精品解析：江西省南昌大学附属学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年南昌大学附属学校高一（下）第一次月考数学试卷 一、单项选择题(本题共8题，每题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是 A. 三角形的内角必是第一、二象限角 B. 第一象限角必是锐角 C. 不相等的角终边一定不相同 D. 若角满足，则和终边相同 【答案】D 【解析】 【详解】直角不是象限角，故选项错误.由于第一象限角可以超过，故选项错误.终边相同的角可以不相等，故选项错误.所以选，这是终边相同的角的概念. 2. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 【详解】解：角α的终边经过点， 则sinα， 故选B． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3. 点在直角坐标平面上位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数周期性及诱导公式进行化简，判断横纵坐标的符号，判断所在象限即可. 【详解】已知， ， ， 故点位于第三象限. 故选： 4. 已知某扇形的周长为10cm（圆心角小于周角），面积为4cm²，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. rad或8rad B. 2rad或8rad C. 8rad D. rad 【答案】D 【解析】 【分析】求出扇形的半径和弧长后可求圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，故或者， 若，则圆心角的弧度数为，不合题意，故舍； 若，则圆心角的弧度数为，符合题意； 故选：D 5. 为了得到函数的图象，可以将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】因为 将函数向左平移得到：. 故选：D. 6. 若函数，当y最大时，自变量x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由， 当y最大时，自变量x满足，. 故选：C 7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的减区间，再根据子集关系列式计算即可. 【详解】因为，由得， 令， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误. 【详解】当时, 则， 可知在内单调递增， 因为，可知的一个周期为2， 则在内单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数，则在内单调递减， 因为，，,， 所以，，，. 故选：A. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 以下函数中，是偶函数且最小正周期为π的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性逐一判断即可. 【详解】对于A选项：函数是周期为的偶函数，错误； 对于B选项：函数是偶函数无周期性，错误； 对于C选项：函数是周期为的偶函数，正确； 对于D选项：函数为周期为的偶函数，正确. 故选：CD. 10. 已知函数，对于任意，都有，在上有且只有5个零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先分析函数对称性和在区间内零点个数，结合求得所需的值； 【详解】由，可得， 这说明函数关于中心对称，即， 代入函数得， 因此，解得， 当，令， 函数等价于，即, 已知在上有且只有5个零点，即在区间内恰好有5个整数满足， 对应，因此，解得 又，所以，解得，故 进而 故选：AD. 11. 已知函数满足+，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 存在使函数为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由满足，可得即可求出周期，进而得到的值．再根据的性质判断对错． 【详解】设函数周期为T， 由可知是函数的最大值，故，∴ ∴，又，∴ ，代入，可得， 又，所以，∴. ，故A错误； ，所以B正确； 时，所以在区间上单调递增，故C正确； 当，即时，为偶函数， 而在内无解，故D错误． 故选：BC 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 规定逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负，则时间经过4小时30分钟，时针转过的弧度数为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用负角和弧度角的概念，及角度计算，即可求解. 【详解】因为时钟一圈为  弧度，对应12小时 所以每一个小时，时针转过的弧度数为， 所以经过4小时30分钟，时针顺时针转动， 所以时针转过的弧度数为， 故答案为： 13. 函数的定义域为________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据对数符号和根式有意义，列出不等式组，求解不等式即可. 【详解】由题意，， 作出一个周期内的简图，由图可得的解为； 与取交集可得且. 故答案为：且 14. 已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为，该扇形的周长为，则该扇形中所含弓形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形周长求出扇形圆心角及扇形面积，结合三角函数求出三角形面积，进而求出弓形面积. 【详解】设扇形的弧长为，则. 又扇形的周长为，则，所以. 所以扇形的面积为 扇形中所含三角形的高为，底为，所以三角形面积为， 故该扇形中所含弓形的面积为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）的递增区间为，无递减区间 （3） 【解析】 【分析】（1）借助正切函数中计算即可得； （2）借助正切函数的单调性计算即可得； （3）借助正切函数的性质，列出不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题意得：，解得：， 的定义域为. 【小问2详解】 令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. 【小问3详解】 由，得， 解得：， 不等式的解集为. 16. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最值和周期可得，，代入点可得，即可得函数解析式； （2）根据图象变换可得，结合偶函数性质可得，进而分析最值. 【小问1详解】 由图可知：， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，可得，即，则， 又因为函数的图象过点， 则，即， 且，则，可得，即， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为， 若为偶函数，则，解得， 且，解得，， 所以当，a取到最小值. 17. 如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为. （1）求，的值，并写出函数的解析式； （2）请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 （3）试比较，，的大小. 【答案】（1），. （2）完善后的表格如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3） 【解析】 【分析】（1）求出解析式后可求和的值； （2）先完善表格，再利用描点法可求在上的简图； （3）由函数解析式结合诱导公式可求、与的值． 【小问1详解】 由题设以为终边的角为，故，其中， 故，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， 而，故. 18. 某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下： t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象. （1）根据以上数据，求出函数的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 【答案】（1） （2）16小时 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解；（2）假设能滞留的情形，进而根据正弦型不等式求解范围，即可求解. 【小问1详解】 由题设的数据可得，故，， 周期，故，故， 因为时，所以，， 因为，所以， . 【小问2详解】 令，则，得. 所以，，即， 因为，所以故或， 故船舶至多能在港内停留16小时. 19. 已知函数. （1）若不等式，对任意成立，求整数m的最大值； （2）若函数，将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象.若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据的范围求出的范围，结合不等式恒成立可求答案； （2）先根据图象变换求出的解析式，利用换元法得到新元的范围，结合函数单调性可求答案. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以； 因为对任意成立，所以， 即，解得，所以整数m的最大值为. 【小问2详解】 ， 将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得， 再向右平移个单位，得到函数的图象，所以. 因为关于x的方程在上有解，所以在上有解， 设，则， 因为，所以，所以. 原方程可化为在内有解，即，， 因为，在时，均为增函数，所以在时为增函数， 所以，即实数k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年南昌大学附属学校高一（下）第一次月考数学试卷 一、单项选择题(本题共8题，每题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是 A. 三角形的内角必是第一、二象限角 B. 第一象限角必是锐角 C. 不相等的角终边一定不相同 D. 若角满足，则和终边相同 2. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 3. 点在直角坐标平面上位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知某扇形的周长为10cm（圆心角小于周角），面积为4cm²，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. rad或8rad B. 2rad或8rad C. 8rad D. rad 5. 为了得到函数的图象，可以将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 若函数，当y最大时，自变量x的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 以下函数中，是偶函数且最小正周期为π的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，对于任意，都有，在上有且只有5个零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足+，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 存在使函数为偶函数 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 规定逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负，则时间经过4小时30分钟，时针转过的弧度数为________. 13. 函数的定义域为________. 14. 已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为，该扇形的周长为，则该扇形中所含弓形的面积为________. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式的解集． 16. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 17. 如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为. （1）求，的值，并写出函数的解析式； （2）请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 （3）试比较，，的大小. 18. 某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下： t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象. （1）根据以上数据，求出函数的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 19. 已知函数. （1）若不等式，对任意成立，求整数m的最大值； （2）若函数，将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象.若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $