解答题规范练7-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学《拆卷练》 1．(2025·安徽安庆三模)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)数列{an}中，a2＝1，Sn为{an}的前n项和， 当n＝1时，2S1＝a1⇒2a1＝a1，所以a1＝0， 当n≥2时，2Sn＝nan，① 2Sn＋1＝(n＋1)an＋1，② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝(n＋1)an＋1－nan，2(Sn＋1－Sn)＝(n＋1)an＋1－nan， 即nan＝(n－1)an＋1， 当n≥2时，＝，递推得＝，…，＝，＝， 由累乘法，得××…××＝××…××，得＝n， 又因为a2＝1，所以an＋1＝n，即an＝n－1， 经检验，当n＝1时，a1＝0也符合上式，所以an＝n－1. (2)由(1)可知an＝n－1，an＋1＝n， 所以bn＝ ＝＝ ＝ ＝－ ＝tan(n＋1)－tann， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(tan2－tan1)＋(tan3－tan2)＋…＋[tann－tan(n－1)]＋[tan(n＋1)－tann]＝tan(n＋1)－tan1. 所以Tn＝tan(n＋1)－tan1. 2．(2025·江苏南通调研)已知函数f(x)＝aex－x. (1)求函数f(x)的极值； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a－a2＋. 解：(1)由题意，得函数f(x)的定义域为R，则f′(x)＝aex－1， ①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，无极值； ②当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln ，令f′(x)>0，得x>ln ，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝ln 时，f(x)取得极小值，且f＝1－ln ＝1＋ln a， 即函数f(x)有极小值1＋ln a，无极大值． (2)证明：由(1)，得当a>0时，f(x)min＝f＝1＋ln a， 要证f(x)>2ln a－a2＋， 即证1＋ln a>2ln a－a2＋， 即证a2－－ln a>0恒成立， 令h(a)＝a2－－ln a(a>0)， 则h′(a)＝2a－＝， 令h′(a)<0，得0<a<， 令h′(a)>0，得a>， 所以h(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以h(a)min＝h＝－－ln ＝ln >0， 即h(a)>0恒成立． 综上，当a>0时，f(x)>2ln a－a2＋恒成立． 3．(2025·山东泰安模拟)2025年4月24日是第十个中国航天日．十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新．某校部分学生十分关注中国航天的发展，将累计关注中国航天发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”．现从该校随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 单位：人 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 60 女 20 合计 (1)补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关？ (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女“航天达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置20道题目，其中n(3≤n≤13)道题目是小明能答对的，规定每位参赛者从20道题目中随机抽取10道题目作答，则要使小明恰好答对3道题目的概率最大，那么n取多少？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解：(1)补全2×2列联表如下表： 单位：人 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设为H0：假设“航天达人”与性别无关． 根据表中的数据计算得到 χ2＝＝≈2.778， 查表可知2.778<6.635＝x0.010， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为“航天达人”与性别无关． (2)抽取的男“航天达人”有4人，女“航天达人”有2人，X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (3)从20道题目中抽取10道题目，恰好有3道题目小明能答对的概率为P＝， 设f(n)＝CC，当3≤n≤12时，＝＝ ＝， －n2＋12n＋13－(－n2＋22n－40)＝53－10n，当3≤n≤5时，f(n＋1)>f(n)，当6≤n≤12时，f(n＋1)<f(n)， 因此f(3)<f(4)<f(5)<f(6)>f(7)>…>f(13)， 所以当n＝6时，小明答对3道题目的概率最大． 4．(2025·湖南长沙模拟)已知双曲线E的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线l从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示． (1)求双曲线E的方程； (2)求证：|AB|＝|CD|； (3)若，，成等差数列，则△OPA，△OCD的面积之和是否为定值？说明理由． 解：(1)设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题设知，双曲线E的焦点F(c，0)到渐近线y＝x的距离d＝＝b＝， 由离心率为，知＝， 又a2＋b2＝c2，联立解得a＝2，c＝3， 故双曲线E的方程为－＝1. (2)证明：由题意，易知直线l的斜率存在且为负数， 设直线l的方程为x＝my＋n(m<0，n>2)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，0<y1<y2<y3<y4. 由 得(5m2－4)y2＋10mny＋5n2－20＝0， 则有5m2－4≠0，Δ＝(10mn)2－4(5m2－4)·(5n2－20)＝80(5m2＋n2－4)>0， 由根与系数的关系，得y1＋y4＝>0，y1y4＝>0. 结合m<0，n>2，可得m<－. 联立得y2＝， 联立得y3＝， 所以y2＋y3＝＋＝＝y1＋y4， 所以y2－y1＝y4－y3. 而|AB|＝ ＝|y2－y1|， 同理，|CD|＝|y4－y3|， 所以|AB|＝|CD|. (3)△OPA，△OCD的面积之和为定值. 因为，，成等差数列， 所以＋＝， 即＝，得＝， 化简得n2＝4－2m，即＝2. 由(2)知|AB|＝|CD|，所以△OAB，△OCD等底等高，所以S△OAB＝S△OCD， 所以△OPA，△OCD的面积之和为S△OPA＋S△OCD＝S△OPA＋S△OAB＝S△OPB＝|OP|·y2＝·＝，为定值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $