第二编 专题1 第1讲 函数的图象与性质-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

大二轮专题复习冲刺方案　数学 　　　　　　第1讲　函数的图象与性质 「考情研析」1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．　2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现．　3.与抽象函数相关的函数性质问题是近几年高考命题的热点． (1)若f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性； ②当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性，当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性； ③当f(x)恒正或恒负时，f(x)与具有相反的单调性； ④当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)复合函数的单调性：同增异减． 复合函数f(g(x))有： 当f(x)与g(x)的增减性相同时，复合函数就是增函数(同增)； 当f(x)与g(x)的增减性相反时，复合函数就是减函数(异减)． (3)若奇函数f(x)在关于原点对称的区间D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. (4)偶函数f(x)对任意的x，都有f(x)＝f(|x|)． 考向1　函数的概念和表示方法 例1 (1)(2025·山西太原二调)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则函数y＝的定义域是(　　) A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[0，2] 答案：A 解析：因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x>－2，所以－2<x≤5，所以函数y＝的定义域是(－2，5]．故选A. (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤的解集是(　　) A．(－∞，－ln 2]∪(0，] B．(－∞，－ln 2) C．(0，] D．(－∞，－ln 2)∪(0，) 答案：A 解析：当x≤0时，由f(x)≤，得ex≤，两边取以e为底的对数，得x≤－ln 2；当x>0时，由f(x)≤，得ln x≤，解得0<x≤e＝.综上，x≤－ln 2或0<x≤.故选A. (3)设f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)满足对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，1] 解析：令h(x)＝f(x)－2x＝x2＋(a－2)x＋b.因为对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，所以f(x)的值域是h(x)的值域的子集，所以h(x)min≤f(x)min，即b－≤b－，解得a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]． 1．函数定义域问题的三种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 已知函数的解析式 定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可 抽象函数 根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解 实际问题或几何问题 除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义 2.解决函数值域问题的四种常用方法 公式法、分离常数法、图象法、换元法． 3．分段函数问题的三种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，若求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围这个大前提 求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 1．(2025·湖南长沙第一中学高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f(x＋1)的定义域和值域分别为(　　) A．[0，2]和[6，10] B．[－2，0]和[6，10] C．[0，2]和[5，9] D．[－2，0]和[5，9] 答案：D 解析：由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，可得x∈[－1，1]和f(x)∈[5，9]，令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，0]，又函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同，即f(x＋1)∈[5，9]．故选D. 2．已知函数f(x)＝则f(log29)＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为log29>log28＝3，所以f(log29)＝f(2log23)＝f(log23)，又log23<3，所以f(log23)＝3＋＝.故选B. 3．设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“☆函数”．给出下列四个函数：①y＝x＋3；②y＝x2－4x＋5；③y＝x3－5；④y＝|2x－x2|，则其中是“☆函数”的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：由题意，得“☆函数”f(x)的值域关于原点对称，因为y＝x＋3与y＝x3－5的值域都为R，所以这两个函数均为“☆函数”，而y＝x2－4x＋5的值域为[1，＋∞)，y＝|2x－x2|的值域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是“☆函数”．故选B. 考向2　函数的图象 例2 (1)函数f(x)＝(e为自然对数的底数)的图象大致为(　　) 答案：A 解析：f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除B，C；当x从右侧趋近于0时，e2x>1，所以e2x－1>0，ex>1，cos(2ex)>0，所以f(x)>0，故排除D.故选A. (2)若函数f(x)的图象与圆C：x2＋y2＝4恰有4个公共点，则f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝||x|－2| B．f(x)＝x2－2|x| C．f(x)＝|2x－2| D．f(x)＝|lg x2| 答案：D 解析：作出y＝||x|－2|，y＝x2－2|x|，y＝|2x－2|，y＝|lg x2|的图象，如图所示，由图可知，f(x)＝|lg x2|满足题意． (3)为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用某函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是(　　) A．f(x)＝x－sinx B．f(x)＝sinx－xcosx C．f(x)＝x2－ D．f(x)＝sinx＋x3 答案：B 解析：对于A，f′(x)＝1－cosx≥0，即f(x)在定义域上单调递增，不符合题意；对于B，f′(x)＝cosx－(cosx－xsinx)＝xsinx，在(－2π，－π)上，f′(x)<0，在(－π，π)上，f′(x)≥0，在(π，2π)上，f′(x)<0，所以f(x)在(－2π，－π)，(π，2π)上单调递减，在(－π，π)上单调递增，符合题意；对于C，由f(－x)＝(－x)2－＝x2－＝f(x)且定义域为{x|x≠0}，知f(x)为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，研究(0，＋∞)上的性质，f′(x)＝2x＋>0，故f(x)单调递增，不符合题意；对于D，由f(－x)＝sin(－x)＋(－x)3＝－sinx－x3＝－f(x)且定义域为R，知f(x)为奇函数，研究(0，＋∞)上的性质，f′(x)＝cosx＋3x2>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，不符合题意．故选B. 　对于非基本初等函数的图象的识别，常用间接法，排除错误的选项，筛选正确的选项．一般可以从以下几个方面入手： (1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势(有时可借助导数判断)． (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性，即奇函数的图象关于原点对称，且函数在对称的区间上单调性一致；偶函数的图象关于y轴对称，且函数在对称的区间上单调性相反，如例2(1)中，函数是奇函数，其图象关于原点对称． (4)从特殊点出发，排除不符合要求的选项． 1．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案：D 解析：由f(x)的解析式，有f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x)为偶函数，可排除A；由f(1)＝e－>f＝2及f(2)＝>f(1)＝e－，可排除B，C.故选D. 2．已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sinx，则图象为如图的函数可能是(　　) A．y＝f(x)＋g(x)－ B．y＝f(x)－g(x)－ C．y＝f(x)g(x) D．y＝ 答案：D 解析：对于A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，y＝f(x)g(x)＝sinx，则y′＝2xsinx＋cosx，当x＝时，y′＝×＋×>0，与函数图象不符，排除C.故选D. 3．已知函数f(x)＝则f(x)的图象上关于原点对称的点有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案：C 解析：作出f(x)的图象，再作出函数y＝(x≥0)关于原点对称的图象如图所示．因为函数y＝(x≥0)关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|(x<0)的图象有三个交点，所以f(x)的图象上关于原点对称的点有3对．故选C. 考向3　函数的性质 例3　(1)已知函数f(x)满足f＝－，且f＝1，则f＝(　　) A．－1011 B．－1011.5 C．0 D．2026 答案：B 解析：∵f＝－，∴f＝－＝－＝－1－，∴f(x＋π)＝－＝f(x)，∴π是f(x)的一个周期，又f＝1，∴f＝－，f(π)＝－2，∴f＋f＋f(π)＝－，∴f＝f＋675×＝－1011.5.故选B. (2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，若a＝f(1)，b＝f(ln 10)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b 答案：D 解析：当x1<x2<2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，即当x1<x2<2时，f(x2)>f(x1)，函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，又f(x＋2)为偶函数，即f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，a＝f(1)＝f(3)，因为e2<10<<e3，所以2＝ln e2<ln 10<ln e3＝3<3，所以f(ln 10)>f(3)>f(3)，即c<a<b.故选D. (3)已知b>0，函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________． 答案：－1　1 解析：函数f(x)的定义域为R，由f(x)为奇函数，则f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，所以f(x)＝＝2(2b－1)x－2－x，因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以2(2b－1)x－2－x＝－[2－(2b－1)x－2x]，所以[2(2b－1)x]2·2x－2(2b－1)x·(2x)2＝2(2b－1)x－2x，所以[2(2b－1)x·2x－1][2(2b－1)x－2x]＝0，所以2(2b－1)x·2x－1＝0或2(2b－1)x－2x＝0，所以2b－1＝1或2b－1＝－1，解得b＝1或b＝0(舍去)． (4)(2025·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax)在[2，4]上的最小值是1，则a＝________． 答案： 解析：若a＝0，则f(x)＝2log2x在[2，4]上单调递增，最小值为f(2)＝2log22＝2，不符合题意；若a<0，则f(x)的定义域为(－∞，2a)∪(0，＋∞)，且由复合函数的单调性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则最小值为f(2)＝log2(4－4a)＝1，解得a＝，不符合题意；若a>0，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2a，＋∞)，由题意可得[2，4]⊂(2a，＋∞)，则a<1，此时由复合函数的单调性可知f(x)在[2，4]上单调递增，则最小值为f(2)＝log2(4－4a)＝1，解得a＝，符合题意．综上所述，a＝. (5)(2025·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝________． 答案：－1 解析：由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝－g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1，由f(x)是R上的偶函数且函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1. (6)(2025·河南信阳二模)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若f(x)有最小值，则实数a的取值范围是________． 答案：∪ 解析：由于函数f(x)有最小值，则函数y＝(a－2)x＋2a＋1在(－∞，2]上不为增函数，可得a－2≤0.①当a＝2时，f(x)＝因为22<5，所以函数f(x)无最小值；②当a－2<0，即a<2时，函数y＝(a－2)x＋2a＋1在(－∞，2]上为减函数，若函数y＝2ax－1在(2，＋∞)上为增函数，则a>1，且有2(a－2)＋2a＋1≤2a2－1，即2a－3≤0，解得a≤，此时1<a≤.若函数y＝2ax－1在(2，＋∞)上为减函数，则0<a<1，且2ax－1>0，所以2(a－2)＋2a＋1≤0，即4a－3≤0，解得a≤，此时0<a≤.综上所述，实数a的取值范围是∪. 　函数的三个性质及应用 性质 应用 奇偶性 具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上 单调性 可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解 注意增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 1．设函数f(x)＝ax2－ax＋1(a>0，且a≠1)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．[2，＋∞) C．(0，1)∪[2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 答案：B 解析：当a>1时，需要g(x)＝x2－ax＋1在区间(0，1)上单调递减，则≥1，解得a≥2；当0<a<1时，需要g(x)＝x2－ax＋1在区间(0，1)上单调递增，则≤0，显然不满足要求．故选B. 2．(2025·湖南省长郡中学4月模拟)若函数f(x)＝ln |ex－1|＋mx为偶函数，则实数m＝(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案：D 解析：由函数f(x)＝ln |ex－1|＋mx为偶函数，可得f(－1)＝f(1)，即ln |e－1－1|－m＝ln |e－1|＋m，解得m＝－，则f(x)＝ln |ex－1|－x(x≠0)，f(－x)＝ln |e－x－1|＋x＝ln |ex－1|－x＋x＝ln |ex－1|－x＝f(x)，故f(x)＝ln |ex－1|－x为偶函数，符合题意．故选D. 3．(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 答案：A 解析：当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)，且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇔2x<3－x⇔x<1，所以原不等式的解集是(－∞，1)．故选A. 4．(2025·江苏南通一调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 答案：D 解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，所以f(x)图象的对称轴是直线x＝2，f(x)的周期是8，所以b＝f＝f，c＝f(－13)＝f(3)＝f(1)，因为f(x)在[－2，2]上单调递增，所以b＝f<c＝f(1)<a＝f.故选D. 5．(多选)(2025·河南郑州二模)已知对于任意非零实数x，函数f(x)均满足f(x)＝f，f(x)＝2－f，下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝1 B．f(2x)的图象关于点(0，1)中心对称 C．f(2x)的图象关于直线x＝1轴对称 D．f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10 答案：ABD 解析：对于A，由f(x)＝2－f，可得f(1)＝2－f(1)，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，由f(x)＝2－f，可得f(x)＋f＝2，即f(2x)＋f(2－x)＝2，所以f(2x)的图象关于点(0，1)中心对称，故B正确；对于C，由f(x)＝f，可得f(2x)＝f(21－x)，所以f(2x)的图象关于直线x＝轴对称，故C错误；对于D，由f(x)＝f，令x＝1，可得f(1)＝f(2)＝1，设g(x)＝f(2x)，则g(x)＝f(2x)＝f＝g(1－x)　①，又g(x)＝f(2x)＝2－f＝2－g(－x)　②，由①②可得g(1－x)＝2－g(－x)，所以g(1＋x)＝2－g(x)，所以g(x＋2)＝2－g(x＋1)＝2－[2－g(x)]＝g(x)，所以f(2x)＝f(2x＋2)，又f(1)＝f(2)＝1，所以f(2)＝f(22)＝f(23)＝…＝f(210)＝1，所以f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10，故D正确．故选ABD. 考向4　函数的零点与方程的根 例4　(1)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝|f(1－x)|－1的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：当1－x≤0，即x≥1时，g(x)＝|f(1－x)|－1＝|(1－x)2＋2(1－x)|－1＝|x2－4x＋3|－1，当1－x＞0，即x＜1时，g(x)＝|f(1－x)|－1＝|ln (1－x)|－1，所以g(x)＝当x≥1时，令g(x)＝|x2－4x＋3|－1＝0，即x2－4x＋3＝1或x2－4x＋3＝－1，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)或x＝2，此时函数g(x)有2个零点；当x＜1时，令g(x)＝|ln (1－x)|－1＝0，可得1－x＝e或1－x＝，所以x＝1－e或x＝1－，都满足x＜1，此时函数g(x)有2个零点．综上所述，函数g(x)的零点个数为4.故选C. (2)(2025·河北秦皇岛山海关中学一模)直线y＝2x－2与曲线y＝sinπx＋－1的交点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：由题意可得y＝sinπx＋－1＝sinπx＋，所以求直线y＝2x－2与曲线y＝sinπx＋－1的交点个数，等价于求sinπx＋＝2x－2的零点个数，等价于求sinπx＝2x－2－的零点个数，等价于求函数f(x)＝sinπx与函数h(x)＝2(x－1)－的图象的交点个数，易得函数f(x)＝sinπx是周期为2的函数，且当x＝1时，f(1)＝sinπ＝0，所以点(1，0)是函数f(x)＝sinπx的图象的一个对称中心，对于h(x)＝2(x－1)－，h(1＋x)＋h(1－x)＝2(1＋x－1)－＋2(1－x－1)－＝0，所以h(x)的图象关于点(1，0)对称，且y＝2(x－1)为增函数，y＝－为增函数，所以h(x)＝2(x－1)－在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增，所以可以作出f(x)和h(x)的图象如图，由图可得其有2个交点．故选A. (3)已知函数f(x)＝当x∈[0，8]时，函数F(x)＝f(x)－kx恰有六个零点，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：当0≤x≤1时，f(x)＝1－(1－x)＝x；当1<x≤2时，f(x)＝1－(x－1)＝2－x.当2<x≤4时，0<x－2≤2，可得f(x)＝当4<x≤6时，2<x－2≤4，可得f(x)＝当6<x≤8时，4<x－2≤6，可得f(x)＝画出函数f(x)在[0，8]上的图象如图所示，由图象可知kOA＝＝，kOB＝＝，函数F(x)＝f(x)－kx恰有六个零点，即函数y＝f(x)与函数y＝kx的图象有6个交点，从图象观察可知，y＝kx在直线OA与直线OB之间即可满足题意，此时<k<.故选B. 1．判断函数零点个数的方法 直接法 直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数 定理法 利用函数零点存在定理，但利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 数形结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的图象的交点问题 2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 1．若f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝3|sinπx|－f(x)在区间[－1，5]上的所有零点的和是(　　) A．20 B．18 C．16 D．14 答案：A 解析：因为f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，即f(－x)＝f(4－x)，f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，由f(x)＝f(4－x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，令g(x)＝3|sinπx|－f(x)＝0，则f(x)＝3|sinπx|，作出y＝f(x)与y＝3|sinπx|在区间[－1，5]上的图象，如图所示，由图可得，两函数的图象在[－1，5]上共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x＝2对称，所以g(x)在区间[－1，5]上的所有零点的和是20.故选A. 2．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋6，若方程f(－x)＋f(x)＝0有解，则实数m的取值范围是________． 答案：[2＋4，＋∞) 解析：∵f(x)＝9x－m·3x＋m＋6，∴f(－x)＋f(x)＝0，即9x－m·3x＋m＋6＋9－x－m·3－x＋m＋6＝0，可得(3x＋3－x)2－m(3x＋3－x)＋2m＋10＝0，令t＝3x＋3－x，则t≥2，可得t2－mt＋2m＋10＝0，即m(t－2)＝t2＋10有解，显然t＝2无意义，故t>2，m＝＝＝t－2＋＋4≥2＋4，当且仅当t＝＋2时，等号成立． 3．(2025·河北石家庄一模)已知方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：①当a＝0时，方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0化为4x2－x＋1＝0，此时无解，舍去；②当a<0时，考虑方程正实数根的情况，只需研究当x>0时，方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0的解的情况，即此时方程化为4x2－2ax＋1＋ax2－x＝0，即(4＋a)x2－(2a＋1)x＋1＝0，若此时方程有两个不相等的正实数根，则需⇒⇒a∈∅；③当0<a≤2时，因为4x2－2ax＋1＝4＋1－≥0，所以方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0化为(4＋a)x2－(2a＋1)x＋1＝0，若此时方程有两个不相等的正实数根，则需⇒⇒<a≤2；④当a>2时，函数y＝4x2－2ax＋1与x轴有两个零点x1＝，x2＝，函数y＝－ax2＋x与x轴有两个零点x3＝0，x4＝，因为a>2，所以0<<<<，即0<x1<x4< <x2，作出函数y＝|4x2－2ax＋1|与函数y＝－ax2＋x的图象，由图可知，两图象有两个不同的交点，且交点横坐标大于零，从而方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0有两个不相等的正实数根．综上所述，实数a的取值范围是. 考向5　函数的实际应用 例5　(1)(2025·广东广州二模)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10－8～10－6 W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是(　　) A．0～20 dB B．20～40 dB C．40～60 dB D．60～80 dB 答案：C 解析：依题意可得10－8≤I≤10－6，所以104≤≤106，所以4≤lg ≤6，所以40≤10lg ≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB.故选C. (2)(多选)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．t＝12.43log2 B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 答案：CD 解析：由题意，得N＝N0·2，故有＝2，左右同时取对数，得log2＝，得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·2＝2－2·N0＝N0，故B错误；当t＝62.15时，N＝N0·2＝2－5·N0＝N0，故C正确；由题意，得0.4N0＝N0·2，化简得x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43×(log22－log25)＝－12.43×(1－log25)＝－12.43×＝－12.43×，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43×＝16.43>16，故D正确．故选CD. 　应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键 (1)一般程序：→→→. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A．11分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟 答案：B 解析：由题意得，当t＝0时，y＝0.2，将其代入解析式得0.2＝0.05＋λ，解得λ＝0.15，故解析式为y＝0.05＋0.15e，令0.05＋0.15e≤0.1，解得e≤，化简得t≥11ln 3，结合ln 3≈1.1，可得t≥12.1，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟．故选B. 真题押题 1．(2025·新课标Ⅰ卷，5)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：由题意，知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－.故选A. 2．(2025·新课标Ⅰ卷，8)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 答案：B 解析：解法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，则x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5.令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，排除A；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，排除C；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，排除D.故选B. 解法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，则x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，作出函数t＝2s－2，t＝3s－3，t＝5s－5的图象，则x，y，z分别是函数t＝2s－2，t＝3s－3，t＝5s－5的图象与直线s＝m的交点的纵坐标，如图所示，随着m的变化可能有x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B. 3．(2024·新课标Ⅰ卷，6)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)在R上单调递增，且当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，所以解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0]．故选B. 4．(2024·新课标Ⅰ卷，8)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1000 C．f(10)<1000 D．f(20)<10000 答案：B 解析：因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，B正确；且无证据表明A，C，D一定正确．故选B. 5．(2024·新课标Ⅱ卷，6)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 答案：D 解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(x)的定义域关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D. 6．(2024·新课标Ⅱ卷，8)设函数f(x)＝(x＋a)·ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B. C． D．1 答案：C 解析：解法一：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b.若－a≤－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－b<－a<1－b，当x∈(－a，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－a＝1－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)<0，此时f(x)>0，当x∈[1－b，＋∞)时，可知x＋a≥0，ln (x＋b)≥0，此时f(x)≥0，可知－a＝1－b符合题意；若－a>1－b，当x∈(1－b，－a)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)>0，此时f(x)<0，不符合题意．综上所述，－a＝1－b，即b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C. 解法二：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b，则当x∈(－b，1－b)时，ln (x＋b)<0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈(1－b，＋∞)时，ln (x＋b)>0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C. 已知函数f(x)＝x2＋ln (ex＋e－x)－2，则不等式f(x＋2)≤f(2x－3)的解集为(　　) A． B．(－∞，－5]∪ C． D．∪[5，＋∞) 答案：D 解析：易知函数f(x)的定义域为R，又f(－x)＝(－x)2＋ln (e－x＋ex)－2＝x2＋ln (ex＋e－x)－2＝f(x)，故f(x)为偶函数，当x≥0时，ex≥1，所以y＝ex＋e－x＝ex＋，令t＝ex，t≥1，结合对勾函数y＝t＋在[1，＋∞)上单调递增，y＝ex在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，y＝ex＋e－x在[0，＋∞)上单调递增，又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故y＝ln (ex＋e－x)在[0，＋∞)上单调递增，易知f(x)＝x2＋ln (ex＋e－x)－2在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以由f(x＋2)≤f(2x－3)可得|x＋2|≤|2x－3|，两边平方并整理，得3x2－16x＋5≥0，解得x≥5或x≤，所以不等式f(x＋2)≤f(2x－3)的解集为∪[5，＋∞)．故选D. 专题作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 函数的定义域 求函数值 函数图象的识别 比较对数式的大小 函数的实际应用 根据分段函数的最值求参数的取值范围 函数的奇偶性、周期性 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★★ ★ ★★ ★★★ ★ ★★ ★★★ 对点 已知函数的零点个数求参数的取值范围 函数的定义域、值域、奇偶性、单调性的综合应用 函数的单调性、对称性的综合应用 抽象函数图象与性质的综合应用 指数幂的运算、对数的运算 根据函数的性质解不等式 已知分段函数的最值求参数 一、单选题 1．函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为(　　) A. B.∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 答案：B 解析：由已知得解得x＞且x≠1，所以函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)． 2．(2025·河北石家庄一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex，那么f(ln 3)的值为(　　) A． B．－3 C．3 D．－ 答案：D 解析：由题意知，ln 3>0，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 3)＝－f＝－eln ＝－.故选D. 3．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝cosx·ln B．f(x)＝cosx·ln C．f(x)＝sinx·ln D．f(x)＝sinx·ln 答案：C 解析：由图象可知，y＝f(x)为偶函数．对于A，f(－x)＝cos(－x)·ln ＝cosx·ln ＝cosx·ln ＝－cosx·ln ＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除A；对于B，f(－x)＝cos(－x)·ln ＝cosx·ln ＝cosx·ln ＝－cosx·ln ＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除B；y＝ln 和y＝ln 的定义域均为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x从1的右侧趋近1时，ln >ln 1>0，sinx>0，即f(x)＝sinx·ln >0，结合图象排除D.故选C. 4．(2025·山西太原一模)已知a＝，b＝log23，c＝log35，则下列结论正确的是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 答案：B 解析：因为a＝＝log22＝log22<log23＝b，a＝＝log33＝log3>log35＝c，所以b>a>c.故选B. 5．(2025·重庆一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或等于20 mg且小于80 mg认定为饮酒驾车，大于或等于80 mg认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________小时后才能驾驶汽车．(结果取整数．参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：设他至少经过n小时后才能驾驶汽车，则有60×(1－30%)n<20，即0.7n<，两边同时取对数，得lg 0.7n<lg ，即nlg 0.7<lg ，因为lg 0.7<0，所以n>＝＝≈＝3.2，所以n≥4，即他至少经过4小时后才能驾驶汽车．故选D. 6．(2025·湖南长沙新高考适应性考试)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B． C．(0，1] D． 答案：D 解析：当x≥a时，f(x)＝4x单调递增，所以当x＝a时，f(x)有最小值4a；当0<x<a时，f(x)＝－2log2x单调递减，所以f(x)>－2log2a，无最小值，因为f(x)在(0，＋∞)上存在最小值，所以－2log2a≥4a，令g(x)＝4x＋2log2x，因为y＝4x和y＝2log2x在(0，＋∞)上均单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为g＝0，所以当0<x≤时，g(x)≤0，即4x＋2log2x≤0，所以－2log2a≥4a的解集为.故选D. 7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x，则f(log236)＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为f(x)为奇函数且满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f((x＋1)＋1)＝f(1－(x＋1))，即f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．因为5＝log232<log236<log264＝6，所以0<6－log236<1，所以f(log236)＝f(log236－4)＝－f(4－log236)＝f(4－log236＋2)＝f(6－log236)＝26－log236＝＝＝.故选B. 8．设a∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．(0，2) C．[－1，0) D．(－∞，－2) 答案：D 解析：设t＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝2|x－1|－1，此时t≥0，由f(t)＝0，得t＝1，即f(x)＝2|x－1|－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f(f(x))在[0，＋∞)上有2个零点．当x<0时，f(x)＝－x2＋ax，f(x)图象的对称轴方程为x＝.若a≥0，函数y＝f(x)的大致图象如图1所示， 此时f(x)＝－x2＋ax<0，即t<0，则f(t)<0，所以f(t)＝0无解，则t＝f(x)无零点，y＝f(f(x))无零点．综上，y＝f(f(x))只有2个零点，不符合题意；若a<0，此时f(x)的大致图象如图2所示，令－t2＋at＝0，解得t＝a<0(t＝0舍去)，显然f(x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负数解，所以要使y＝f(f(x))恰有5个零点，则需f>1，即－＋>1，解得a<－2，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)．故选D. 二、多选题 9．(2025·辽宁辽阳二模)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为[－1，1] C．f(x)是奇函数 D．f(x)在上单调递减 答案：BCD 解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为[－1，1]，A错误，B正确；f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，f(x)是奇函数，C正确；当x∈时，∈，函数y＝在上单调递减，函数y＝sinx在上单调递增，所以f(x)在上单调递减，D正确．故选BCD. 10．(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)＝，则(　　) A．当a>0时，f(x)是增函数 B．当a<0时，f(x)的值域为(2，＋∞) C．当a＝1时，曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称 D．当a＝4时，∀x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)<2，则－2<k<2 答案：ACD 解析：对于A，因为f(x)＝＝2＋的定义域为R，当a>0时，y＝2x＋a在定义域R上单调递增，且y＝2x＋a>a>0，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在定义域R上单调递增，故A正确；对于B，当a＝－2时，f(0)＝－2，又－2∉(2，＋∞)，故B错误；对于C，当a＝1时，f(x)＝，则f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称，故C正确；对于D，当a＝4时，f(x)＝＝的图象是由y＝的图象向右平移2个单位长度得到，所以曲线y＝f(x)的对称中心为(2，1)，且f(x)在定义域R上单调递增，所以∀x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)<2，可得∀x∈R，2－f(4－kx－1)＋f(2－x2)<2，即∀x∈R，f(2－x2)<f(4－kx－1)，从而得到∀x∈R，2－x2<3－kx，即x2－kx＋1>0恒成立，所以Δ＝k2－4<0，解得－2<k<2，故D正确．故选ACD. 11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x－1)＝f(3－2x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为6 B．函数f(x)在[2028，2029]上单调递增 C．f(k)＝1 D．方程f(x)＝log5|x|有4个根 答案：BC 解析：用2x替换x，则f(x－1)＝f(3－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4，故A错误；当x∈[0，1]时，f(x)＝x，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，因为函数f(x)的最小正周期为4，所以函数f(x)在[2028，2029]上的单调性与在[0，1]上的单调性相同，故B正确；因为f(0)＝0，f(1)＝1，令x＝0，则f(2)＝－f(0)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)＝－1，又f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，f(k)＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝1，故C正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝x，结合对称性与周期性作出函数f(x)的图象，然后作出y＝log5|x|的图象，如图，由图可知两函数图象共有5个交点，可得方程f(x)＝log5|x|有5个根，故D错误．故选BC. 三、填空题 12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． 答案：e 解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 13．已知函数f(x)＝lg (|x|－1)＋2x＋2－x，则满足不等式f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：由|x|－1>0，得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f(－x)＝lg (|x|－1)＋2－x＋2x＝f(x)，故f(x)为偶函数，而y＝lg (|x|－1)，y＝2x＋2－x在(1，＋∞)上均单调递增，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f(x＋1)<f(2x)可化为解得x>1或x<－2.所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 14．(2025·安徽合肥二模)已知函数f(x)＝的最小值为－1，则a＝________． 答案：±2 解析：①如图1，若a≤1，则当x>1时，f(x)＝x－2a＋1，且单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，则最小值为f(a)＝－a2＋3，若f(x)存在最小值－1，则有－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，得a＝－2.②如图2，若a>1，则当1<x<a时，f(x)＝－x＋1，当x≥a时，f(x)＝x－2a＋1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且单调递减，f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a，若最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，无解；若最小值为f(a)，则1－a＝－1，且4－2a>1－a，得a＝2.综上所述，a＝－2或a＝2. 图1 图2 28 学科网（北京）股份有限公司 $