山东省淄博市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

参照秘密级管理★启用前 2025-2026学年度第一学期高三摸底质量检测 数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写 在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 中 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,B={2,3,5},则B∩(C)= A.{3,5} B.{2,5} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 2已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1，-2)，则运= A.1+2i B.1-2i C.2+i D.-2+i 3.已知向量ā=(1,2)，万=(x,-2),则a+b16”是“x=-1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益 活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有 A.10种 B.25种 C.20种 D.40种 5若随机变量5~N3,o2),且P(5≤a)=P(传≥b),则ab的最大值为 A.9 B.18V2 C.24 D.27 6.若函数f(x)=sin 和<@<)的图象向右平移g个单位长度后关于点 6 20对称，则@的值为 B.1 C. 3-2 D.2 高三数学试题 第1页（共4页) 7.已知a∈ 2eosg+g0os号=p,psinc-gsin受=g(ngeR且pg+0),则 cosa A.3 B. C. 2 3 D. 2 x(e+ex-2), x20 8设函数f(x)= ,若函数g(x)=f(x)ax恰有两个零点，则实 -x2-2x-4, x<0 数a的取值范围为 A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+oo) D.[2,+∞) 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全 的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有 A(6x-'的展开式的各二项式系数的和为1 B.已知随机事件A和B,若P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(AB)=0.06,则A和B相互独立 C若随机变量X-B(5,则()=号 D.数据11,13,5,6,8,1,3,9的下四分位数是3 10.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2o25<S2026<S2024,令 bn=anan+14n+2,数列 的前n项和为Tn,则下列说法正确的是 b. A.a2025<0 B.使得Sn>0成立的n的最小值为4050 C.a2026a2027<4202442025 D.T= 1 1 1 2d aa2 an+ian+2 高三数学试题 第2页（共4页） I1.己知等腰△MAD,MA=MD,取MA,MD中点B,C,将△MBC沿BC翻折至 △PBC,使得△PAB,△PCD为正三角形，若P0⊥底面ABCD,P0=2,PA=2√2， 则下列说法正确的是 A.四棱锥P-ABCD存在外接球 B.BC=45 C.PA.PC=0 D.四棱锥P-ABCD的体积为 5 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若曲线y=e+x在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标是 13.已知函数f(x)= 分，xs0 , 若f(x)≤1，则x的取值范围是 log2 x,x>0 14.若函数f(x)=cos2x+2sinx+1在区间(0，a)上有最大值无最小值，则实数a的 取值范围是 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, (b+a)sin B=(c+a)(sinC-sinA),c=4. (1)求角C的大小； (2)若AB边上的中线CD长为√2，求△ABC的面积. 16.记S,为数列{a}的前n项和，已知4=1，aH=S,+n+10neN),b,= 2n- (1)证明数列{an+1}是等比数列； (2)求数列{n(2-b)}的前n项和Tn 立二粼出中晒 17.如图，四棱锥M-ABCD中，MA⊥平面ABCD,MA=2,底面ABCD为直角 梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=3,AD=CD=2,MF=2FB,点E,N分别在 线段MD与AM上（不含端点），且DE=1EM,AN=WM. 岛 (1)证明：CF/平面MAD: (2)求平面MAD与平面MBC夹角的余弦值； (3)若ENW平面MBC,求 三的最小值. 18.由mn个小正方形构成的长方形网格有m行和n列，每次将一个小球放到一个小 正方形内，放满为止 （1)第一行中的n个小球颜色互不相同，其余行都由这n个小球以不同的顺序组成， 如果要使任意两行的顺序都不相同，求m的最大值； (2)长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为p,放黑球的 概率为g,p+9=1 2 (D若m=n=2,p=3'9= 记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为 3 随机变量5，求5的分布列和数学期望： ()设事件A=“不是每一列都有黑球”，求p(4),并证明：(1-p")”+(1-q)m21 19.已知函数f(x)=ae-x2. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有3个零点，x,x2,3且x<x2< (i)求a的取值范围； D)证明：（飞-小x< e-1参照秘密级管理★启用前 2025-2026学年度第一学期高三摸底质量检测 数学参考答案 1-5、ADDCA 6-8、BBA 9、BC10、ACD11、ABD 1z@》1s2到14后 15、解：(1)法一：由正弦定理，b(b+a)=(c+a)(c-a), 所以b2+a2-c2=-ba,… …2分 由余弦定理得，2+b2-c2=2abc0sC… …3分 所以2 ba cosC=-ba, 即cosC=-1 2 ……5分 又Ce(0,),所以c= 3 …6分 法二：由正弦定理.sinB(sinB+sinA)=sin2C-sin2A, sin2B+sin2A-sin2C=-sin B sinA, 所以b2+d2-C2=-ba,… …2分 由余弦定理得，2+b2-c2=2abc0SC…3分 所以2 ba cosC=-ba, 即cosC=- 2 …5分 又C∈(0，m),所以c=2 …6分 (2)法：cD=cB+CA, …7分 CD-(CB+C)-(++2abcosc) 则2+b2-b=8… …9分 高三数学试题 第1页（共11页） 由余弦定理，+b2-16=-ab 所以☑b=4,………11分 2absinC= …13分 法二： 在ABDC中，由余弦定理得，cOS∠BDC= 2+V2-㎡ …7分 4W2 在AMDC中，由余弦定理得，cOS∠ADC= 22+V5-b2 …8分 4W2 ∠BDC+∠ADC=π 所以coS∠BDC+coS∠ADC=0 所以2十b2=12…9分 由余弦定理，2+b2-16=-b 所以ab=4,…11分 2 …13分 法三：在ADC中，由余弦定理得，c08ABC=4+d- …7分 Sa 在ABDC中，由余弦定理得，cOS∠DBC= 22+a2-5 …8分 Aa 所以cOS∠DBC=cOS∠ABC 22+ad2-√242+a2-b Aa 8a 所以ad2+b2=12…9分 由余弦定理，2+b2-16=-b 所以Cb=4,…11分 高三数学试题 第2页（共11页） bsinC=V5…13分 16、(1)a+1=S.+n+1(m∈N) ① an=Sn-1+n-1+1(m≥2)： ② ①-②得，a+1-a.=Sn-Sn-1+1=a.+1(m≥2). 即an+1=20n+1(h≥2）.…2分 .an+1+1=2(a2+1)01≥2.…4分 又42=S+1+1=3,4+1=2(a+1).…5分（两式出现其中一个就给1分） ∴.an+1+1=2(an+1)(neN) 即{。十1}是首项为2，公比为2的等比数列.…6分 (2)由(1)得4n十1=2·2m-1=2”.4=2”-1…7分 27 (2-b)= 2-1 …9分 高三数学试题 第3页（共11页） .T= 123 22.+ n-1, 20 210分 22 1 12 2 2+ 2+一2”-1+E....-11分 22十 21+ 1 1 T= 2 )2+.+1212分 212 11 2 1-1 2 ÷2、n+2 .14分 2” ∴7=4-n+2 2-1 -15分 17、(1)法一：以A为原点，ADAB、AM所在方向分别为x轴、y轴、z轴正方向 建立空间直角坐标系。 则A(0,0,0),D(2,0,0),B(0,3,0),C(2,2,0),M0,0,2)MB=(0,3,-2) -2wm-号w-02)r02 易知平面MAD的一个法向量为4B=(03,0）.3分 CF.AB=0,CF⊥AB.…4分 又CF丈面MAD .CF/面MAD…5分 法二：过F作FG/1AB交MA于G,则PG1/AB/1CD,且FG=2AB=CD=2 3 高三数学试题第4页（共11页） 所以FGCD 所以四边形CDGF为平行四边形.…2分 CF//DG…3分 .CF丈面MAD,DGG面MAD…4分 .CF//面MAD…5分 法三：过F作FH I/AM交AB于H, .'FH文面MAD,MAC面MAD ∴.FH∥面MAD …1分 因为AH∥DC,AH=DC=2 所以四边形CDAH为平行四边形 ∴.AD//CH…2分 又CH丈面MAD.CH//面MAD…3分 .CH∩FH=H ∴.面FCH//面MAD …4分 .·FCc面FCH .FC/面MAD…5分 (2)法一：以A为原点，AD、AB、AM所在方向分别为x轴、y轴、2轴正方向建立 空间直角坐标系，则 A(0,0,0),D(2,0,0),B(0,3,0),C(2,2,0),M(0,0,2)…6分（有建系和某 点的坐标就给1分) 易知平面MAD的一个法向量为AB=(0,3,0)…7分 高三数学试题 第5页（共11页） MB=(0,3,-2),MC=(2,2,-2) 设面MBC的一个法向量为n=(x,y,z) MB-=0「3y-2z=0 即 MC.n=0 2x+2y-2z=0 令z=3得n=(1,2,3)…9分 设平面MAD与平面MBC夹角为日 ..cose- AB.n -10分 6 V14 31+4+97 所以平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为√1 …11分 7 法二：延长AD,BC交于点P,连接MP 则MP为面MAD与面MBC的交线.…7分 .·AB⊥面MAD 在面MAD内过A作AQ⊥MA,连接BQ 则∠AOB即为面MAD与面MBC的夹角，记为日…9分 在AMMP中，40-3Ni0 5 .tan0= AB 3v10 A93V102 5 7 高三数学试题 第6页（共11页） 即面MAD与面MBC夹角的余弦值为V411分 > 3)设E(x,y,2),N(0,0,22) 由DE=EM,AN=NM 得(x-2,%,)=(-x,-y,2-1) (0,0,32)=(0,0,2-22) …13分（一个坐标给1分） .'EN//面MBC∴.EN.n=0 即、2 +3 2 2μ =0 1+2 1+21+u 整理得3元-2+1=0…14分 1+3 即u= 2 1 元>0u>0,u> 后i+5a 3业=1时取“ ………15分（取等条件不验证不扣分) 18、解：（1)n个小球可组成！种不同的排列顺序，如果要使任意两行的顺序都不相 同，m的最大值为l…3分 (2)(i)号的取值可能为0,1,2…4分 设A=“含白球的行数为k” B=“每列都有黑球” PG=0)=P(4,1B)=PA )4 3 …6分 P(B) (1-(白))2 高三数学试题第7页（共11页） P(5=D=P4,B)= P(AB) c+c435 …8分 P(B) -令) 25=2)=P4,B)=P4BC-331102 P(B) ∴5的分布列为 0 5 1 2 p 1-4 5-8 1 8 1 5 2.17 E(5)=0+1。+2 …12分 8 4 88 (1)A=“不是每一列都有黑球”A=“每一列都有黑球” P(A)=(1-p")” ∴P(A)=1-(1-p) …14分 不是每一列都至有黑球，即存在一列全是白球 记C=“每一行都有白球”则P(C=(1-g)m …16分 .A≤C ·P(A)≤P(C)即1-(1-p")≤1-q)m .(1-p)”+(1-q)21…17分 19、(1)当a=1时f(x)=e-x2,定义域为R,…1分 f'(x)=-2x,"(x)=e-2…2分（有一个式子就给1分) 令f"(x)=0,得x=n2 高三数学试题 第8页（共11页） x∈(-o,ln2),f"(x)<0,x∈n2,+o),f"(x)>0 所以f(x)在(-0，n2)上递减在n2,+o)上递增…4分 所以f'(x)≥f'n2)=21-n2)>0即f'(x)>0 所以f(x)在R上单调递增…5分 (2)(i)函数f(x)=ae*-x2有3个零点等价于ae-x2=0有三个根 昏价于a有三个根，等价于当ya与g心)有三个交点，6分 e 8'(x)= 2x-x2 …7分 e X (-0,0) 0 (0,2) 3 (2,+0) g'(x) 0 0 g(x) 减 0 增 4 减 e …9分 x→-0，r2→+0，e→0， et →+0 x→+0，由洛必达法则知 →0 4 所以a的取值范围为 …11分 ()先证对数均值不等式V,5< X3一x2 Inx-Inx 高三数学试题 第9页（共11页） 由(i)知5<0<<2<5，令t=>1 X, 州盒。 区n千5>l 1 等价于ni-i+方<o(t>1): 令80=血1-f+ (t1) . -<0,(t>1) 21t 2tt g()在(1，+0)上递减，g()<g(1)=0 5际子点 …13分 由(i)知，x<0<x2<2<x, ae1=x2① 满足ae=x②，由②③可得 (Ina+x,21nx2 Ina+=2lnx ae=x③ 两式作差可得x3-x2=2nx3-lnx2), 则由对数均值不等式可得2=>√年西， Inx-Inx, 则x2水3<4…14分 高三数学试题 第10页（共11页)