第二编 专题1 第1讲 函数的图象与性质-【金版教程】2026年高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word

　　　　　　第1讲　函数的图象与性质

「考情研析」1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．　2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现．　3.与抽象函数相关的函数性质问题是近几年高考命题的热点．

(1)若f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性；

②当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性，当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性；

③当f(x)恒正或恒负时，f(x)与具有相反的单调性；

④当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(2)复合函数的单调性：同增异减．

复合函数f(g(x))有：

当f(x)与g(x)的增减性相同时，复合函数就是增函数(同增)；

当f(x)与g(x)的增减性相反时，复合函数就是减函数(异减)．

(3)若奇函数f(x)在关于原点对称的区间D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

(4)偶函数f(x)对任意的x，都有f(x)＝f(|x|)．

考向1　函数的概念和表示方法

例1  (1)(2025·山西太原二调)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则函数y＝的定义域是(　　)

A．(－2，5]   B．(－2，3]

C．[－1，3]   D．[0，2]

答案：A

解析：因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x>－2，所以－2<x≤5，所以函数y＝的定义域是(－2，5]．故选A.

(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤的解集是(　　)

A．(－∞，－ln 2]∪(0，]

B．(－∞，－ln 2)

C．(0，]

D．(－∞，－ln 2)∪(0，)

答案：A

解析：当x≤0时，由f(x)≤，得ex≤，两边取以e为底的对数，得x≤－ln 2；当x>0时，由f(x)≤，得ln x≤，解得0<x≤e＝.综上，x≤－ln 2或0<x≤.故选A.

(3)设f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)满足对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，则实数a的取值范围是________．

答案：(－∞，1]

解析：令h(x)＝f(x)－2x＝x2＋(a－2)x＋b.因为对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，所以f(x)的值域是h(x)的值域的子集，所以h(x)min≤f(x)min，即b－≤b－，解得a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]．

1．函数定义域问题的三种常见类型及解题策略

2.解决函数值域问题的四种常用方法

公式法、分离常数法、图象法、换元法．

3．分段函数问题的三种常见类型及解题策略

1．(2025·湖南长沙第一中学高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，