精品解析：四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题

2025—2026学年度上期期末学科素养检测 高二数学 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 5. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 8. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分． 9. 记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则有最小值 D. 若，，则 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 11. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为线段中点 B. 若，则 C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 16. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立． （1）求该电子元件第①条路是正常工作的概率； （2）求该电子元件能正常工作的概率． 18. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）记，求数列的前n项和． 19. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点． ①求AD的长度； ②求直线BE与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期期末学科素养检测 高二数学 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列性质得：， 故选：C． 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得，继而得解. 【详解】由题可知，，故长轴长. 故选：B. 3. 已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 4. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 5. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量，利用夹角公式，可得答案. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 取，，设异面直线与的夹角为， . 故选：C. 7. 数列中，，，若，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，再根据等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】由题可知，数列为等比数列，且公比， 又因为，故. 所以， 所以. 故选：D. 8. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先连接 ，，设 ，利用椭圆的定义用 表示出 ，，，再运用勾股定理求出，并求出 的值，最后求得直线 的斜率即可. 【详解】连接 ，， ∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴，设 ∵，∴， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴，解得，∴， 在中，∴， ∵ P 在第一象限，直线 向下倾斜， ∴直线的斜率为， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分． 9. 记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则有最小值 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列的定义判断即可；对于B，由题设得到即可判断；对于C，由可得数列是公差为的等差数列，举例即可判断；对于D，利用累加法求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则数列是等差数列，故A正确； 对于B，由，得，则， 即，所以数列是递增数列，故B正确； 对于C，由，则数列是公差为的等差数列， 则数列是递减数列， 若，此时随着的增大，越来越小，无最小值，故C错误； 对于D，由，， 则 ，， 显然满足上式，则，故D正确. 故选：ABD 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由互斥、相互独立、事件的运算求解即可. 【详解】对于A：若A与B互斥，则，故A正确； 对于B：若，则，故B错误； 对于C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确； 对于D：，与矛盾，故D错误； 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为线段中点 B. 若，则 C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，设，由焦半径公式求出，不妨设，进而求出；B选项，求出，利用焦半径公式求出；C选项，计算出，，求出，C错误；D选项，在C选项基础上得到，由基本不等式求出面积最小值. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为， 设直线方程为，，， 由抛物线定义得，解得， 故，不妨设， 故直线方程为，则，，故， 所以为线段中点，A正确； B选项，设，则，又， 解得，故，B正确； C选项，联立与得，解得， 故，则， 中，令得，故， 则， 故不存在直线，使得，C错误； D选项，由C选项可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积最小值为8，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 【答案】135° 【解析】 【详解】试题分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1， ∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°． 故答案为135°． 考点：直线的一般式方程． 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题可设直线的点斜式，整理得直线. 【小问2详解】 由题可知，圆的圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 所以弦长. 16. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出方程，求出公差，即可得解； （2）利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题可得，，得， 又因为， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则， 则. 17. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立． （1）求该电子元件第①条路是正常工作的概率； （2）求该电子元件能正常工作的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式直接求解即可； （2）先求出该电子元件第①条路是正常工作、第②条路是正常工作的概率，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为， 而该电子元件第②条路是正常工作的概率为， 所以该电子元件能正常工作的概率为. 18. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）1 （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线方程，可求t的值； （2）过且斜率为-1的直线方程为，与抛物线联立方程组，求得方程的两根，得到，结合等差数列的定义，即可得证数列是等差数列，并可求出； （3）由错位相减法数列的前n项和. 【小问1详解】 ∵点在抛物线上， ∴，解得． 【小问2详解】 由（1）知，即， 当时，∵点在抛物线上，则，且， 过，且斜率为的直线， 联立方程组，得， 解得或， ∴，可得， ∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列， ∴. 【小问3详解】 ， ， ， 两式相减得： ， 所以. 19. 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点． ①求AD的长度； ②求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题设依次求证、即可由线面垂直判定定理求证平面； （2）①作出二面角的平面角，利用直角三角形边角关系列式求解；②以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由，得，则， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 ①过点D作于，过点作于，连接， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，则，而平面， 因此平面，而平面，则，是二面角的平面角， 于是，，， 由，可设，则，， 又，为等腰直角三角形，则， 因此，解得，所以. ②过点作，由平面，得平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由（1）和①可得，则， 于是， 设平面的法向量，则， 取，得，所以， 所以直线BE与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $