上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

上师大附中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分: 150分） 一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分） 1. 已知全集，，则=_________. 【答案】 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为_________. 【答案】 3. 化简： （其中）． 【答案】 4. 已知角的终边经过点，则_________． 【答案】 5. 已知函数，则函数的值域为________． 【答案】 6. 记，则_______. 【答案】1 7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 【答案】 8. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数的取值范围为_________. 【答案】或. 9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒． 【答案】 10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】 11. 已知函数，若存在使得，则_________. 【答案】或 12. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 【答案】 详解：记集合，．由题意得， ①当时，，， 从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意 ②当时，，， 从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意； 综上，的取值为或． 二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分） 13. 若，则的值是 （ ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】A 14. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题： 命题①：方程没有实数根； 命题②：存在实数，使得当且时，都有． 则下列选项中正确的是 （ ） A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 【答案】A 三、解答题（共78分） 17. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式． 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上是严格减函数，所以不符合题意； 当时，在上是严格增函数，所以符合题意. 故. （2）当时，，又，解得， 时，， 当时，，因为为奇函数，所以， 又， 18. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数增长速度是由慢变快，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得，故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元， 所以，即，解得， 所以至少应完成销售利润万元． 19. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【详解】（1）由（） 因为，所以， 所以； （2）由题知，代入原式得， 整理得，即，① 又，可得， ，所以，，代入①得，， 由，得 . 20. 本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. （1）求的表达式； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数， 因为，所以在区间上严格增， 所以，即，解得， ； （2）方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根， 令，则关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， ， ； （3）令，由在上恒成立，得恒成立， 得恒成立，即，恒成立， 令，，在上严格增，， 令，，可得， . 21. 本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． （1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； （2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； （3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句： ：函数满足“关联”，且满足“关联”； ：函数满足“关联”. 判断是的什么条件，并证明你的结论. 【详解】（1）满足“关联”，不满足“关联”； （2）满足“关联”，对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 当时，，， 令，解得； 当时，， 令，解得； 当时，总存在，使得， 则，无解； 当时，总存在，使得， 则,无解； 综上所述，不等式的解是； （3）充要条件，证明如下 ①若函数满足“关联”， 即对于任意，都有 ，， 又是关联的，任取，成立，即是增函数， 任取，则， ，， ，满足“关联”， 是的充分条件； ②若函数满足“关联” 即对于任意，都有成立， 当，都有即 若存在使得，则， 这与满足，都有相矛盾， 所以成立，即满足“关联”， 任取则存在，使得任取 因为， 又因为满足“关联”，， 所以， 即，所以满足“关联”, 是的必要条件. 综上所述：是的充要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分: 150分） 一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分） 1. 已知全集，，则=_________. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为_________. 3. 化简： （其中）． 4. 已知角的终边经过点，则_________． 5. 已知函数，则函数的值域为________． 6. 记，则_______. 7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 8. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数的取值范围为_________. 9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒． 10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________. 11. 已知函数，若存在使得，则_________. 12. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分） 13. 若，则的值是 （ ） A． B． C． D．以上均不对 14. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是 （ ） A． B． C． D． 15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结 论中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题： 命题①：方程没有实数根； 命题②：存在实数，使得当且时，都有． 则下列选项中正确的是 （ ） A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题 三、解答题（共78分） 17. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数，且在区间上是严格增函数． （1）求的值； （2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式． 18. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 19. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 20.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和. （1）求的表达式； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 21.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． （1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； （2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； （3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句： ：函数满足“关联”，且满足“关联”； ：函数满足“关联”. 判断是的什么条件，并证明你的结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $