第28章 锐角三角函数 章节提优卷2025-2026学年人教版九年级数学下册

第28章 锐角三角函数 章节提优卷2025-2026学年人教版九年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 2．若，则锐角α的度数是（　　） A．40° B．25° C．10° D．15° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 5．一个立方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（　　） A．210° B．150° C．130° D．120° 6．某河堤横断面如图所示，河堤BC＝4m，水平距离AC＝8m，则斜坡AB的坡度是（　　） A． B．1：2 C．2：1 D． 7．如图，已知点A（5，4），点B在y轴上，点C（x，0）且0＜x＜5，BC⊥AC于C，连接AB，若AB与y轴正半轴所夹的角为α，当sinα取最大值时，对应的x值为（　　） A． B． C．3 D． 8．如图，老王在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离AE为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角∠CEF为37°钓竿两端点的直线距离EC为4米，钓线与江面的夹角∠CDB＝52°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（　　）米．（参考数据：sin37°，tan37°，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28，结果精确到0.1米） A．4.6 B．3.4 C．2.3 D．3.6 二．填空题（共10小题） 9．计算：2sin45°﹣2cos60°＝　 　 ． 10．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 　 　 ． 11．若α是锐角，sin（α+15°），那么锐角α等于　 　 ． 12．在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　 　 ． 13．如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，则这棵木棉树的高度约　 　 m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0） 14．若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝　 　 ． 15．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果 　 　 ． 16．如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，∠BDC＝120°，点A、B、C都在格点上，那么tan∠BAC的值是　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝∠ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若，则 　 　 ．（用含n的代数式表示） 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC4，tanA，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°． （2）求中锐角α的值． 20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC，AD是BC边上的高线． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 21．紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD＝2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB＝71.5°，CF＝39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）． 22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域．MN为水平地面，点A、B在直线MN上．已知摄像头离地面的高度PH＝4.8米，∠APH＝37°，∠APB＝39°． （1）求AB的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4．） 23．（1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　 　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 24．数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下： 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 儋州受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长．我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚如图1所示，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.94m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图2，现在要计算所需前挡板BC的宽度． 测量数据 实践小组实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，遮阳篷AB的长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝80°，其靠墙端离地面的高度AD为4m．如图3所示．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CMN）约为60°，加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.94m宽的阴影DM，如图4所示． 参考数据 sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成： （1）计算前挡板BC到墙面AD的距离（结果精确到0.01m）． （2）计算所需前挡板的宽度BC（结果精确到0.01m）． 25．如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 26．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B． 已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h． （sin22°37′，cos22°37′，tan22°37′） （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据cos∠BPC，计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间． ②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知， 故选：D． 2．若，则锐角α的度数是（　　） A．40° B．25° C．10° D．15° 【解答】解：∵，tan60°， ∴α+20°＝60°， 解得α＝40°， 故选：A． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据直角三角形三角函数的定义可知： ，，，，即D选项符合题意． 故选：D． 4．已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ， 故选：A． 5．一个立方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（　　） A．210° B．150° C．130° D．120° 【解答】解：如图，∵重力G的方向竖直向下，∠1＝30°， ∴∠3＝60°， ∴∠4＝∠3＝60°， ∵摩擦力F1的方向与斜面平行， ∴∠5＝180°﹣∠4＝120°， ∵支持力F2的方向与斜面垂直， ∴∠2＝360°﹣∠5﹣90°＝150°， 故选：B． 6．某河堤横断面如图所示，河堤BC＝4m，水平距离AC＝8m，则斜坡AB的坡度是（　　） A． B．1：2 C．2：1 D． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝4m，AC＝8m， ∴斜坡AB的坡度． 故选：B． 7．如图，已知点A（5，4），点B在y轴上，点C（x，0）且0＜x＜5，BC⊥AC于C，连接AB，若AB与y轴正半轴所夹的角为α，当sinα取最大值时，对应的x值为（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：已知点A（5，4），点B在y轴上，点C（x，0）且0＜x＜5，BC⊥AC于C， 过点A作AD⊥x轴于点D，作AE⊥y轴于点E， ∴四边形ADOE是矩形， ∴AD＝OE，AE＝OD， ∵点A（5，4）， ∴AD＝OE＝4，AE＝OD＝5， ∵点C（x，0）且0＜x＜5， ∴OC＝x，DC＝OD﹣OC＝5﹣x， 设OB＝m，则BE＝OE﹣OB＝4﹣m， ∵BC⊥AC， ∴∠BOC＝∠BCA＝∠ADC＝90°， ∴∠OBC＝90°﹣∠OCB＝∠DCA， ∴△OBC∽△DCA， ∴， ∴， ∴， 当时，m取得最大值，此时BE＝4﹣m取得最小值， 根据勾股定理，得AB2＝AE2+BE2＝25+BE2， 故当BE取得最小值时，AB也取得最小值， ∵， ∴AB取得最小值时，取最大值， 故． 故选：A． 8．如图，老王在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离AE为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角∠CEF为37°钓竿两端点的直线距离EC为4米，钓线与江面的夹角∠CDB＝52°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（　　）米．（参考数据：sin37°，tan37°，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28，结果精确到0.1米） A．4.6 B．3.4 C．2.3 D．3.6 【解答】解：作CG⊥DB交DB延长线于G，直线EF交CG于H，延长EA交DB延长线于M，如图所示： 则GH＝EM，GM＝EH， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4， ∴tan∠ABM， ∴sin∠ABM， ∴AMAB3.9＝1.5（米）． ∴BMAM＝3.6米，GH＝EM＝AE+AM＝1+1.5＝2.5（米）， ∵CE＝4，sin∠CEFsin37°，tan∠CEFtan37°， ∴CHCE4＝2.4，EHCH＝3.2（米）， ∴CG＝CH+GH＝2.4+2.5＝4.9（米），GM＝EH＝3.2（米）． ∴BG＝BM﹣GM＝3.6﹣3.2＝0.4（米）． ∵tan∠BDCtan52°≈1.28（米）， ∴DG3.82（米）， ∴DB＝DG﹣BG＝3.82﹣0.4≈3.4（米）． 即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为3.4米； 故选：B． 二．填空题（共10小题） 9．计算：2sin45°﹣2cos60°＝　　 ． 【解答】解：2sin45°﹣2cos60° ， 故答案为：． 10．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 　　 ． 【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H， ∴AB5，AH＝3， ∴cos∠BAC， 故答案为：． 11．若α是锐角，sin（α+15°），那么锐角α等于　30°　 ． 【解答】解：∵α是锐角， ∴0°＜α＜90°， ∵， ∴α+15°＝45°， ∴α＝30°， 故答案为：30°． 12．在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　75°　 ． 【解答】解：由条件可知，， 即，， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 故答案为：75°． 13．如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，则这棵木棉树的高度约　20　 m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0） 【解答】解：过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E， 由题意得：CD＝EH，CE＝DH，AB＝17（m）， 由题意可得：， ∴设CD＝5x（m），则AD＝12x（m）， 在Rt△ACD中，， ∵AC＝13， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴CD＝EH＝5（m），AD＝12（m）， 设CE＝DH＝y（m）， ∴BH＝AD+DH﹣AB＝12+y﹣17＝（y﹣5）（m）， 在Rt△BFH中，∠FBH＝63°， ∴FH＝BH•tan63°≈2（y﹣5）（m）， ∴FE＝CE•tan45°＝y（m）， ∵EF+EH＝FH， ∴y+5＝2（y﹣5）， 解得：y＝15， ∴FH＝FE+EH＝15+5＝20（m）． 故答案为：20． 14．若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝　1　 ． 【解答】解：，， ∵m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，， ∴m＝1． 故答案为：1． 15．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果 　　 ． 【解答】解：设AC＝BC＝1，则AB＝BD， ∴tan22.5°， 故答案为：． 16．如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，∠BDC＝120°，点A、B、C都在格点上，那么tan∠BAC的值是　　 ． 【解答】解：如图，连接BC，DE交于点O． ∵四边形BDCE是菱形， ∴CD∥BE，BD＝BE＝CE＝CD＝1，BC⊥DE， ∴∠DBE＝180°﹣∠BDC＝60°， ∴△BDE，△CDE都是等边三角形， ∴OD＝OE，OB＝OC， ∴BC， ∵CD∥EF，DC＝EF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE∥CF， ∴AC⊥BC， ∴tan∠BAC． 故答案为：． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝∠ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若，则 　　 ．（用含n的代数式表示） 【解答】解：作BF⊥EC于F，作AN⊥EC交BC于N，交EC于M； 设DM＝x， ∵∠ACD+∠CAM＝∠CAM+∠MAD＝90°， ∴∠ACD＝∠MAD， ∴tan∠ACD＝tan∠MAD，即：， ∴AM＝nx，AM2＝DM•MC，即n2x2＝x•MC， ∴MC＝n2x， ∵∠ACD＝∠MAD，∠ACD＝∠ABC， ∴∠MAD＝∠ABC， ∴BN＝AN， 又∵∠CAN+∠NAB＝∠ACB+∠ABC， ∴∠CAN＝∠ACB， ∴CN＝AN， ∴BN＝CN， ∴N为BC中点， 又∵BF⊥EC，AN⊥EC， ∴BF∥AN， 在Rt△BCF中，NM为中位线， ∴MF＝MC， ∴MF＝n2x， ∴FD＝（n2﹣1）x， ∵∠EBD＝2∠ACD，而∠ACD＝∠DAM， ∴∠EBD＝2∠DAM， 由BF∥AM可得，∠DAM＝∠FBD， ∴∠EBD＝2∠FBD， ∴BF为∠EBD的角平分线， 又∵BF⊥ED， ∴BF为△EBD的中线，BE＝BD， ∴ED＝2DF＝2（n2﹣1）x， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC4，tanA，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F． ∵AC，AB是⊙O的切线， ∴MJ⊥AC，MT⊥AB， ∴∠AJM＝∠ATM＝90°， ∴∠A+∠JMT＝180°， ∵∠JMT+∠FMT＝180°， ∴∠A＝∠FMT， ∴tanA＝tan∠FMT， ∵MT＝2， ∴TF＝1，FM， ∴JF＝MJ+MF＝2， ∴AJ＝2FJ＝4+2， ∵AC＝2BC＝8+2， ∴CJ＝4， ∵∠CJM＝90°， ∴CM2， ∵M（3，6）， ∴OM3， ∵OC≥OM﹣CM， ∴OC≥32， ∴OC， ∴OC的最小值为． 故答案为． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°． （2）求中锐角α的值． 【解答】解：（1）原式＝2×（）21； （2）3tan（α﹣20°）， 则tan（α﹣20°）， ∴α﹣20°＝30°， ∴α＝50°． 20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC，AD是BC边上的高线． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中，AC＝5，cosC， ∴CD＝AC•cosC＝3， ∴AD4． （2）∵∠B＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD＝4， ∴S△ABCAD•BC4×（4+3）＝14． 21．紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD＝2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB＝71.5°，CF＝39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）． 【解答】解：由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC． ∴，即． 在Rt△BAF中，∠AFB＝71.5°， ∴，即． ∴． ∴，解得AB＝39． ∴紫云楼的高度AB为39米． 22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域．MN为水平地面，点A、B在直线MN上．已知摄像头离地面的高度PH＝4.8米，∠APH＝37°，∠APB＝39°． （1）求AB的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4．） 【解答】解：（1）∵PH⊥MN， ∵∠APH＝37°，∠APB＝39°， ∴∠BPH＝∠APH+∠APB＝37°+39° ＝76°， ∴在 Rt△PHA 中，tan37° ， ∵PH＝4.8 米，tan37°≈0.75， ∴AH＝PH×tan37° ＝4.8×0.75＝3.6 （米）， 在 Rt△PHB 中，tan76° ＝ ， ∵tan76°≈4， ∴BH＝PH×tan76° ＝4.8×4 ＝19.2 （米）， ∴AB＝BH﹣AH ＝19.2﹣3.6 ＝15.6 （米）， ∴AB的长是15.6米； （2）∵货车速度为 5.4 千米/小时， ∴5.4 千米/小时＝1.5 米/秒， ∵货车高 2 米， ∴CD＝EF＝2米， ∵CD∥PH， ∴∠BCD＝∠BPH＝76°， ∴tan76° ， ∴BD＝CD×4＝8（米）， ∵EF∥PH， ∴∠AFE＝∠APH＝37°， ∵tan37° ， ∴AE＝2×0.75＝1.5， ∴ED＝EA+（AB﹣BD） ＝1.5+（15.6﹣8） ＝1.5+7.6 ＝9.1（米）， ∵货车长 4.4 米， ∴车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要的时间是： （9.1+4.4）÷1.5 ＝9 （秒）， ∴从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要9秒． 23．（1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　90　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 【解答】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接BC， ， ， ∴∠α＝∠BAE，∠β＝∠CAF ，， ， ∴，AC2＝（10）2＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝∠α+∠β＝45°； （2）∵∠α，∠β均为锐角，，， ∴∠α＝60°，∠β＝30°， ∴∠α+∠β＝90°； 故答案为：90； （3）如图所示，， ∴tan∠HDG＝tanα，tan∠HDF＝tanβ， ∴∠HDG＝∠α，∠HDF＝∠β， ∴∠α+∠β＝∠HDF+∠HDG＝∠GDF； ∴，， ， ∴， ∴DG2+FG2＝DF2， ∴∠FGD＝90°， ∴， ∵∠α+∠β＝∠θ， ∴∠θ＝∠FDG， ∴． 24．数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下： 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 儋州受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长．我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚如图1所示，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.94m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图2，现在要计算所需前挡板BC的宽度． 测量数据 实践小组实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，遮阳篷AB的长为4m，其与墙面的夹角∠BAD＝80°，其靠墙端离地面的高度AD为4m．如图3所示．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CMN）约为60°，加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.94m宽的阴影DM，如图4所示． 参考数据 sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成： （1）计算前挡板BC到墙面AD的距离（结果精确到0.01m）． （2）计算所需前挡板的宽度BC（结果精确到0.01m）． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E， 在Rt△ABE中，∠BAD＝80°，AB＝4m， ∴BE＝AB•sin80°≈4×0.985＝3.94（m）， ∴前挡板BC到墙面AD的距离约为3.94m； （2）延长BC交DN于点F，则BF⊥DN， 由题意得：DE＝BF，BE＝DF＝3.94m， ∵DM＝2.94m， ∴FM＝DF﹣DM＝1（m）， 在Rt△CMF中，∠CMF＝60°， ∴CF＝FM•tan60°（m）， 在Rt△ABE中，∠BAD＝80°，AB＝4m， ∴AE＝AB•cos80°≈4×0.174＝0.696（m）， ∵AD＝4m， ∴DE＝BF＝AD﹣AE＝4﹣0.696＝3.304（m）， ∴BC＝BF﹣CF＝3.3041.57（m）， ∴所需前挡板的宽度BC约为1.57m． 25．如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G． （1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 【解答】解：（1）如图，作GH⊥AB，KE′⊥AB．． 易知AC∥BH∥D′F∥E′K， ∴∠BHE′＝∠D′FE′，． 设BE′＝4m， ∵E′K＝BE′•tan∠ABC4m＝3m，BH＝BE′÷tan∠BHE′＝BE′÷tan∠D′FE′＝4mm， ∴． ∴S△BGE′•S△BE′K•S△BE′KS△BE′K． 由E′K∥AC可得△ABC∽△E′BK，则， ∴yx2•S△BE′K÷（S△BE′K）x2． （2）为方便表示，图中画出的△DEF即为移动后的位置． 当AB＝2BE时，有两种情况： ①如图，作GH⊥AB，H为垂足．易得AC∥GH∥DF， ∴∠EGH＝∠F， 设BE′＝2n，则AB＝4n，AC＝AB•tanB＝3n，S△ABCAC•AB＝6n2， ∵EH＝GH•tan∠FGH，BH＝GH÷tan∠GBH＝GH÷tan∠ABCGH， ∴EH+BHGHGHGH＝BE＝2n， ∴GHn． ∵S△CBE•S△ABC＝3n2，S△AEGAE•GH（AB+BE）•GHn2， ∴S＝S△ABC+S△CBE+S△AEGn2， ∴n2÷（6n2）． ②由（1）可知x＝2，4， ∴． 综合①②可得的值为或． 26．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B． 已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h． （sin22°37′，cos22°37′，tan22°37′） （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据cos∠BPC，计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间． ②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝20km，∠BAC＝22°37′， ∴AB52km，AC＝ABcos∠BAC＝5248km， 方案①需要用时：小时＝52分钟， 方案②需要用时：小时＝52分钟， 方案③需要用时：47分钟， ∴方案③较好； （2）①∵cos∠BPC， 设PC＝2x，BP＝3x，则BC20， 解得：x＝4， 即可得PC＝8km，BP＝12km， ∴AP＝AC﹣PC＝（48﹣8）km， 故可得所用时间为：小时； ② 点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM， 汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP， 延长BP过M作MH⊥BP于H， ∵cos∠BPC， ∴PHMP， 又∵冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h， ∴汽车行MP的时间＝冲锋舟行PH的时间， ∴tP， ∵BM＞BH， ∴tM＞tP； 点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tP． 综上可得汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $