第2章二次函数 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《第2章二次函数》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 4．函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 7．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．若二次函数的图像经过点，则 ． 9．已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 10．已知二次函数的图象与轴有交点．则的取值范围是 ． 11．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s． 12．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 ． 13．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是 ． 14．如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 16．已知二次函数（为非零常数）经过点． (1)求的值； (2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值； (3)当时，求的最大值与最小值的差． 17．如图，一小球从原点处抛出，球的抛出路线近似拋物线．若小球到达最高点的坐标为，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若要在斜坡OA上的点处竖直立一个高5米的广告牌，点的横坐标为3，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； (3)计算小球在飞行的过程中与斜坡OA的最大高度？此时距原点的水平距离是多少？ 18．美化校园活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形花园的面积为时，求的长； (3)如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 19．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物琮琮、莲莲、宸宸家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店销售一批吉祥物毛绒玩具，平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件毛绒玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答： (1)设每件毛绒玩具降价元，则商场此商品可多售出________件；此毛绒玩具每件盈利________元；此毛绒玩具每天可销售________件； (2)每件毛绒玩具降价多少元时；商场日盈利可达到2100元？ (3)每件毛绒玩具降价多少元时，商场日盈利最大？ 20．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 通过计算判别式判断与x轴的交点；由二次项系数为负判断开口向下，有最高点；通过对称轴分析函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数， ∴， 判别式， ∴抛物线与x轴有两个交点，故A错误； ， ∴抛物线开口向下，有最高点，无最低点，故B错误； 对称轴为直线， ∵开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故C正确，D错误， 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，本题利用二次函数的顶点公式求最值，理解汽车停下来时距离最大是关键． 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来所花的时间是秒， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】解：原抛物线为， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， 故得到的抛物线解析式为 ； 故选D． 4．D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，当时，有最小值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 6．C 【分析】本题考查了一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式，根据抛物线与直线的两个交点分别为，，当抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集求解即可． 【详解】解：抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集，，， 或， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 8． 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并考虑二次项系数不为零的条件，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴将代入得：， 即， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又∵该函数为二次函数， ∴二次项系数，即， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】根据函数中的解析式，先化为顶点式，从而可以得到当时，y的取值范围． 【详解】解∶二次函数， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 故答案为∶． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 10． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，抛物线与轴交点知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题二次函数与轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，根据判别式非负，然后即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，则方程有实数根， ∴判别式， 令， 即， 解得：， 故答案为：； 11．1.6 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式． 连接，交直线于P，根据二次函数的对称性可知此时最小，根据将代入得到，求出直线的解析式为：，进而可求出． 【详解】解：根据二次函数的对称性可知， 即， 如图，连接，交直线于P，可知此时最小， 当时，， 由题意得：， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得： ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴． 故答案为：． 15．(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 16．(1) (2)15 (3)16 【分析】本题主要考查了求二次函数与轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可求解； （2）先求出原解析式，令和，求出的值和点C的坐标，进而计算即可得出答案； （3）先将函数变为顶点式，再根据顶点式的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入 ， 得：， 解得； （2）解：当时，， 令，则或， 可得， 将代入，得， 故点坐标为， ； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向上， 当时，有最小值为， ，且直线比直线距离对称轴较远， 将代入可得的最大值为7， 当时，的最大值与最小值的差为：． 17．(1) (2)能飞过，理由见解析 (3)米，米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式等知识，解题的关键是利用数形结合与方程思想分析解决问题． （1）设抛物线的表达式为，把点坐标代入解析式求出即可； （2）先用待定系数法求出的解析式为，再把把分别代入和，即可得到答案； （3）结合题意，可知小球在飞行的过程中离斜坡的高度为，用二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入函数解析式，可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 对于，当时，， ∵， ∴小球能飞过这个广告牌； （3）小球在飞行的过程中离斜坡的高度为 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴在飞行的过程中距离斜坡的高度最大为米，与原点的水平距离是米． 18．(1) (2)当矩形花园的面积为时，的长为或 (3)如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）根据矩形面积长宽求解； （2）令，解一元二次方程求解； （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴的长为或； （3）解：∵点P在矩形内部， ∴， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 19．(1)，，； (2)每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元 (3)每件商品降价17.5元，商场日盈利最大 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列方程求解是解题的关键． （1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利减去降低的钱数； （2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可； （3）设每件商品降价元，商场日盈利元，得，当时，有最大值． 【详解】（1）解：设每件商品降价元，则商场此商品可多售出件， 此商品每件盈利元， 此商品每天可销售件. 故答案为：，，； （2）解：设每件商品降价元，由题意得： ， 化简得：， 解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去.. 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元. （3）解：设每件商品降价元，商场日盈利元，由题意得： ， ，时，有最大值． 答：每件商品降价17.5元，商场日盈利最大. 20．(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． $