2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第4—7章》期末复习常考热点填空题专题训练

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第4—7章》 期末复习常考热点填空题专题训练（附答案） 一、一次函数 1．已知y与成正比例，当时；当时， ． 2．一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． 3．将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 4．兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 5．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为 ． 0 1 2 8 6．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 7．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ． 9．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点D为线段的中点，P是线段上一动点，连接、，当的值最小时，点P的坐标为 ． 二、二元一次方程组 10．若x、y满足方程组，则的值等于 ． 11．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 12．如果方程组无解，那么直线不经过第 象限． 13．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 14．已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 15．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 16．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形（不重叠、无空隙），比的长大1，每个小长方形的周长均为14，则图中阴影部分的面积为 ． 17．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 18．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了 杯． 三、数据的分析 19．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 20．下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为 ． 项目 跑步 花样跳绳 跳绳 得分 90 80 70 21．已知样本，，，，的平均数为，方差是，那么样本，，，，的平均数和方差分别是 ． 22．某校组织了“古韵今传”手抄报创意比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为 分． 23．某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则 ．（填“”“”或“”） 四、证明 24．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是 命题． 25．若两个角的两边分别垂直，且其中一个角的度数比另一个角的倍少，则这两个角的度数分别是 ． 26．如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 27．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的度数为 ． 28．如图，，，用和表示， ． 29．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 30．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 《北师大版4-7期末常考热点填空》参考答案 1． 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等知识﹒根据题意设，根据当时求出，把代入即可求解﹒ 【详解】解：∵y与成正比例， ∴设， 当时，， ∴， 解得， ∴函数关系式为， 当时， ， 故答案为：﹒ 2． 【分析】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标求法，解题关键是利用坐标轴上点的坐标特征计算． 求一次函数图象与坐标轴的交点坐标：与轴交点，令，解方程求；与轴交点，令，直接求． 【详解】解：对于一次函数 ， 令 ，得 ，故与y轴交点坐标为 ； 令 ，得 ，解得 ，即 ，故与x轴交点坐标为 ． 故答案为：，． 3． 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 4． 【分析】本题考查函数解析式，正确根据分段列式是解题的关键，根据分档计费标准，当停车时长在第二档（）时，停车费包括第一档的固定费用和第二档的超时费用，第一档3小时费用为6元，第二档对超过3小时的部分按元/小时计费． 【详解】解：当停车时长满足时， 第一档费用为（元），第二档费用为元， 因此总停车费 ， 故答案为：． 5．7 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式，再令，列方程求解即可． 【详解】解：秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 故答案为：7． 6． 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 8．4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 9． 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与坐标轴的交点问题，先求出点的坐标，进而求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当点在线段上时，的值最小， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 当，解得； ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二元一次方程组的运算，熟悉掌握加减消元法是解题的关键． 通过加减消元法运算求解即可． 【详解】解：， 用方程可得：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 【详解】设 ， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 12．一 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解． 方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可． 【详解】解：由方程组无解，可得，解得， 将代入可得， 则直线不经过第一象限， 故答案为：一． 13．2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 16．30 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据小长方形的周长为14可列方程，解方程组可以求出小长方形的长为6，宽为1，根据小长方形在大长方形放置的位置可以求出，，根据长方形的面积公式可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意可得：， 解方程组可得：， ∴，， ∴长方形的面积是， 一个小长方形的面积是， ∴． 即图中阴影部分的面积是30． 故答案为：30． 17． 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 利用总价单价数量列出二元一次方程，根据、、均为正整数，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元． 由题意，得， ，得, 故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需元． 故答案为：． （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 由题意，得， 化简，得， ∴， 又∵、、均为正整数， ∴，， ∴芝士杨梅买了杯， 故答案为：． 19． 9 8 【分析】本题主要考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数（将数据排序后中间位置的数）和众数（数据中出现次数最多的数）的定义是解题的关键．根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9． 故答案为：9；8． 20．83分 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各项目得分乘以其所占百分比，再求和． 【详解】解：小红的最终得分为（分）． 故答案为：83分． 21．， 【分析】本题考查平均数和方差的性质，根据数据变化快速判断两值的变化形式是解题的关键． 当每个数据点线性变换时，新平均数为原平均数乘以系数加上常数，新方差为系数平方乘以原方差． 【详解】设原样本平均数为 ，方差为 ， 新样本数据为 ， 则新平均数 ， 新方差 ， 故答案为 11，18． 22． 【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键．根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分． 所以该班的最终得分为分． 故答案为：． 23． 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．根据图象判断即可． 【详解】解：由图像可知，甲的波动程度比乙小， ∴． 故答案为：． 24． 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 25．，或， 【分析】本题考查了垂线，熟记两边分别垂直的两个角相等或互补是解本题的关键． 设另一个角为，则这个角是，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图1，与两边分别垂直，， 如图2，与两边分别垂直，， 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为，则这个角是， 两个角的两边分别垂直， 或， 解得或， 或， 这两个角是，或，． 故答案为：，或，． 26． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 27．/30度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则有，，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28． 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 30． 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出后，根据折叠性质得，，由等边对等角推出，可证，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $