第二编 专题2 第1讲 三角函数-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学 　　第1讲　三角函数 「考情研析」1.三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式的应用；③辅助角公式的应用．　2.三角函数的图象与性质主要考查三角函数图象的变换、图象的对称性及图象与性质的综合问题． (1)诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”． (2)若α∈，则sinα<α<tanα． (3)对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期． (4)三角函数的奇偶性的相关结论 ①若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． ②若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z)． (5)常见公式变形 辅助角公式：①asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)； ②sin2α＝，cos2α＝； ③tanα＝＝． 考向1　三角函数的基本关系及三角恒等变换 例1　(1)(2025·湖北武汉四调)若tan＝7，则cos2α的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由tan＝7，得＝7，即＝7，解得tanα＝，所以cos2α＝＝＝＝.故选A. (2)(2025·广东江门模拟)已知sin＋cosα＝，则cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：由sin＋cosα＝，得sinα－cosα＋cosα＝，即sinα＋cosα＝，因此sin＝，所以cos＝cos＝1－2sin2＝.故选B. (3)(2025·河北部分重点高中二模)已知cos＝cos，则tanα＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为cos＝cos，所以cos＝cos，即sin＝cos，所以tan＝，则tanα＝tan＝＝.故选A. (4)(2025·重庆西南大学附属中学二模)已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α＋β)sinβ＝－，则α＋2β＝________． 答案： 解析：因为sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝，所以sin(α＋β)cosβ＝－＝，所以sin(α＋2β)＝sin(α＋β＋β)＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ＝－＝，因为α，β均为锐角，cos(α＋β)sinβ＝－<0，所以<α＋β<π，所以<α＋2β<，所以α＋2β＝. 1．三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂． 2．常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，＋α＝－，α＝－等，解决问题时，应根据已知条件中的角，选择恰当的“变角”技巧． 对于三角函数的给值求角问题，应选择在该角所在范围内单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．(2025·河北张家口二模)已知2tanθ－1＝0，则＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：由题意，得tanθ＝，则＝＝＝－.故选D. 2．(2025·广东揭阳二模)已知α为锐角，且cos＝，则cos2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：B 解析：因为α为锐角，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝＝，cos2α＝sin＝sin＝2sincos＝2××＝.故选B. 3．(2025·广东广州二模)已知θ∈，tan2θ＝，则tanθ＝(　　) A. B. C．2 D．3 答案：A 解析：由θ∈，可得sinθ>0，cosθ>0，所以＝＝＝sinθ＋cosθ，又tan2θ＝，所以＝＝，即＝，所以2tanθ＝1－tanθ，解得tanθ＝.故选A. 4．(2025·湖北武汉二调)已知tanαtanβ＝2，cos(α－β)＝，则cos(α＋β)＝________． 答案：－ 解析：依题意，tanαtanβ＝＝2，则sinαsinβ＝2cosαcosβ，由cos(α－β)＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，解得cosαcosβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝－. 5．已知0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则sinα的值为________，α－β的值为________． 答案：　 解析：因为0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＝.因为cos＝，所以sinβ＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.因为－<β<0，所以cosβ＝＝，又cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.因为0<α<，－<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝. 考向2　三角函数的图象与解析式 例2　(1)(2025·江苏南京二模)把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　　) A．cos B．cos C．cos D．cos 答案：B 解析：把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后得到函数y＝cos2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数y＝f(x)＝cos＝cos的图象．故选B. (2)(2025·广西南宁二中模拟)在物理学中简谐运动可以用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点中心对称 B．函数f(x)的解析式可以为f(x)＝2cos C．函数f(x)在[0，π]上的值域为[0，2] D．若把f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，则得到函数y＝2sin的图象 答案：B 解析：由题图可知，A＝2，＝×＝＝－＝，所以T＝π，ω＝2，因为2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|<π，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.对于A，f＝2sin＝2sin＝1≠0，故A错误；对于B，f(x)＝2sin＝2cos＝2cos＝2cos，故B正确；对于C，因为0≤x≤π，所以－≤2x－≤，故－1≤sin≤1，－2≤2sin≤2，所以函数f(x)在[0，π]上的值域为[－2，2]，故C错误；对于D，若把f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，则得到函数y＝2sin＝2sin的图象，故D错误．故选B. (3)(2025·河北NT20名校高三第二次调研)已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x满足f(x)≤恒成立，则当x∈时，曲线y＝f(x)与y＝sinx的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：因为f(x)≤恒成立，所以直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，那么f(0)＝f，所以a＝＋a，解得a＝，所以f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，作出f(x)＝2sin与y＝sinx在上的图象，如图所示，由图可知，当x∈时，曲线y＝f(x)与y＝sinx的交点个数为4.故选B. (4)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 答案：(－2，－] 解析：由题图可知A＝1，且点，在f(x)的图象上，则sin＝1，sin＝－，由五点画图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝，解得ω＝，φ＝，则f(x)＝sin.将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得g(x)＝2sin的图象． 作出直线y＝m和函数g(x)的部分图象，如图所示，由图可知，当－2<m≤－时，直线y＝m与函数g(x)的图象在上有两个交点，即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根． 1．确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 2．三角函数图象平移问题的处理策略 正切函数图象的对称中心的坐标是(k∈Z)． 1．(2025·山西太原一模)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：C 解析：函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到函数g(x)＝sin＋1＝sin＋1的图象．当x＝时，g＝sin＋1＝2，化简，得sin＝1，则＋θ＝＋2kπ，k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z，又因为－<θ<，所以θ＝－.故选C. 2．已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：A 解析：如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，由图可得AB＝3，设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意可得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，可得ω＝，即f(x)＝tan，由图可知f(x)的图象过点，即tan＝tan＝－1，∵φ∈，∴＋φ∈，∴＋φ＝－，解得φ＝－.故选A. 3．(2025·浙江温州二模)已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，则下列两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　) A．y＝f(x)－g(x)与y＝f(x) B．y＝[f(x)]2－[g(x)]2与y＝f(x)g(x) C．y＝f(f(x))与y＝f(g(x)) D．y＝f(f(x))与y＝g(f(x)) 答案：C 解析：若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等．对于A，因为y＝f(x)－g(x)＝sinx－cosx＝sin，所以函数y＝f(x)－g(x)的振幅为，又函数y＝f(x)＝sinx的振幅为1，所以这两个函数的振幅不相等，故y＝f(x)－g(x)与y＝f(x)的图象不能通过平移重合，A不符合题意；对于B，因为y＝[f(x)]2－[g(x)]2＝sin2x－cos2x＝－cos2x，y＝f(x)g(x)＝sinxcosx＝sin2x，函数y＝[f(x)]2－[g(x)]2的振幅为1，函数y＝f(x)g(x)的振幅为，所以y＝[f(x)]2－[g(x)]2与y＝f(x)g(x)的图象不能通过平移重合，B不符合题意；对于C，y＝f(f(x))＝sin(sinx)，y＝f(g(x))＝sin(cosx)＝sin，将函数y＝f(f(x))的图象向左平移个单位长度可与函数y＝f(g(x))的图象重合，C符合题意；对于D，y＝g(f(x))＝cos(sinx)＝sin，y＝f(f(x))与y＝g(f(x))的图象不能通过平移重合，D不符合题意．故选C. 4．(2025·广东广州一模)已知ω>0，曲线y＝cosωx与y＝cos相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝(　　) A. B. C.π D.π 答案：A 解析：设曲线y＝cosωx与y＝cos相邻的三个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，cosωx＝cos＝cosωx＋sinωx⇔sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，不妨取k＝0，1，2，则x1＝，x2＝，x3＝，所以y1＝，y2＝－，y3＝，则AB2＝BC2＝＋3，AC2＝，因为△ABC为直角三角形，所以AB2＋BC2＝AC2，即2＋6＝，解得ω＝.故选A. 5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，直线y＝－x＋3经过函数f(x)图象的最高点M和最低点N，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＝________． 答案：2＋2 解析：由f(x)的解析式可知，yM＝2，yN＝－2，y＝－x＋3中，令y＝2，得x＝1，令y＝－2，得x＝5，故M(1，2)，N(5，－2)，即f(1)＝2，f(5)＝－2.故f(x)的周期T＝2×(5－1)＝8，即＝8，解得ω＝，故f(x)＝2sin，则f(1)＝2sin＝2，得φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin.f(0)＝2sin＝，f(1)＝2sin＝2，f(2)＝2sin＝，f(3)＝2sinπ＝0，f(4)＝2sin＝－，f(5)＝2sin＝－2，f(6)＝2sin＝－，f(7)＝2sin2π＝0，f(8)＝f(0)＝，……，因为f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(7)＝0，8×253＋3＝2027，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＝253×0＋＋2＋＝2＋2. 考向3　三角函数的性质 例3　(1)(2025·湖南湘潭三模)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：已知x∈，令t＝2x＋φ，则t∈，因为|φ|<，所以φ∈.故原条件等价于已知函数y＝sint在区间上单调，而函数y＝sint在区间上单调，所以解得－≤φ≤，又因为φ∈，故φ∈.故选B. (2)(多选)(2025·湖北武汉二调)函数f(x)＝sin2＋sin2，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)的最大值是2 C．f(x)是区间内的减函数 D．f(x)的图象关于点中心对称 答案：AC 解析：f(x)＝sin2＋sin2＝＋＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最小正周期是＝π，故A正确；由三角函数的性质可知f(x)的最大值是＋1，故B错误；令z＝2x－，当x∈时，z∈，因为y＝sinz在上单调递减，所以f(x)是区间内的减函数，故C正确；令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f(x)图象的对称中心为，k∈Z，令＋＝，得k＝∉Z，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故D错误．故选AC. (3)(多选)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]内有且仅有5个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在(0，2π)内有且仅有3个极大值点 B．f(x)在(0，2π)内有且仅有2个极小值点 C．f(x)在内单调递增 D．ω的取值范围是 答案：ACD 解析：当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，因为f(x)在[0，2π]内有且仅有5个零点，故f(x)在(0，2π)内有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3个，故A正确，B错误；5π≤2πω＋<6π，所以≤ω<，故D正确；当x∈时，ωx＋∈，因为≤ω<，所以≤<<，所以f(x)在内单调递增，故C正确．故选ACD. (4)(2025·河北秦皇岛高三第一次模拟)若函数f(x)＝sin在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是________． 答案： 解析：由sin＝0，ω>0，可得ωx＋＝kπ，k∈Z，即x＝－，k∈Z，令－∈，k∈Z，则＋<k<＋，k∈Z，又函数f(x)在区间内没有零点，则区间内不存在整数，又×≥－，则正数ω满足0<ω≤1，则⊆(0，1)，则＋≤1，解得ω≤，即正数ω的取值范围是. 　求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号，当ω＜0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解，如求函数f(x)＝2sin的单调递减区间，应将函数化为f(x)＝－2sin，转化为求函数y＝sin的单调递增区间；在书写单调区间需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间． 1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间内单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D. 2．(2025·广东湛江一模)已知函数f(x)＝sin在区间(0，m)内存在唯一一个极大值点，则m的最大值为(　　) A. B．π C. D. 答案：A 解析：当x∈(0，m)时，2x＋∈，由f(x)在区间(0，m)内存在唯一一个极大值点，得<2m＋≤，解得<m≤，所以m的最大值为.故选A. 3．(多选)(2025·重庆南开中学第八次质检)已知函数f(x)＝sin(ω>0)与函数g(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象有相同的对称轴，则(　　) A．ω＝2 B．φ＝ C．将f(x)的图象向左平移π个单位长度可得到g(x)的图象 D．函数y＝f(x)－g(x)在[0，2π]内有4个零点 答案：ABD 解析：对于A，因为函数f(x)＝sin(ω>0)与函数g(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象有相同的对称轴，所以两者具有相同的周期，所以ω＝2，故A正确；对于B，C，因为f(x)＝sin，g(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，所以f(x)与g(x)的图象不重合，所以g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位长度后所得，又T＝＝π，所以φ＝2×－＝，故B正确，C错误；对于D，函数y＝f(x)－g(x)的零点，即方程f(x)＝g(x)的根，即为函数y＝f(x)的零点，对于f(x)＝sin，令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以y＝f(x)在[0，2π]内的零点有，，，，共4个，故D正确．故选ABD. 4．(多选)已知ω＞0，函数f(x)＝cos，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期T＝2，则ω＝π B．当ω＝2时，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos2x的图象 C．若f(x)在区间内单调递增，则ω的取值范围是 D．若f(x)在区间(0，π)内只有一个零点，则ω的取值范围是 答案：ACD 解析：由余弦函数的图象与性质，可得T＝＝2，得ω＝π，所以A正确；当ω＝2时，可得f(x)＝cos，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到f＝cos＝cos的图象，所以B错误；若f(x)在区间内单调递增，则k∈Z，解得1＋3k≤ω≤＋2k，k∈Z，又因为ω＞0，所以只有当k＝0时，此不等式有解，即1≤ω≤，所以C正确；当x∈(0，π)时，ωx＋∈，若f(x)在区间(0，π)内只有一个零点，则<πω＋≤，解得＜ω≤，所以D正确．故选ACD. 真题押题 1．(2024·北京卷，6)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2.故选B. 2．(2024·新课标Ⅰ卷，7)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y＝sinx的最小正周期为T1＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T2＝，所以x∈[0，2π]的函数y＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法作出两函数的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象有6个交点．故选C. 3．(2024·天津卷，7)已知函数f(x)＝sin3(ω>0)的最小正周期为π，则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D. 答案：A 解析：f(x)＝sin3＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f(x)＝－sin2x.当x∈时，2x∈，画出f(x)＝－sin2x的图象，如图．由图可知，f(x)＝－sin2x在上单调递减，所以当x＝时，f(x)min＝－sin＝－.故选A. 4．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，9)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴的横坐标满足2x＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴的横坐标满足2x－＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC. 5．(2023·新课标Ⅰ卷，15)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案：[2，3) 解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 6．(2023·新课标Ⅱ卷，16)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 答案：－ 解析：设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，则ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，则f(π)＝sin＝－. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号、声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成．现已知某复合信号I(x)由三个振幅、频率相同的正弦波f(x)，g(x)，h(x)叠加而成，即I(x)＝f(x)＋g(x)＋h(x)，设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Asin(ωx＋α)，h(x)＝Asin(ωx＋β)，其中A>0，ω>0，|φ|<，α，β∈(0，π)，若图中所示为f(x)的部分图象，则下列描述正确的是(　　) A．(A＋ω)·φ＝ B．I(x)的最小正周期是2π C．若α＝，β＝，则I(x)＝(1＋＋)·sin D．若I(x)＝0，则cos(φ－α)cos(α－β)cos(β－φ)＝－ 答案：D 解析：对于A，由题图可知，A＝2，且－＝＝＝，所以ω＝2，又f(0)＝1，所以sinφ＝，因为|φ|<，所以φ＝，所以(A＋ω)·φ＝(2＋2)×＝，故A错误；对于B，因为ω＝2，所以f(x)，g(x)，h(x)的最小正周期均为π，所以I(x)＝f(x)＋g(x)＋h(x)的最小正周期为π，故B错误；对于C，因为α＝，β＝，所以I(x)＝2sin＋2sin＋2sin，因为I(0)＝2sin＋2sin＋2sin＝1＋＋，而(1＋＋)sin＝×(1＋＋)，故C错误；对于D，因为I(x)＝0，所以2sin(2x＋φ)＋2sin(2x＋α)＋2sin(2x＋β)＝0，展开得sin2x(cosα＋cosβ＋cosφ)＋cos2x(sinα＋sinβ＋sinφ)＝0，等式恒成立，则则平方求和得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－，同理，cos(φ－α)＝－，cos(β－φ)＝－，所以cos(φ－α)cos(α－β)cos(β－φ)＝－，故D正确．故选D. 专题作业 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 三角函数的定义、诱导公式 三角函数的化简、求值——诱导公式 利用同角三角函数的基本关系式求值 利用倍角公式、两角差的正弦公式求值 正弦型函数的周期性、单调性、对称性、极值的综合 由正弦(型)函数的值域求参数 利用正弦型函数的图象解决与方程根的个数有关的问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 由图象判断正弦型函数的解析式；正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的综合 判断正弦型函数的图象 利用同角三角函数基本关系式、三角恒等变换解决给值求值、给值求角问题 三角恒等变换与正弦型函数的图象、性质的综合 利用正弦函数图象的对称性求值 利用同角三角函数的基本关系式、倍角公式求值 正弦型函数图象的平移变换；由正弦型函数的单调性求参数 一、单选题 1．(2025·贵州安顺二模)已知角α的终边经过点P(－3，4)，则cos＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：因为角α的终边经过点P(－3，4)，则sinα＝＝，所以cos＝－sinα＝－.故选B. 2．(2025·山东烟台一模)已知tanα＝－2，则＝(　　) A．－ B. C．－2 D．2 答案：C 解析：原式＝＝＝＝＝－2.故选C. 3．(2025·湖南长沙长郡中学模拟)已知θ∈，sinθ－cosθ＝，则sin3θ＋cos3θ＝(　　) A. B. C．－ D. 答案：C 解析：由sinθ－cosθ＝两边平方，得sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－，(sinθ＋cosθ)2＝，而sinθ＋cosθ＝sin，θ＋∈，∴sin<0，∴sinθ＋cosθ＝－，∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝－×＝－.故选C. 4．已知α为第一象限角，＝－，则sin的值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由＝－，得－2tanα＝3tan＝3×，解得tanα＝或tanα＝－3.又α为第一象限角，所以tanα＝，所以sin＝(sin2α－cos2α)＝(2sinαcosα－cos2α＋sin2α)＝×＝×＝.故选C. 5．(2025·山东青岛二模)设函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．y＝f(x)的图象关于点(π，0)对称 C．f的一个极值点是 D．f(x)在区间内单调递减 答案：C 解析：对于A，由题意，得最小正周期T＝＝π，故A错误；对于B，由f(π)＝sin＝sin＝－≠0，得y＝f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误；对于C，设g(x)＝f＝sin＝sin＝cos，因为当x＝时，g(x)取得最大值1，所以是g(x)的一个极大值点，故C正确；对于D，当x∈时，2x－∈，因为y＝sinx在内单调递增，所以f(x)在区间内单调递增，故D错误．故选C. 6．(2025·河北秦皇岛一模)已知函数f(x)＝sin(0<ω<5)，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)在上的值域为[－1，1]，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知g(x)＝sin＝sin，当x∈时，ωx－－∈，因为0<ω<5，所以－π<－－<－，0<－<，要使g(x)在上的值域为[－1，1]，则－－≤－且－≥，解得ω＝2.故选B. 7．(2025·山东齐鲁名校二模)某导航通讯的信号可以用函数f(x)＝近似模拟，若方程f(x)－＝0在[0，m]上有3个根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：方程f(x)－＝0在[0，m]上有3个根，即＝在[0，m]上有3个根，也即函数y＝的图象与直线y＝在[0，m]上有3个交点，令4x－＝t，因为x∈[0，m]，所以－≤t≤4m－.由题意，得函数y＝|sint|，t∈的图象与直线y＝有3个交点，所以≤4m－<，解得≤m<，即实数m的取值范围是.故选A. 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的振幅是2，初相是 B．若函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω＝2 C．若函数f(x)在内单调递减，则ω的取值范围为 D．若函数f(x)的图象关于点中心对称，则函数f(x)的最小正周期为7π 答案：C 解析：由题图可知A＝2，且f(0)＝2sinφ＝－1，即sinφ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，故函数f(x)的振幅是2，初相是－，故A错误；将函数f(x)＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象，依题意，得ω－＝kπ，k∈N，解得ω＝2＋12k，k∈N，故B错误；若函数f(x)在内单调递减，则≥－＝，即T≥，则解得0<ω≤6，又x∈，所以ωx－∈，又－<ω－≤，所以解得2≤ω≤，即ω的取值范围为，故C正确；若函数f(x)的图象关于点中心对称，则ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝＋k，k∈Z，又ω>0，所以ω＝＋k，k∈N，又函数的周期T＝，显然T没有最小值，故D错误．故选C. 二、多选题 9．(2025·河北部分重点高中二模)函数f(x)＝sinx＋tcosx(t>0)的大致图象可以是(　　) 答案：AC 解析：函数f(x)＝sinx＋tcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝t>0，sinφ>0，cosφ>0，取φ∈.又函数f(x)的图象是由y＝sinx的图象向左平移φ个单位长度得到的，所以A，C符合题意．故选AC. 10．(2025·浙江杭州第二中学模拟)已知≤α≤π，π≤β≤，sin2α＝，cos(α＋β)＝－，则下列结论正确的是(　　) A．cos2α＝ B．sinα－cosα＝ C．sin(α＋β)＝ D．β－α＝ 答案：BD 解析：由≤α≤π，得≤2α≤2π，因为sin2α＝，所以≤2α≤π，cos2α＝－，故A错误；因为≤2α≤π，所以≤α≤，则有sinα≥≥cosα，即sinα－cosα＝＝＝＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝－＝－＝－，故C错误；sin(β－α)＝sin(α＋β－2α)＝sin(α＋β)cos2α－cos(α＋β)sin2α＝－×＋×＝，因为≤α≤，π≤β≤，所以≤β－α≤，则β－α＝，故D正确．故选BD. 11．(2025·湖北省示范高中智学联盟模拟)设函数f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx，ω>0，则下列结论正确的是(　　) A．∀ω∈(0，1)，f(x)在上单调递减 B．若ω＝1且|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|min＝π C．若|f(x)|＝1在[0，π]上有且仅有2个不同的解，则ω的取值范围为 D．存在ω∈(－1，0)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数 答案：ACD 解析：f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx＝－sin.对于A，∀ω∈(0，1)，当x∈时，2ωx－∈⊆，由复合函数、正弦函数的单调性可知，f(x)在上单调递减，故A正确；对于B，若ω＝1，则最小正周期T＝＝π，又|f(x1)－f(x2)|＝2，所以|x1－x2|min＝＝，故B不正确；对于C，若x∈[0，π]，则2ωx－∈，若|f(x)|＝＝1在[0，π]上有且仅有2个不同的解，结合正弦函数的图象，可得≤2ωπ－<，解得≤ω<，即ω的取值范围为，故C正确；对于D，f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin＝sin的图象，可知当ω＝－时，g(x)＝－sinx是奇函数，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．(2025·福建福州二模)若函数f(x)＝sinx－，x∈(0，π)恰有两个零点x1，x2，则f(x1＋x2)＝________． 答案：－ 解析：因为函数f(x)＝sinx－，x∈(0，π)恰有两个零点x1，x2，所以sinx1＝，sinx2＝，又x∈(0，π)的曲线y＝sinx关于直线x＝对称，所以＝，即x1＋x2＝π，所以f(x1＋x2)＝f(π)＝sinπ－＝－. 13．(2025·河南许平汝二模)已知α是第三象限角，cos＝，则＝________． 答案：－2 解析：解法一：因为cos＝－sinα＝，所以sinα＝－，因为α是第三象限角，所以cosα＝－，则＝＝＝＝－2. 解法二：因为cos＝－sinα＝，所以sinα＝－，因为α是第三象限角，所以cosα＝－，则tan＝＝－3，所以＝＝－2. 14．将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数g(x)的图象关于点对称，且g(x)在区间内单调递增，则φ＝________，实数m的取值范围是________． 答案：　 解析：∵将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数g(x)＝2sin＝2sin的图象关于点对称，∴3×－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|≤，则φ＝±.若φ＝，则g(x)＝2sin，∵g(x)在区间＝内单调递增，∴m<0.当x∈时，3x－∈，∴解得m≤－；若φ＝－，则g(x)＝2sin.∵g(x)在区间＝内单调递增，∴m>0.当x∈时，3x－∈，∴无解．综上可得，φ＝，实数m的取值范围是. 27 学科网（北京）股份有限公司 $