第五章 二次函数提优测试卷 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

第五章 二次函数提优测试卷 2025-2026学年苏科版九年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴有唯一的一个交点时，b的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 2．已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2﹣7，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为（1，﹣7） 3．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2+2 D．y＝3x2﹣2 4．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝x2+1 B． C． D．y＝2x﹣1 5．二次函数y＝x2﹣4x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知点A（﹣1，n），B（3，n）是二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两点，点C（m﹣2，y1），D（m，y2）也是该函数图象上的两动点，且总有y1＜y2，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞1 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 二．填空题（共10小题） 9．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是　 　 ． 10．已知抛物线y＝3（x+2）（x﹣5）的图象与x轴交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　 ． 11．如图，抛物线的对称轴为x＝2，则当y＞﹣2时，x的取值范围是　 　 ． 12．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴的正半轴上，且这条抛物线在其对称轴的右侧部分是上升的，那么这条抛物线的表达式可以是 　 　 ．（只需写一个） 13．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 　 　 ． 14．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，3）、B（﹣1，1），那么这个二次函数的解析式为　 　 ． 15．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA、OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线的顶点，点A、B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．已知抛物线的解析式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A、B两点之间的距离是　 　 dm． 16．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．点M（a，b）是抛物线上的任意一点，且位于线段AB的上方，过点M作MN⊥x轴交AB于点N．若MN的长度随x增大而减小，则a的取值范围是　 　 ． 17．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为　 　 m2． 18．如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M． （1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为 　 　 ； （2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 　 　 （不用写出自变量x的取值范围）； （3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点M（4，﹣3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 20．二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当﹣3≤x≤0时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为6，直接写出m的值． 21．某旅游景区一宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为160元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出60元的各项费用．设每天每间房的定价在160元的基础上增加x元，宾馆获利为y元． （1）求y关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利8000元？ 22．如图，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该二次函数图象第二象限上的一点，连接CD交x轴于点E，连接AC、AD，若S△DAE＝S△CAE，求点D的坐标． 23．在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点P（0，1）在抛物线y＝x2+3x+1上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： （1）若点P是抛物线y＝x2+3x+1的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为（x，y），由定义可知y＝x2+3x+1，且x+y＝6，所以y＝6﹣x， 所以x+x2+3x+1＝6，解得x1＝1，x2＝﹣5． 所以点P的坐标为　 　 ． （2）若点P是抛物线y＝x2﹣3x﹣2的“阶梯1点”，求点P的坐标． （3）若抛物线y＝x2+x+c上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 24．某商家展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，那么每天可多售出20件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）若点D是抛物线的顶点，∠BCD是否为直角？若是，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣1和2，过点B作BC∥x轴，与抛物线L1相交于点C，分别以的长为边长向BC上方作矩形BCDE． （1）求抛物线L2的解析式； （2）将矩形BCDE先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形B′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线L1上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边E′D′与抛物线L2相交于点M，点M在抛物线L2对称轴的右侧，当时，求点C′的坐标； ③当边E′D′与抛物线L2只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴有唯一的一个交点时，b的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴有唯一交点， ∴方程x2﹣bx+1＝0的判别式Δ＝0， 即（﹣b）2﹣4×1×1＝b2﹣4＝0， ∴b2＝4， ∴b＝±2； 故选：D． 2．已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2﹣7，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为（1，﹣7） 【解答】解：根据y＝a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是直线x＝h可知： y＝﹣3（x﹣1）2﹣7，﹣3＜0， ∴对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，函数的最大值是﹣7，顶点的坐标为（1，﹣7）， ∴只有D正确． 故选：D． 3．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2+2 D．y＝3x2﹣2 【解答】解：∵抛物线y＝3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0）， ∴所得抛物线的解析式为y＝3（x+2）2． 故选：A． 4．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝x2+1 B． C． D．y＝2x﹣1 【解答】解：A．所给式子是二次函数，符合题意； B．所给式子不是二次函数，不符合题意； C．所给式子不是二次函数，不符合题意； D．所给式子不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 5．二次函数y＝x2﹣4x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由题意得该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小， 当x＝0时，y＝1， ∴当x＜0时，y＞1，故所有x＜0的点均满足y＞0，故图象在第二象限，而不在第三象限， ∴y＝x2﹣4x+1的图象象一定不经过第三象限． 故选：C． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵x＝1和x＝3时，y＝﹣4， ∴对称轴， ∴，即b＝﹣4a， 当x＝0时，y＝m＝c， ∵0＜m＜2， ∴c＞0， 又∵抛物线过（1，﹣4）， ∴a+b+c＝﹣4即﹣3a+c＝﹣4得c＝3a﹣4＞0， ∴a＞0，抛物线开口向上， ∴b＝﹣4a＜0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线开口向上，对称轴x＝2， 点（7，y2）到对称轴距离|7﹣2|＝5＞4， 点（﹣2，y1）到对称轴距离|﹣2﹣2|＝4， ∴y2＞y1，故②正确； ∵对称轴x＝2，点（0，m）和点（4，s）对称， ∴s＝m＝c， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c＝﹣4a+3a﹣4＝﹣a﹣4， ∴n＝﹣a﹣4， ∴s+n＝2a﹣8， 当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣4， 代入b＝﹣4a，得 a﹣4a+c＝﹣4，即﹣3a+c＝﹣4， ∴c＝3a﹣4， ∴s＝3a﹣4， ∵0＜c＜2，即0＜3a﹣4＜2，解得， ∴，即，故④正确； 对于方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0，即|ax2+bx+c|＝s﹣1≥0， ∴当s﹣1＝0或s﹣1＞﹣n时|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根， ∵s＝m＝c＝3a﹣4， ∴3a﹣5＝0解得， 3a﹣5＞a+4解得不符合要求， 当s﹣1＝﹣n时|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有三个不相等的实数根， 3a﹣5＝a+4解得不符合要求， 当0＜s﹣1＜﹣n时|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有四个不相等的实数根， 解得， 当s﹣1＜0时|ax2+bx+c|+1﹣s＝0无解， 解得，故③错误， 故选：C． 7．已知点A（﹣1，n），B（3，n）是二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两点，点C（m﹣2，y1），D（m，y2）也是该函数图象上的两动点，且总有y1＜y2，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞1 【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大， ∵点C（m﹣2，y1），D（m，y2）也是该函数图象上的两动点，且总有y1＜y2， ∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离， 即|m﹣1|＞|m﹣2﹣1|， 解得：m＞2． 故选：A． 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 【解答】解：不妨假设a＞0． A．如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2， ∵P1P2∥AB， ∴S1＝S2，故A错误． B．当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2， 则S1＞S2，故B错误． C．∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1， ∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大， ∴S1＞S2，故C正确． D．如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误． 故结论正确的是：C． 同理，a＜0时，结论正确的是：C． 故答案为：C． 二．填空题（共10小题） 9．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是a＜1　 ． 【解答】解：抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点， 因此开口向下，二次项系数a﹣1＜0， 解得a＜1， ∴如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是a＜1， 故答案为：a＜1． 10．已知抛物线y＝3（x+2）（x﹣5）的图象与x轴交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　3　 ． 【解答】解：在y＝3（x+2）（x﹣5）中，当y＝0时，则3（x+2）（x﹣5）＝0， 解得x＝﹣2或x＝5， ∴抛物线y＝3（x+2）（x﹣5）的图象与x轴的交点坐标分别为（﹣2，0），（5，0）， ∴x1+x2＝﹣2+5＝3， 故答案为：3． 11．如图，抛物线的对称轴为x＝2，则当y＞﹣2时，x的取值范围是x＜0或x＞4　 ． 【解答】解：由题意可得，函数经过（0，﹣2）点， ∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，﹣2）关于对称轴的对称点为（4，﹣2）， ∴由函数图象可得，当x＜0或x＞4时，y＞﹣2， 故答案为：x＜0或x＞4． 12．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴的正半轴上，且这条抛物线在其对称轴的右侧部分是上升的，那么这条抛物线的表达式可以是 y＝x2﹣2x+1（答案不唯一）　 ．（只需写一个） 【解答】解：∵抛物线对称轴的右侧部分是上升的， ∴a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴的正半轴上， ∴b2﹣4ac＝0，且， ∴b＜0， 取a＝1，b＝﹣2，则c＝1， ∴这条抛物线的表达式可以是y＝x2﹣2x+1． 故答案为：y＝x2﹣2x+1（答案不唯一）． 13．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 　﹣3＜x＜0　 ． 【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0． 故答案为：﹣3＜x＜0 14．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，3）、B（﹣1，1），那么这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2　 ． 【解答】解：把点A（1，3）、B（﹣1，1）代入y＝x2+bx+c得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2． 15．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA、OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线的顶点，点A、B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．已知抛物线的解析式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A、B两点之间的距离是　　 dm． 【解答】解：根据题意可知y＝0.6， 当y＝0.6时，﹣0.2x2+1＝0.6， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．点M（a，b）是抛物线上的任意一点，且位于线段AB的上方，过点M作MN⊥x轴交AB于点N．若MN的长度随x增大而减小，则a的取值范围是　a＜3　 ． 【解答】解：在y＝﹣x2+2x+3中， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（3，0）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∵点M（a，b）是抛物线上的任意一点，且位于线段AB的上方， ∴b＝﹣a2+2a+3，（0＜a＜3）， ∴M（a，﹣a2+2a+3）， 过点M作MN⊥x轴交AB于点N，则N（a，﹣a+3）， ∴MN＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a）2， ∵﹣1＜0， ∴当a时，MN的长度随x增大而减小， ∴a＜3， 故答案为：a＜3． 17．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为　/　 m2． 【解答】解：如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃， 设AB＝x，则BC＝24﹣3x， ∵0＜BC≤10，即0＜24﹣3x≤10， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为x＝4，开口向下， ∴当x≥4时，S矩形ABCD随x的增大而减小， ∵， ∴当时，S矩形ABCD有最大值，最大面积为：， 故答案为：． 18．如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M． （1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为 　（，0）　 ； （2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 yx2x （不用写出自变量x的取值范围）； （3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 　7＜t＜23　 ． 【解答】解：（1）∵AM⊥x轴，A（15，8）， ∴OM＝15， ∵AM与⊙P相切， ∴AM⊥PM， ∵AM⊥x轴， ∴点P在x轴上， ∵点P是圆心， ∴点P的横坐标为OM， ∴P（，0）， 故答案为：（，0）； （2）如图1，连接PM，过点P作PG⊥x轴于G，过点A作AQ⊥x轴于Q， 则∠PGM＝∠AQM＝90°， ∴∠PMG+∠MPG＝90°， 由（1）知，PM⊥AM， ∴∠PMG+∠AMQ＝90°， ∴∠MPG＝∠AMQ， ∴△PGM∽△MQA， ∴， ∵PO＝PM，PG⊥x轴于G，P（x，y），且点P在第一象限内， ∴PG＝y，OG＝GM＝x，OM＝2OG＝2x， ∴MQ＝OQ﹣OM＝15﹣2x， ∵AQ⊥x轴，A（15，8）， ∴OQ＝15，AQ＝8， ∴， ∴yx2x， 故答案为：yx2x， （3）∵直线AM过点A（15，8）， ∴当AM∥OP是射线OP与直线AM相交的分界点， 如图2，①当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于G， 当OP∥AM时， 由（1）知，PM⊥AM， ∴OP⊥PM， ∴∠OPM＝90°， ∵PO＝PM， ∴△OPM为等腰直角三角形， ∴PH＝OH， ∵P（x，y）， ∴x＝y， ∴xx2x， ∴x＝0（舍去）或x， 由（2）知，OM＝2OH＝7； ②当点P在第四象限时，过点P'作P'H'⊥x轴于H'， 同①的方法得，P'H'＝OH'， ∵P'（x，y）， ∴x＝﹣y， ∴﹣xx2x， ∴x＝0（舍去）或x， 由（2）知，OM＝2OH＝23， ∴7＜t＜23， 故答案为：7＜t＜23． 三．解答题（共8小题） 19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点M（4，﹣3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3； （2）解：当x＝4时，y＝﹣42+4×4﹣3＝﹣16+16﹣3＝﹣3， ∴点M（4，﹣3）在该二次函数的图象上． 20．二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当﹣3≤x≤0时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为6，直接写出m的值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点（﹣1，﹣2）和（2，1）． ∴， 解得， ∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+2，即顶点坐标为（1，2）， 图象如下： （2）根据题意平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+2， ∴此时对称轴是直线x＝﹣m+1，函数图象开口向下， ∴①当﹣m+1≤﹣3时，即m≥4， ∴当x＝0时，y取最小值为﹣（0﹣1+m）2+2；当x＝﹣3时，y取最大值为﹣（﹣3﹣1+m）2+2． ∵最大值与最小值的差为6， ∴﹣（﹣3﹣1+m）2+2﹣[﹣（0﹣1+m）2+2]＝6， 解得，符合题意； ②当﹣3＜﹣m+1≤0时，即1≤m＜4， ∴当x＝0或x＝﹣3时，y取最小值为﹣（0﹣1+m）2+2或﹣（﹣3﹣1+m）2+2；当x＝﹣m+1时，y取最大值为2． ∵最大值与最小值的差为6， ∴2﹣[﹣（0﹣1+m）2+2]＝6或2﹣[﹣（﹣3﹣1+m）2+2]＝6， ∴或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ③当﹣m+1＞0时，即m＜1， ∴当x＝0时，y取最大值为﹣（0﹣1+m）2+2；当x＝﹣3时，y取最小值为﹣（﹣3﹣1+m）2+2． ∵最大值与最小值的差为6， ∴[﹣（0﹣1+m）2+2]﹣[﹣（﹣3﹣1+m）2+2]＝6． ∴，不合题意． 综上，或或． 21．某旅游景区一宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为160元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出60元的各项费用．设每天每间房的定价在160元的基础上增加x元，宾馆获利为y元． （1）求y关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利8000元？ 【解答】解：（1）由题意得 答：． （2）由（1）可得：． 令y＝8000，即 解得x1＝100，x2＝300． 由题意可得：定价不能高于160×2＝320（元）． 当x＝100时，定价为160+100＝260（元）， ∵260＜320， ∴符合规定； 当x＝300时，定价为160+300＝460（元）， ∵460＞320， ∴不符合规定，舍去． 答：每间房定价为260元时，宾馆每天可获利8000元． 22．如图，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该二次函数图象第二象限上的一点，连接CD交x轴于点E，连接AC、AD，若S△DAE＝S△CAE，求点D的坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴当x＝0时，y＝02+2×0﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵S△DAE＝S△CAE， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当y＝3时，即x2+2x﹣3＝3， 解得，（舍去，不符合题意）， ∴若S△DAE＝S△CAE，则点D的坐标为． 23．在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点P（0，1）在抛物线y＝x2+3x+1上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： （1）若点P是抛物线y＝x2+3x+1的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为（x，y），由定义可知y＝x2+3x+1，且x+y＝6，所以y＝6﹣x， 所以x+x2+3x+1＝6，解得x1＝1，x2＝﹣5． 所以点P的坐标为　（1，5）或（﹣5，11）　 ． （2）若点P是抛物线y＝x2﹣3x﹣2的“阶梯1点”，求点P的坐标． （3）若抛物线y＝x2+x+c上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，点P的坐标为（1，5）或（﹣5，11）， 故答案为：（1，5）或（﹣5，11）； （2）设点P的坐标为（x，y）， 由定义可知y＝x2﹣3x﹣2，且x+y＝1， ∴y＝1﹣x， ∴x+x2﹣3x﹣2＝1， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣1，2）； （3）设点P的坐标为（x，y）， 由定义可知y＝x2+x+c，且x+y＝3， ∴y＝3﹣x， ∴3﹣x＝x2+x+c， x2+2x+c﹣3＝0， 由题意得，Δ＝4﹣4×1×（c﹣3）≥0， ∴若抛物线y＝x2+x+c上存在“阶梯3点”P，c≤4． 24．某商家展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，那么每天可多售出20件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，设丝绸花边的宽度为xcm（0＜x＜40）， 依题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750， 解得：x1＝5，x2＝65（不合题意，舍去）， 答：丝绸花边的宽度为5cm； （2）设每件工艺品降低y（0＜y≤60）元出售，利润为W元， 依题意得：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）＝﹣20（y﹣25）2+24500． ∵﹣20＜0， ∴当y＝25时，W取得最大值24500，此时销售单价为：100﹣25＝75（元）． 答：当销售单价定为75元时，才能使当日的销售利润最大，最大利润是24500元． 25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）若点D是抛物线的顶点，∠BCD是否为直角？若是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B， ∴B（﹣3，0）， 将点A和点C分别代入，结合对称轴公式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 直线y＝mx+n经过B，C两点，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x+3； （2）如图，A，B两点关于对称轴x＝﹣1对称，M在x＝﹣1上，设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，连接MA， ∴MA＝MB， ∴MA+MC＝MB+MC＝BC， ∴此时点M到点A的距离与到点C的距离之和最小， 把x＝﹣1代入直线y＝x+3得：y＝2， ∴M（﹣1，2）， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）∠BCD是直角；理由如下： 由题意得，当x＝﹣1时， y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3 ＝﹣1+2+3 ＝4， ∴D（﹣1，4）， ∴，，， ∴BC2+CD2 ＝18+2 ＝20， 又∵， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴∠BCD＝90°． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣1和2，过点B作BC∥x轴，与抛物线L1相交于点C，分别以的长为边长向BC上方作矩形BCDE． （1）求抛物线L2的解析式； （2）将矩形BCDE先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形B′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线L1上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边E′D′与抛物线L2相交于点M，点M在抛物线L2对称轴的右侧，当时，求点C′的坐标； ③当边E′D′与抛物线L2只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 【解答】解：（1）抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣1和2， 当x＝﹣1时，得：y＝（﹣1）2＝1； 当x＝2时，得：y＝22＝4， ∴点A（﹣1，1），B（2，4）， 将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线L2的解析式为y＝﹣x2+2x+4； （2）①∵BC∥x轴，函数y＝x2的对称轴为y轴，B（2，4）， ∴点B，C关于y轴对称， ∴C（﹣2，4）， ∵向右平移m个单位长度，向下平移n个单位长度， ∴平移后点C′为（﹣2+m，4﹣n）， 当点C′在抛物线L1上时，将C′（﹣2+m，4﹣n）代入y＝x2得： 4﹣n＝（﹣2+m）2， ∴n＝﹣m2+4m，即n关于m的解析式为n＝﹣m2+4m； ②∵B（2，4），点B，C关于y轴对称， ∴BC＝4， ∵以为长构造长方形的宽， ∴BE＝2， ∴E（2，6），则E′（2+m，6﹣n），即E′（2+m，6+m2﹣4m）， 在Rt△B′ME′中，B′E′＝2，， 由勾股定理得：， ∴M（1+m，6+m2﹣4m）， 将M（1+m，6+m2﹣4m）代入y＝﹣x2+2x+4，得： 6+m2﹣4m＝﹣（1+m）2+2（1+m）+4， 解得：，， 又∵C′[﹣2+m，（﹣2+m）2]， ∴当时，； 当时，， 综上所述，点C′的坐标为或； ③m的值或取值范围为或．理由如下： 情况一：当边E′D′与抛物线L2只有一个公共点时，即E′D′与L2的顶点相交， ∵抛物线L2的解析式为：y＝﹣x2+2x+4， ∴顶点坐标为（1，5）， ∴点D′的纵坐标为5， ∴点C′的纵坐标为3， ∴（﹣2+m）2＝3， 解得：， ∵﹣2+m＜0， ∴此时； 情况二：当点D′在抛物线L2上时， ∵D′（﹣2+m，6+m2﹣4m），且点D′在抛物线L2上， ∴D′（﹣2+m，6m﹣m2﹣4）， 即为6+m2﹣4m＝6m﹣m2﹣4， 解得：， 当时，如图1， 当时，如图2， ∴当，边E′D′与抛物线L2只有一个公共点， 综上所述：或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $