精品解析：江苏省南京市东南实验学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市东南实验学校高一（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解指数不等式，求得集合，根据并集与补集运算的定义即可得解. 【详解】由，解得，故， 故， 又因为， 故. 故选：C. 2. 设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解可得，即可. 【详解】因为，故，即，即， 因为，故，. 故. 故选：C 6. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 7. 已知函数，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用中间值比较的大小即可. 【详解】易知与在上单调递增， 因此在上单调递增. 因为，故有， 又因为， 综上，有， 又因为在上单调递增， 故， 即， 故选：B. 8. 设，对任意的正实数x均有不等式恒成立，则a＝（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析得，再分析与的单调性，再分类讨论与，发现均不符题意，因此有，即可得解. 【详解】由题可知，，因为，故， 因此易知函数单调递增，单调递减，故单调递减， 且函数与轴的交点为，与轴的交点为， 因此当时，；当时，； 当时，；当，. 若，则存在，使得， 即，与题意不符； 若，则存在，使得， 即，与题意不符； 因此，又因为， 解得， 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设，满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及条件可得判断A；化简变形利用基本不等式求解范围，可判断C、D的正误；根据“1”的代换法，化简计算，可判断B的正误. 【详解】选项A：由题意，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 选项C：由选项A可知，故， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 所以，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 10. （多选）定义在上的函数，则（　　） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，利用换元法，结合函数的单调性即可得解；对于C，验证与的关系即可判断；对于D，利用复合函数的单调性即可得解. 【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称， 且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B：令，则可转化为关于的函数， 易知在上单调递增，因此易知在上单调递增， 因此在上单调递增，又因为， 因此的值域为，即的值域为，故B正确； 对于C：， 即， 即函数关于中心对称，不关于直线对称，故C错误； 对于D：由B可知，令，则可转化为关于的函数，且在上单调递增， 又因为在上的值域为，且在该区间上单调递减， 根据复合函数单调性遵循“同增异减”，因此函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 11. 设，若函数在区间上单调递减，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 若，则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据中心对称即可求值判断B；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，当，时，函数在上单调递减， 此时函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，B正确； 对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个， C正确； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得， 又，所以，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 13. 定义在的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件判断函数在上的单调性，得，将所求不等式变形为，分、两种情况讨论，利用函数的单调性求解即得. 【详解】因为定义在的奇函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 因为，则， 则等价于， 当时，由，解得，则； 当时，由，解得，则. 因此不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设m，n，k是三个互不相同的实数，函数满足，则的取值范围是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出的解析式，然后画出图象求出满足题意的的范围即可. 【详解】当 时，，所以 . 当时，，所以 . 当 时，，所以 . 所以，画出图象为： 因为为三个互不相同的实数，， 假设，则由图象可以看出 令，则，所以； 令，所以，所以，则， 所以. 所以的范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式化简得，即可得解； （2）运用同角三角函数的基本关系以及弦化切的知识，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，， . 【小问2详解】 由题可知，， 因此. 16. （1）计算：； （2）已知求证：． 【答案】（1）； （2）证明：因为，所以. ， 又因为，， 故， 又因为，故，且， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）运用指数与对数运算法则，即可得解； （2）运用对数的换底公式以及对数函数的性质，即可得解. 【详解】（1） ； （2）略 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为偶函数，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的值域可得，根据函数的周期可得，再根据代入点，结合的范围，即可得解； （2）根据图象平移变换，可得平移后的函数为，结合偶函数的性质可得，结合，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，的值域为，故易知. 设函数的最小正周期为，则，且， 解得，因而解得， 故. 又因为图像过点，因此有， 得，， 又因为，故取，得， 即. 【小问2详解】 设向左平移个单位长度后，得到的函数为， 若为偶函数，则有， 得， 因为，故取， 此时即为的最小值，此时. 18. 若函数是定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的表达式； （2）设，函数，若，，使得，求m的取值范围； （3）设，函数，当时，若对任意的，都有，求k的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合已知的函数解析式，利用分段函数的解析式，可得答案. （2）根据一次函数与指数函数的性质，可得函数的值域；根据二次函数性质，可得函数的值域；结合题意可列出不等式组，可得答案. （3）根据对数函数的性质以及函数的性质可得函数的值域，结合题意建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由函数是在上的奇函数，则，且， 当时，，则， 当时，，则. 所以. 【小问2详解】 当时，；当时，； 当时，；当时，， 易知，. 由函数，则函数在上单调递减，上单调递增. 所以函数在上的最大值，最小值， 即，. 由题意可得，则，即. 因此，的取值范围为. 【小问3详解】 令，当时，，故， 由题意等价于函数中任意，有， 则，，令，解得. 所以的最小值为. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数的零点个数为k，求证：k为奇数； （3）设，记函数的值域为E，若恰有两个不同的，使得，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：令，则， 由得，即， 所以 ，所以； （2） 证明：由（1）可知， 因为，所以1是函数的零点， 因为， 所以若是函数的零点，则也是函数的零点， 若，则， 综上可知，函数的零点个数k为奇数. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用换元法求得，然后求得，列式计算即可证明； （2）先确定1是函数的零点，再利用（1）的结论得到，由此即可证明函数的零点个数为奇数； （3）计算出的值域，确定，即，说明时，恰好存在两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 因为，所以，所以， 所以，即 因为恰有两个不同的，使得， 所以恰有两个不同的，使得， 因为，所以， 令，得到， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市东南实验学校高一（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 设，对任意的正实数x均有不等式恒成立，则a＝（　　） A. 2 B. C. 4 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设，满足，则（　　） A. B. C. D. 10. （多选）定义在上的函数，则（　　） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数关于直线对称 D. 函数在上单调递减 11. 设，若函数在区间上单调递减，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 若，则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记，则函数的最小值是_____ ． 13. 定义在的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_________________ ． 14. 设m，n，k是三个互不相同的实数，函数满足，则的取值范围是_____ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 16. （1）计算：； （2）已知求证：． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为偶函数，求的最小值． 18. 若函数是定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的表达式； （2）设，函数，若，，使得，求m的取值范围； （3）设，函数，当时，若对任意的，都有，求k的最小值． 19. 已知函数． （1）求证：； （2）设函数的零点个数为k，求证：k为奇数； （3）设，记函数的值域为E，若恰有两个不同的，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $