7.1.2 一元线性回归方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第七章 统计案例 7.1.2 一元线性回归方程 同学们，一到夏天，最离不开的家电就是“空调”！空调能帮我们对抗炎热，但随之而来的还有一项 “夏日支出”—— 电费. 最近老师收集了某家庭 7、8 月份每周的 “周平均气温” 和 “周电费” 数据，大家一起看看这组生活数据里藏着什么规律： 周数 第1周 第2周 第3周 第4周 第1周 第2周 第3周 第4周 气温/℃ 24 26 27 30 32 35 38 40 电费/元 21 25 30 35 42 45 48 50 气温越高，空调用得越久，电费也越贵！ 思考：根据上述数据，我们能预测九月份某周气温下的电费情况吗？ 对于给定的两个变量 X 和 Y（如气温和电费），假设有 n 对观测值 (x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，...，(xn，yn). 我们可以拟合的出一条直线 Y = a + bX，直线上的任意一点，要尽可能的接近所有观测点，则样本点与这条直线的距离可表示为： 使得 a，b 的取值能使上式达到最小的方法称为最小二乘法. 最小二乘法 先研究简单的情形，考虑 3 对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，即：求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小， [y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+[y3-(a+bx3)]2 达到最小. 下面用向量的方法解决这个问题（用向量的语言描述问题） “求a，b的值，使得偏差yi-(a+bxi)(i=1，2，3)的平方和最小” 等价于“求a，b的值，使得向量(y1-(a+bx1)，y2-(a+bx2)，y3-(a+bx3))的长度最小” (y1-(a+bx1) ， y2-(a+bx2) ， y3-(a+bx3)) =(y1 ， y2 ， y3)-(a+bx1 ， a+bx2 ， a+bx3) =(y1 ， y2 ， y3)-[(a ， a ， a)+(bx1 ， bx2 ， bx3)] =(y1 ， y2 ， y3)-[a(1 ， 1 ， 1)+b(x1 ， x2 ， x3)] 其中， 均为已知向量. 问题转化为：求a，b的值，使 的长度最小. 用向量的方法思考问题. 如图， 和 成确定一个平面，记作α. 由平面向量基本定理可知，对任意的a，b， 都在平面α内； 反之，平面α内的任意向量都可以用 来表示. 当a，b变化时， 的端点M是平面α内的一个动点. 如图， ，其中，点Y是平面 α 外的一个定点. 要使 最小，即 最小，由点到平面距离的定义， 当 ⊥α时，线段MY的长度最短， 即 与平面α垂直时， 的长度最小. 根据线面垂直的判定定理，要使 与平面α垂直，只需其与平面α内的两个不共线的向量 和 均垂直. 用向量的坐标表示，即 化简，得 记 则 用向量的方法解决问题. 求 最小时的a，b的值，就是求 与 和 的数量积分别为0时的a，b的值，即 其中， 如果把它的解记作 得到： ① ② ①，② 两式推广到 n 对数据 (x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn) 仍然成立， 即： 达到最小的 a，b 取值为 直线方程 称作 Y 关于 X 的线性回归方程，相应的直线称作 Y关于 X 的回归直线 (如图)， 是这个线性回归方程的系数. 根据表中气温、电费的数据，利用上述方法得到气温和电费满足的线性回归方程为 Y = 1.83X - 20.79. 由此可知，气温为 30 ℃ 时，电费大约为 34.11 元；同理，假设 9 月份第1周的平均气温为 36 ℃，则本周电费大约为 45.09 元. 注意：气温和电费之间并没有函数关系，得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述. 对给定的一个周平均温度，人们可以用这个方程来估计这周的平均电费；但模型需要根据数据实际数据进行一定修正. 周数 第1周 第2周 第3周 第4周 第1周 第2周 第3周 第4周 气温/℃ 24 26 27 30 32 35 38 40 电费/元 21 25 30 35 42 45 48 50 例1：某小卖部6天卖出热茶的杯数Y(单位：杯)与当天气温X(单位：℃)之间存在近似的线性关系. 数据如表. (1)试用最小二乘法求出 Y 关于 X 的线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯？ 气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数/杯 20 24 34 38 50 64 (1)画出散点图中可以看出， 表中的两个变量有近似的线性关系. 计算求得 列表： 由 的表达式可得 ∴Y对X的线性回归方程为Y=57.557-1.648X. (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯？ 气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数/杯 20 24 34 38 50 64 (2) 由最小二乘法得出的线性回归方程可知，当某天的气温是-3℃时，卖出热茶的杯数估计为57.557-1.648×(-3)=62.501≈63. X~B(n， ) 求线性回归方程的一般步骤： ① 收集成对数据，设为 (xi，yi) (i = 1，2，…，n)； ② 作出散点图，确定 x，y 具有线性关系； ③ 把数据制成含 xi，yi，xi2，yi2，xi yi，合计的表格. ④ 把数据代入 的表达式计算即可求得. 根据今天所学，回答下列问题： 1. 的表达式是什么？ 2. 求线性回归方程的一般步骤是什么？ $