添加的一个数为， 情况一：根据题意得，解得：，比例式即； 情况二：根据题意得，解得：，比例式即； 情况三：根据题意得，解得：，比例式即． 18. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由得出，即可判定； （2）先由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由相似三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 证明：是的角平分线， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 19. 寒假期间，小夏一家计划到舟山旅游，她利用制作了一份旅游攻略，其中包含A、B、C、D四个推荐景区．由于时间有限，一家人决定只选择部分景区游玩．为此，小夏将四个景区的名称分别写在四张背面完全相同的卡片上，准备通过随机抽取的方式来确定游览安排． （1）小夏父母只打算游玩一个景区，若从4张卡片中随机抽取一张，则抽到“普陀山景区”的概率为________； （2）小夏自己则想游玩两个景区，她从4张卡片中先随机抽取一张后，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的景区恰好是“桃花岛景区”和“普陀山景区”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键， （1）根据概率的公式即可得到答案； （2）通过画树状图的方法列出所有可能的结果，再根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可知，小夏从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“普陀山景区”的概率为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片是B“桃花岛景区”和C“普陀山景区”的结果有2种， ∴两次抽到的景区恰好是“桃花岛景区”和“普陀山景区”的概率为：． 20. 掷实心球是中考体育考试项目之一，小王准备投掷实心球（如图），实心球行进路线呈抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，距离地面． （1）求关于的函数表达式； （2）根据舟山市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分分．判断小王在此次考试中是否得到满分，并说明理由． 【答案】（1）； （2）达到满分，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）观察抛物线图像得出顶点坐标和与轴的交点，代入顶点式公式即可求解； （2）先求出抛物线与轴的交点，再作比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵由图可知，二次函数图像的顶点为，与轴的交点为， ∴设函数表达式为， 将代入得：， 求得：， ∴函数表达式为． 【小问2详解】 解：达到满分．理由如下： 设，， 解得：（舍去），， ∵，， ∵， ∴， ∴此次考试得到满分． 21. 如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． （1）求的长度； （2）如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键． （1）连接，，作于点，交于点，并结合正方形的性质，得到，通过平行线间的距离处处相等，得到，再根据垂径定理求解即可； （2）过点作，连接，，先根据垂径定理求出、的值，再通过三角函数的计算推出，，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，作于点，交于点， ∵正方形，正方形水平放置在地面，正方形边长均为， ∴， ∴， ∵圆心与地面的距离为， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【小问2详解】 如图，过点作，连接，， ∵，， ∴，， ∵，根据勾股定理求得， ∴， ∴，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为． 22. 为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息． 信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称． 信息2：经测量得到，，，． 任务（1）：求文化长廊最大宽度长； 任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离． （参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，轴对称的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形． （1）作，，垂足分别为F，H，可得，由，求出，证明 ，则，再证明四边形是矩形，则，故； （2）作于点G，则，可求得，由，求出，由，求出，再由文化长廊最高点E到地面的距离求解即可． 【详解】解：（1）作，，垂足分别为F，H， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴文化长廊最大宽度的长． （2）作于点G，由题意得，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴文化长廊最高点E到地面的距离． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上不同的两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题． （1）把代入得，进而根据对称轴公式，即可求解． （2）①根据当时，最大值为．得出，结合即可求解； ②把代入，得到：，代入代数式化简得出，即可得出点，关于对称轴对称，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得， 抛物线对称轴为直线，即． 【小问2详解】 解：①∵二次函数的最大值为．对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数取得最大值， ， 解得（舍去），， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②把代入，得到：， ∴，化简得， ∴，即点，关于对称轴对称， ∴． 24. 如图，为的直径，弦，连接，，弦绕点逆时针旋转得到线段，连结交于点． （1）如图，若， ①求的度数； ②记交于点，连结．求证：； （2）在（1）条件下，探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； （3）设，，请直接写出关于的函数关系式． 【答案】（1）①；②见解析； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①先运用旋转的性质得到，再利用垂径定理推出是的垂直平分线，得出，，最后结合三角形的内角和和外角的性质求解即可；②先连接，通过对顶角和直角互余的性质推出，再运用同弧所对的圆周角推出，最后证明并使用性质即可解题； （2）先过点作交于点，证明，得出，再根据（1）①的结论证明是等腰直角三角形，运用勾股定理推出，最后根据等量代换即可求解； （3）先作，过点作交于点，证明，得出，，再通过等量代换，求出，根据三线合一推出，然后根据，推出，最后结合等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：①作与相交于点， ∵弦绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，． ∵为的直径，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴． ∵在中，三角形的内角和为， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴． 故． ②如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，过点作交于点， ∵ ∴， ∵由（1）①得， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）①得， ∴在和中， ， ∴， ∴． ∵由（1）①得，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理：， ，即， ∴． 【小问3详解】 如图，在上截取，连接，过点作交于点， ∵弦绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，． ∵由（1）①得， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的垂径定理、同弧所对的圆周角相等、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等，能够作出辅助线和熟练的等量代换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $