精品解析：北京市顺义区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题

九年级练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果，那么下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位后得到新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，是的直径，，是上的点，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论： ①当时，四边形是菱形； ②四边形可能是正方形； ③； ④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为_____． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________． 12. 如图，直线，直线，分别与这三条直线交于点，，和点，，．若，则的值为___________． 13. 数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是___________．（写出一个即可） 15. 《周髀算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现．图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”．图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点，正方形的边长是圆上的动点，若的最小值为，则的面积为___________ 16. 某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下： 小组 实验人数 实验时长 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）． （1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天； （2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点． （1）求的值； （2）若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积． 22. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在内部任取一点； ②以点为圆心，长为半径画圆，分别交射线于点； ③连接，分别以点为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点（点在两侧）； ④作射线，交于点，作射线． 所以射线就是所求作的射线． 根据小智设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接． ， 点在的垂直平分线上． ，即． ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． 是的角平分线． 23. 古代农民用脚踏碓舂捣谷物，如图1所示，脚踏碓由碓头、碓杆、碓架、碓尾和碓臼构成，用脚不断踩踏碓尾，就可以舂捣谷物．图2是踩踏到最低点时，脚踏碓侧面结构示意图，已知碓杆长为与地面的夹角，碓头长为，求碓头下端到地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：） 24. 洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； （2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 25. 如图，是的直径，是的一条弦，，交于点，且，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接．若，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点． （1）求证：； （2）在上截取（点在点右侧），连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点，对于点和图形给出如下定义：若在图形上存在点（与点不重合），满足，则称点为图形的“关联点”． （1）如图，点，．在点，，中，线段的“关联点”是___________； （2）的半径为2． ①已知点，若线段上的所有点都是的“关联点”，则的取值范围是___________ ②直线与坐标轴交于两点，若对于线段上的任意一点，满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果，那么下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例性质，熟记比例性质恒等变形验证选项是解决问题的关键． 通过比例性质，恒等变形逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：A：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论错误，不符合题意； B：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论正确，符合题意； C：由比例性质，题目中式子交叉相乘得到，与选项中的式子不一致，选项结论错误，不符合题意； D：由比例性质，题中式子，不一定等于、不一定等于，比如取，也满足，但，选项中的结论不一定正确，不符合题意； 故选：B． 2. 将抛物线向右平移1个单位后得到新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数平移时“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位， 抛物线的解析式为， 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，余弦函数；由勾股定理得，由余弦函数的定义得，即可求解；理解余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故选：C． 4. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解． 【详解】解：的长， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，包括锐角三角函数的定义与等腰直角三角形的判定及性质．先在中利用正弦函数求出的长度，再由推出，判定为等腰直角三角形，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 在中，，， 为等腰直角三角形， ． 故选：C． 6. 如图，是的直径，，是上的点，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；由题意易得，然后根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：A、抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， ，故本选项不符合题意； C、抛物线的对称轴为直线，当时，， 当时，， ，故本选项不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线， ，则， 当时，， ，则， ，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论： ①当时，四边形是菱形； ②四边形可能是正方形； ③； ④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握菱形的性质与判定，正方形的判定，反比例函数图象的点坐标特征是解题的关键． ①根据题意表示出所有关键点的坐标，把代入求出点的坐标，再求出四边形的四边长度结合菱形的判定即可判断； ②根据点的坐标可得，结合正方形的判定还需对角线相等且互相平分，利用点的坐标表示出对角线线段长度列式求解即可； ③利用坐标得出两图形面积后求出比即可； ④利用菱形的性质求出的值，求出四边形的面积即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， ①当时，，， ∴，，，， ∴，， ，， ∵， ∴四边形不是菱形，故①错误，不符合题意； ②∵，，，， ∴，与交点，，， ∴，，，， 若四边形是正方形，还需，与互相平分， ∴，解得：， ∴当时，四边形是正方形， ∴四边形可能是正方形，故②正确，符合题意； ③∵四边形中，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵四边形为菱形， ∴与互相平分，即，， ∴，解得：， ∴，故④错误，不符合题意； 故正确结论的序号是②③． 故选：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：因为代数式有意义，所以分母，解得； 故答案为． 10. 抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为_____． 【答案】（2，﹣3）． 【解析】 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标． 【详解】∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3， ∴抛物线顶点坐标为（2，-3）． 【点睛】此题考查了抛物线的顶点式，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质． 根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，直线，直线，分别与这三条直线交于点，，和点，，．若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意可知二次函数开口向上，对称轴为直线，在对称轴左侧函数递减；由题意时函数递减，故，取即可. 【详解】解：由二次函数，二次项系数为，故抛物线开口向上； 对称轴为； 由于开口向上，当时，随的增大而减小； 由题意，当时，随的增大而减小， 故需时均有，即； 因此的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：2. 15. 《周髀算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现．图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”．图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点，正方形的边长是圆上的动点，若的最小值为，则的面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题．如图，当点B在线段时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】解：如图，取正方形对角线交点，则交点为O，点为上一点，连接， 由三角形三边关系可得，， ∵是圆的半径，为定值，当点B在线段时，取得最小值， ∵， ∴， ∵的最小值为， ∴的半径， 则的面积为， 故答案为：． 16. 某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下： 小组 实验人数 实验时长 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）． （1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天； （2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验． 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】本题考查逻辑推理能力，正确推理是解题的关键． （1）计算前三组实验时间之和即可； （2）为使总等待时间最小，应按人均实验时长（实验时长/实验人数）从小到大的顺序安排实验． 【详解】解：（1） 天， 故答案为：18 天； （2） 天， 天， 天， 天， ∵， ∴若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按的先后顺序实验． 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的运算，熟练掌握这些知识点的相关公式是解题的关键． 先回忆特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的定义，再将各部分代入原式进行计算． 【详解】解： . 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与代数式求值，先化简目标代数式，再结合已知条件进行整体代入求解． 【详解】解： ． 已知，得； 将代入化简后的式子，得， ． 20. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△△， ， ， ． 21. 已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点． （1）求的值； （2）若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求法、二次函数与一元二次方程的关系、三角形面积公式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及利用函数与方程的关系求交点坐标是解题的关键． （1）将已知点和的坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由（1）得到抛物线的解析式，再令解一元二次方程，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标；然后根据、坐标求出的长度，结合点到轴的距离（即的长度），利用三角形面积公式计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为（即高为）, ∴. 22. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在内部任取一点； ②以点为圆心，长为半径画圆，分别交射线于点； ③连接，分别以点为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点（点在两侧）； ④作射线，交于点，作射线． 所以射线就是所求作的射线． 根据小智设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接． ， 点在的垂直平分线上． ，即． ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． 是的角平分线． 【答案】（1） 如图所示；射线即为所求； （2） 证明：连接，，，． ，， 点，在的垂直平分线上． ，即． （垂径定理）（填推理的依据）． ． 是的角平分线， 【解析】 【分析】本题是考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，垂径定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）连接，，，．根据线段垂直平分线的判定定理得到点，在的垂直平分线上．求得，即．根据垂径定理得到，再由同弧或等弧所对圆周角相等得出，最后根据角平分线的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 古代农民用脚踏碓舂捣谷物，如图1所示，脚踏碓由碓头、碓杆、碓架、碓尾和碓臼构成，用脚不断踩踏碓尾，就可以舂捣谷物．图2是踩踏到最低点时，脚踏碓侧面结构示意图，已知碓杆长为与地面的夹角，碓头长为，求碓头下端到地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】碓头下端到地面的距离的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于，根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，得到，过作于，根据即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于，过作于， ， ， ，， ，， ， ， ∴ ， 答：碓头下端到地面的距离的长约为． 24. 洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； （2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①根据抛物线的对称性求得对称轴，进而结合表格，即可求解； ②待定系数法求得抛物线解析式，然后令即可求解； （2）由上边缘落地点的水平距离和喷出水的落地区域的宽度范围求出下边缘落地点的水平距离范围，代入临界值列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：①∵当和时，， ∴上边缘抛物线对称轴为直线， 由表格知，当时，，即喷出水的上边缘竖直高度的最大值； 故答案为：； ②由表可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为：， 令，， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴喷出水的上边缘落地点的水平距离为； 【小问2详解】 解：∵喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足， 令，得， 设其正根为，则喷出水的下边缘落地点的水平距离为， ∵喷出水的上边缘落地点的水平距离为，喷出水的落地区域的宽度， ∴， 解得：， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴． 25. 如图，是的直径，是的一条弦，，交于点，且，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ，即， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）设，，根据勾股定理得到，求得，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数图象上点的坐标特征、不等式的解法以及区间的包含关系，熟练掌握二次函数的性质、不等式的转化方法以及区间包含关系的条件是解题的关键． （1）直接运用二次函数的对称轴公式，代入抛物线表达式中的系数即可求出对称轴． （2）先将点代入抛物线解析式，结合化简不等式，得到关于的取值范围；再根据题意，将区间包含关系转化为不等式组，进而求解的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线为， ， 对称轴， 【小问2详解】 解：点在抛物线上， ∴， ， ∴ ∴ ， ， ， ， ∵对于，都有， ∴， 由得， 由得， ． 27. 如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点． （1）求证：； （2）在上截取（点在点右侧），连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， 由旋转性质得：，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，由旋转性质得，，进而得，由此依据“”判定和全等得，据此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；过点F作交于点，由结合平行线分线段成比例定理可得，证明和全等得，同理可得，据此即可得出线段与的数量关系． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意补全图形如图1所示： 线段与的数量关系是：，证明如下： 过点作交于点，如图2所示： ∴ ∵， ∴， ∵于点，延长，交于点， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，点，对于点和图形给出如下定义：若在图形上存在点（与点不重合），满足，则称点为图形的“关联点”． （1）如图，点，．在点，，中，线段的“关联点”是___________； （2）的半径为2． ①已知点，若线段上的所有点都是的“关联点”，则的取值范围是___________ ②直线与坐标轴交于两点，若对于线段上的任意一点，满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）和 （2）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，圆的性质，相似三角形的判定与性质，掌握用勾股定理求坐标系中两点之间的距离是解题的关键． （1）在线段上任取一点，则，再求出的长度，即可求解． （2）①在上取一点，则，根据题意可得，，用含有t的式子将的长度表示出来，代入不等式中，即可求解；②分为、和三种情况，在上取一点，则，用含t的式子将点A到线段的最大距离和最小距离表示出来，根据题意列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，， 在线段上任取一点，则， 又，，， 线段的“关联点”是和． 【小问2详解】 解：①在上取一点，则， 线段上的所有点都是的“关联点”， ，， 得，， 解得，， 则的取值范围是． ②直线与坐标轴交于两点， 点C坐标为，点D坐标为， ， 在上取一点，则， 当时，如图，过点A作， ，， ， ， ， ， ， 满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”， ，， 即，， 解得； 当时，如图， 满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”， ，， 即，， 又， ； 当时，如图， 满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”， ，， 即，， 又， ； 综上所述，的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $