精品解析：广东省A20联盟2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测（一）

广东省A20联盟期末质量检测（一） 数学试题 （试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，核心知识点是“左加右减，上加下减”的平移规律．先根据向右平移的规则对自变量进行变换，再根据向下平移的规则对函数整体进行变换，从而得到平移后的函数解析式． 【详解】解：原函数为，根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”， 先将图象向右平移个单位长度，得到函数； 再将所得图象向下平移个单位长度，得到， 化简得． 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 4. 若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，利用弧长公式列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设圆心角度数为． ∵ 圆锥底面周长， 扇形弧长 ， ∴，解得． 故圆心角的度数为． 故选D． 5. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房，累计票房为三天总和，列方程即可． 【详解】解：由题意，得 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为亿元， ∴． 故选D． 7. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 8. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 任意写一个小于10的正整数，能被5整除 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，根据统计图可得，实验结果在附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案． 【详解】A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率，故A排除； B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确； C. 任意写一个小于10的正整数，能被5整除的概率为，故C排除； D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上的概率为，故D排除． 故选：B 9. 数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（ ） A. 5 B. 5.25 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，由图象可知：当时，，即，此时点A与点P重合，所以，然后可分当时，当时，进而得出二次函数解析式，最后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由图象可知：当时，，即， 此时点A与点P重合，所以， 当时，过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该函数的对称轴为直线， 由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，可知：M，N关于该函数的对称轴对称， 设点，则， ∴， ∴点R的横坐标为，即， 当时，如图所示： ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故选B． 10. 如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，由此求解即可． 【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． ∵∠DHC=90°， ∴∠AHD＝90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝＝12， ∴BM＝＝＝13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形和旋转的性质得到相等线段．根据旋转的性质得出，，，结合已知得出，再根据矩形的性质得到，即可得出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知：，，， ∵的中点恰好与点重合， ∴， ∵矩形中，，， ∴．， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是________米． 【答案】145 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． 15. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是____ ． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】如图，如图，设大正方形的边长为，则，到的距离 ∴阴影区域的面积为：，大正方形的面积是：， ∴小球最终停留在阴影区域上的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为__________；若点在上运动，当取最大值时，的长度是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由含角的直角三角形的性质可得，得出，即可得出的长，取的中点，连接、、，则，由三角形中位线定理可得，由得到当三点共线，且点F在上，有最大值；如图所示，设有最大值时点E运动到，延长交于G，过点G作交延长线于H，连接，证明，得到是等边三角形，则；再证明此时点D于点G重合，得到点为的中点，则为的中位线，，求出，得到，则，由勾股定理得到，则，即当取最大值时，的长度是． 【详解】解：在中，，，， ， 点是半径为4的上一动点， ， 当点落在线段上时，； 点是的中点， ； 如图，取的中点，连接、、， ， 在中，，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ∴点E在以点F为圆心，半径为2的圆上运动， ， ， ∴当三点共线，且点F在上，有最大值； 如图所示，设有最大值时点E运动到，延长交于G，过点G作交延长线于H，连接， ∵，F为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵E为的中点，点D在上，且四点共线， ∴此时点D于点G重合， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，的长度是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，含角的直角三角形的性质、三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，确定点E的运动轨迹，进而确定当三点共线，且点F在上，有最大值是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 18. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为； 把代入，得： 解得： ∴ ∴，， 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求，点的坐标为； （2） 解：如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）请用画树状图法或列表法，表示出所有可能出现的结果； （2）求被选到的2位老师恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） 所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （2）．【解析】 【分析】本题列表法求概率，熟练掌握列表法，是解题的关键： （1）列出表格，表示出所有可能出现的结果即可； （2）根据（1）中表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表格可知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中选到一男一女的结果有8种， 恰好选到一男一女的概率为： 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 22. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示． （1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值； （2）设矩形菜园的面积为平方米， ①列出与的函数关系式； ②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）的值为 （2）当时，菜园面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，应注意配方法求最大值在实际中的应用． （1）设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，根据矩形菜园的面积为平方米列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）①根据题意和（1）可得与的函数关系式； ②求出的取值范围，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米， 由题意可得， 解得，， 当时，， 当时，， ∵墙长为米， ∴， 即的值为． 【小问2详解】 解：①由题意可得， 即与的函数关系式为：； ②∵墙长为米， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）A款头盔的单价上涨了10元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； 【小问2详解】 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 24. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求的度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 【答案】（1） （2） 由旋转可知：，， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ． （3） 理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，， 由旋转可知：， ， ， 在中，． 由（1），且由旋转可知，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，再利用正方形的性质即可求解； （2）证明得，利用线段的和差即可求解； （3）根据旋转和正方形的性质可得，通过勾股定理得，证明得，利用线段转换和和差即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 由旋转可知：， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段之间的关系等，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 25. 综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． （1）【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； （2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】（1）2 （2） 解：， 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解； （2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，即， ， ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接， 是圆的直径， ， ，圆的半径为10， ， ， ， ， ， ， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省A20联盟期末质量检测（一） 数学试题 （试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 把函数的图象，先向右平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度，可以得到函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 4. 若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 任意写一个小于10的正整数，能被5整除 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上 9. 数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（ ） A. 5 B. 5.25 C. 5.5 D. 6 10. 如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 13. 如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为_____． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是________米． 15. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是____ ． 16. 如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为__________；若点在上运动，当取最大值时，的长度是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 20. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）请用画树状图法或列表法，表示出所有可能出现的结果； （2）求被选到的2位老师恰好是一男一女的概率． 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 22. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示． （1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值； （2）设矩形菜园的面积为平方米， ①列出与的函数关系式； ②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 24. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求的度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 25. 综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． （1）【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； （2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $