河北省NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期1月期末数学试卷

高二年级期末质量检测 数学 考试说明： 1. 本试卷共150分。考试时间120分钟。 2. 请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 直线 的一个方向向量的坐标可以是 A. B. C. D. 2. 抛物线 的准线方程是 A. B. C. D. 3. 设向量 ，，若 ，则 A.3 B.2 C. D. 4. 已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则 的离心率为 A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的公比为 ，则“数列 是递增数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆 与圆 的公共弦长是 A. B. C.3 D.4 7. 在数列 中，，，，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 记数列 的前 项和为 ，对任意 ，，当且仅当 ，，则 A.442 B.455 C.470 D.485 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题中正确的是 A. 空间中两点 ，，则 B. 双曲线 的渐近线方程是 C. 若数列 满足 ，，则 D. 圆 上到直线 的距离为 的点有三个 10. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说法中正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知点 ，，动点 满足 ，动点 的轨迹为曲线 ， 为直线 上一动点，则下列说法正确的是 A. 的方程 B. 过 作 的两条切线，切点分别为 ，，则直线 过定点 C. 若点 是 上一点，则 的最大值为 D. 若点 是 上一点，则 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 直线 的倾斜角为 ________。 13. 已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 ________。 14. 过圆 上一点 作圆 的一条切线 ，离心率为 的椭圆 与圆 无公共点， 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点， 为 的中点，且点 不在 轴上，则直线 的斜率为 ________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点D'处， BD'=2，O，M分别为AC，AD'的中点. (1)求证：平面平面ACD'； （2）N为直线MO上的动点，求直线BN与平面BCD'所成角正弦值的最大值. 16.（本小题满分15分） 已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₁，aₙ₊₁ₙ()，a₂. （1）求{aₙ}的通项公式aₙ及Sₙ； （2）求数列{|aₙ|}的前n项和Tₙ. 17.（本小题满分15分） 已知点P(m，4)在抛物线C：y²(p>；0)上，F是C的焦点，|PF|. （1）求C的标准方程； （2）若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点 N，且△PMF为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆 半径. 18.（本小题满分17分） 已知数列满足，。 （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：。 19.（本小题满分17分） 已知椭圆：，过点作两条动直线，，分别交于两点，（，与不重合），且满足，其中，分别为直线，的斜率。 （1）若直线的斜率为1，求线段的长度； （2）求直线的斜率； （3）设直线与分别交轴于点，，求证：的中点为定点。 高二年级期末质量检测 数学 参考答案 1.D【解析】直线的一个方向向量为，令，则，所以是直线的一个方向向量.故选D. 2.B【解析】抛物线的标准方程为，所以准线方程为.故选B. 3.C【解析】因为，所以，解得.故选C. 4.A【解析】由题意知，所以， 的离心率.故选A. 5.A【解析】若等比数列是递增数列，则或，则必有；若，则的公比，但是递减数列，所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件.故选A. 6.D【解析】设圆，圆，用圆的方程减去圆的方程，得到公共弦所在直线的方程为，对于圆，其圆心，半径，圆心到直线的距离，所以公共弦长是.故选D. 7.C【解析】已知①，当时，②，①②可得：当时，，即，由，可得，所以数列是各项均为的常数列，因此，即.将代入不等式，得到对恒成立，即对恒成立.设，则，令，解得，所以当时，递增；当时，；当时，递减，所以的最大值为.因为对恒成立，所以，即.故选C. 8.C【解析】由题意得，区间上的项数为，所以当确定时，有个连续的，对应。当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；前段的项数之和为，因此，第项属于的段，此时，所以。故选。 9.ACD【解析】对于，由空间中两点间的距离公式得，故正确； 对于，双曲线的渐近线方程为，故错误； 对于，由题意知， 所以当，，，，，，把以上式子相加可得，所以，也符合，故正确； 对于，先将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，半径，因为圆心到直线的距离，故正确。故选。 10.AB【解析】对于，在等差数列中，，所以，所以，又因为，所以与异号，若，，则，，矛盾，因此，故正确； 对于，因为，所以，所以，，从而，，又因为，所以，所以，故正确； 对于C，因为，所以，因为，所以与异号，但的正负不确定，，所以的符号不确定，故C错误； 对于D，因为，所以，，故D错误.故选AB. 11.ABD【解析】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为，则直线MN的方程为，整理得，令解得所以直线MN过定点，故B正确； 对于C，令，对于直线，与C相切时t有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误； 对于D，，表示点到点的距离，取，，，则，，，求，的最大值，即求与夹角的最小值，当直线AF与圆C相切时，与的夹角最小，此时在直角三角形AFC中，，，，所以，，所以，故D正确.故选ABD. 12. （或）【解析】直线的斜率，所以倾斜角为. 13.6078【解析】因为是正项等比数列，所以，， 即，由，则 ，故 ，故 ，故. 14. 【解析】当点在轴上方时，设，则直线的倾斜角为，因为 ，所以，因为点为弦的中点，所以， 即，解得或（舍去），则； 当点在轴下方时，由对称性可得，综上，. 15.【解析】（1）证明：如图，连接，.由题意知，， 根据勾股定理，，所以，………………2分 又因为，，平面，平面，所以平面 ，又因为平面，所以平面平面.………………………………4分 （2）由（1）可证平面，如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，可得，，，，是中点，所以，所以，， 设，，则，……6分 设平面的法向量为，则即解得令，则，，所以是平面的一个法向量，…………………10分 设直线与平面所成角为，则，，当且仅当时等号成立，故直线与平面所成角正弦值的最大值为。………13分 16.【解析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，所以…………………2分 因此，当时， ； 当时，，符合，………………4分 故 （2）由得，即当或时，； 当时，；7分 当时，， 当时，；时符合该式，9分 当时， ，13分 故 17.【解析】（1）由题意得，解得， 所以点的坐标为，2分 代入的方程得，解得或，4分 所以抛物线的标准方程为或.5分 （2）当抛物线的方程为时，准线的方程为， 设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点，则 ，，，7分 此时，所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形，9分 因为点在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径；13分 当抛物线的方程为时，同理可得，此时，与 为锐角三角形矛盾， 综上，，外接圆的半径为。15分 18.【解析】（1）证明：因为，所以， 将上式变形为，2分 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以。4分 （2）由（1）知，所以， 所以①， ②， ①②得 ，9分 所以.…………………………10分 （3）证明：由题知，当时，；…………………………11分 当时，；…………………………12分 当时，，…………………………14分 所以 ，…………………………16分 综上，得证.…………………………17分 19.【解析】（1）由题意得直线的方程为，即，………………………… 由消得，，…………………………3分 设，，则，， 所以.…………………………5分 （2）设直线的方程为， 椭圆方程整理可得， 所以，………7分 整理得， 从而，…………………………9分 则，解得，……………………………11分 所以，可得。……………………………13分 （3）设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，解得点的横坐标，所以；………………15分 同理可得，点的坐标为，设的中点为， 则，，…………………………16分 所以线段的中点为定点。……………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $