2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末复习《第1—2章》知识点分类解答题专题提升训练

2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末复习《第1—2章》 知识点分类解答题专题提升训练（附答案） 一、勾股定理 1．在Rt中，，，，分别是中，，的对边． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求，． 2．如图，在中，，点在边上，若，，且，求的长． 3．如图，中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，求线段的长． 4．如图，在中，，，，是边上的高． (1)是直角三角形吗？请说明理由． (2)的长． 5．（1）秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度． （2）如图，已知一块四边形的草地，其中，，，，，求这块草地的面积． 6．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 8．综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 9．在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明； (2)应用：在探究的条件下，若，,则的周长为 ； (3)拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ． 10．【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 11．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 12．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 二、实数 13．把下列各数填入相应的集合内： ，，，0，，，，π， ①有理数集合{       …} ②无理数集合{       …} ③整数集合{       …} 14．解方程： (1) (2) (3) (4) 15．计算： (1) (2) 16．计算： (1)； (2)． 17．计算 (1) (2) 18．已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 19．先化简，再求值：，其中 20．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 21．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 22．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 23．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 24．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 参考答案 1．（1）解：在中，， 由勾股定理可得：， ，， ， ； （2）解：在中，， 由勾股定理可得：， ，， ， ； （3）解：在中，， 由勾股定理可得：， 设，， 由， 可得：， ， ，． 2． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设，根据题意可知，，再根据勾股定理可知，代入数值求解后即可计算的长． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， 在中，，根据勾股定理可知，， 即， 解得， ∴． 3．4 【分析】本题考查勾股定理和图形的折叠，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，则由折叠的性质可得， ∵是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴线段的长为4． 4．(1)是，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股逆定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，，得出，证明是直角三角形即可作答． （2）结合是边上的高，根据等面积法列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即是直角三角形； （2）解：的面积， ∵是边上的高， ∴的面积， 解得． 5．（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）设，则根据勾股定理计算即可； （2）连接，由的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；可以得到四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：（1）设，则．             在中，由勾股定理得， 即，                     解得．                     答：秋千的长度为． （2）连接AC， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴这块草地的面积为． 6．(1) (2)B向外移动米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴米． （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 7．(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 8．(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 9．(1)见解析 (2) (3)①，② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论； （3）①同探究的方法得出，得出，即可得出结论； ②同探究的方法得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由探究知，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的周长为， 故答案为：； （3）解：①同理得，， ∴， ∴， 故答案为：； ②同理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（1）见解析；（2）新路比原路少；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】解：（1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3） ，，，，， ，， ， ． 11．（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 12．（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 13．①，，，0，；②，，，；③，0， 【分析】本题考查了实数的分类． 先将各数化简，然后根据实数的分类求解即可． 【详解】解：，，， ①有理数集合{，，，0，，…} ②无理数集合{，，π，，…} ③整数集合{，0， …}． 14．(1) 或 (2) (3) 或 (4) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解一元二次（三次）方程，解题的关键是通过等式变形将方程转化为平方或立方等于某数的形式，再利用平方根、立方根的定义求解． （1）先将方程两边乘2消去系数，得到平方形式，再开平方求解； （2）移项后得到立方形式，利用立方根定义求解； （3）移项后得到平方形式，开平方后求解； （4）先移项再乘3消去系数，得到立方形式，利用立方根定义求解． 【详解】（1）解： ， ． 当时，；当时，． 或． （2）解： ， ． ∴． （3）解： ， ． 当时，；当时，． 或． （4）解： ∴ 15．(1)16 (2)2 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键； （1）根据算术平方根可进行求解； （2）根据算术平方根、立方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c，然后代入求解即可； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得． ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， 9的平方根是， 平方根是． 19．， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20．(1)； (2)； (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 21．通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 23．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 24．(1) 9 (2) 2 【分析】本题考查分母有理化，完全平方公式，已知字母的值，求代数式的值． （1）通过分母有理化，对原式进行转化，计算即可； （2）通过分母有理化，可得，由完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $