江苏省宿迁市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·宿迁） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　） A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上 C．点Q在⊙P内 D．不能确定 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3 D．某次抽奖活动中奖的概率为，说明每买100张奖券，一定有一次中奖 5．在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且，点A的坐标为．设的面积为S．S与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（　　） A． B． C． D． 7．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，且当时，y随x的增大而增大．若点、为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 10．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 11．如果一组数据，，，的方差是7，那么一组新数据，，，的方差是 ． 12．如图，是的外接圆，直径，，则的长为 ． 13．已知关于x的一元二次方程有一个根为2，则c的值为 ． 14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.则△ABC的内切圆半径r＝ ． 15．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值小于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 ． 16．已知实数m、n，使得关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的最小值为 ． 17．如图，点D在等边三角形的边所在直线上运动，交直线于点 F，点E在直线的上方，，且连接．若为等腰三角形，则点 F到直线的距离为 ． 18．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解方程： (1) (2) 20．关于的方程的一个根是1，求方程的另一个根及的值． 21．有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为4和9 (1)请写出其中一个三角形的第三边长 ； (2)设组中最多有n个三角形，求n的值； (3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率． 22．为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图． (1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分； (2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改； (3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？ 23．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 24．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 25．已知△ABC内接于，，连接AO并延长，交于点D，交于点E． (1)如图①，连接CD，若∠BAC=75°，求∠ADC，∠BAD的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求∠F的大小． 26．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴以及与轴的交点坐标． (2)当时，的最大值与最小值的差为32，求该二次函数的表达式． (3)若，直线经过抛物线的顶点，并与该抛物线的另一交点为点，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，交点坐标为 (2)或． (3) 27．如图1，内接于，点为劣弧上一点，满足，过点作的垂线，垂足为点，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的值； (3)求证：； (4)如图3，若，，用含有的代数式表示． 28．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．    (1)在上面规定下，抛物线的顶点为__________．伴随直线为__________；抛物线与其伴随直线的交点坐标为__________和__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点（点A在点的右侧）与轴交于点． ①若，求的值； ②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值3时，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·宿迁） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据形如的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 是正比例函数，故该选项正确，符合题意；     B. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　） A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上 C．点Q在⊙P内 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求出QP的长，再与5相比较即可． 【详解】解：∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6）， ∴QP＝＝＞5， ∴点Q与⊙P的位置关系是：点Q在圆⊙P外． 故选：A． 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 故选：B． 4．下列说法中正确的是（    ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3 D．某次抽奖活动中奖的概率为，说明每买100张奖券，一定有一次中奖 【答案】B 【分析】分别根据随机事件，抽样调查，众数和概率进行逐一分析即可． 【详解】解：A、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，原说法错误； B、想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查，说法正确； C、数据1，1，2，2，3的众数是1、2，原说法错误； D、概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率为并不能说买100张该种彩票就一定能中奖，原说法错误； 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且，点A的坐标为．设的面积为S．S与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出OA和PB的长，建立关于的三角形面积的表达式，即为一次函数表达式. 【详解】如选图所示： 由得， 即点在的函数图象上，且在第一象限， 过点P做轴，垂足为B 则 ∵点在第一象限内 ∴ ∴ ∴ 故选B. 6．把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 7．在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，利用前年投入建设资金今年投入建设资金列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8．已知二次函数，且当时，y随x的增大而增大．若点、为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据当时，y随x的增大而增大得出是解答本题的关键． 由条件当时，随增大而增大，结合对称轴，得出，抛物线开口向下．比较点和点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越近函数值越大，由得 ，解此不等式即得的范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线 ． ∵当 时，随的增大而增大，且 ， ∴在对称轴左侧函数递增，故，抛物线开口向下． ∵点、 在抛物线上，且 ，开口向下， ∴点比点离对称轴更近，即， ∴． 当 时， 恒成立； 当 时，，解得 ； 当 时，，即 ，不成立． 综上，． 故选 B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 【答案】10.6，10.6，10.6 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，10.8， ∴众数是10.6； 中位数是； 平均数是． 故答案为：10.6，10.6，10.6． 10．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 【答案】正 【详解】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数. 故答案为正. 11．如果一组数据，，，的方差是7，那么一组新数据，，，的方差是 ． 【答案】28 【分析】设已知数据的平均数为，根据数据的方差列出关系式，进而求出新数据的平均数，得出方差即可． 【详解】解：∵一组数据，，，的方差是7，平均数为， ∴， ∵，，，的平均数为， ∴ ， 故答案为：28． 12．如图，是的外接圆，直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理，三角形的内角和定理，连接，由同弧所对的圆周角相等得出，又由于，得到，求出，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵直径， ∴半径 ∴． 故答案为：． 13．已知关于x的一元二次方程有一个根为2，则c的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：16． 14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.则△ABC的内切圆半径r＝ ． 【答案】1 【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长． 【详解】如图， 在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，AB=5， 根据勾股定理BC==4， 四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°， ∴四边形OECF是正方形， 由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF， ∴CE=CF=（AC+BC-AB）， 即：r=（3+4-5）=1． 故答案为1 15．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值小于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出- =4，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0， 故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， ∴16a+4b+c=0， 故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵若m＞n＞0， ∴1+m＞1+n， ∴x=1+m时的函数值小于x=1+n时的函数值， ∵横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n， ∴x=1+n时的函数值等于x=1-n时的函数值， ∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值， 故③正确； ∵抛物线的对称轴为- =1， ∴b=-2a， ∴抛物线为y=ax2-2ax+c， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0）， ∴4a+4a+c=0，即8a+c=0， ∴c=-8a， ∴=4， ∵点（-2，0）的对称点是（4，0）， ∴点（，0）一定在此抛物线上， 故④正确. 故答案为：②③④． 16．已知实数m、n，使得关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程要根的判别式以及二次函数的性质．根据根的判别式求得，把整理得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为2， 故答案为：2． 17．如图，点D在等边三角形的边所在直线上运动，交直线于点 F，点E在直线的上方，，且连接．若为等腰三角形，则点 F到直线的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算等知识，过点F作于点G，得出，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】解：过点F作于点G，如图（1） ∵， ∴． 若是等腰三角形，则可分三种情况讨论． 当时，如图(2)， ∴， 当时， 如图(3)， 此时， ∵， ∴， 又， ∴， 在等腰三角形中， ∴． ∴， 当时，如图(4)， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F是的中点， 又，， ∴是的中位线， ∴． 综上，点F到直线的距离为或 ． 18．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是 ． 【答案】/0.125 【分析】根据正方形ABCD的边长是1，M、N、E、F、P各点均是各边的中线，可以利用三角形的中位线定理求出边长，再证明四边形BMPE是平行四边形即可求出该四边形的面积． 【详解】如图，过点M作MG⊥BC于点G ∵E、F分别为BC、CD的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝1， ∴BD＝， ∵AP⊥EF， ∴AP⊥BD， ∴BO＝OD， 又∵点P在AC上， ∴PE＝EF， ∵M为BO的中点， ∴PE＝BM＝BD＝， ∴四边形BMPE为平行四边形 ∴MG＝BM＝， ∵E为BC的中点， ∴BE＝BC＝， ∴S四边形BMPE＝BE·MG＝， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：， （2）解： ∴ ∴ 即 ∴ 解得：， 20．关于的方程的一个根是1，求方程的另一个根及的值． 【答案】方程的另一根是， 【分析】根据根与系数的关系即可求出另外一个根和的值． 【详解】解：， 设另外一个根为，则：，解得：， ∴，解得：， ∴方程的另一根是，． 21．有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为4和9 (1)请写出其中一个三角形的第三边长 ； (2)设组中最多有n个三角形，求n的值； (3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率． 【答案】(1) (2)的值为； (3)该三角形周长为奇数的概率是． 【分析】本题考查三角形三边的关系，概率的计算． （1）设三角形的第三边为，根据三角形的三边关系即可求解； （2）求出的所有整数值，即可得的值； （3）先求出该三角形周长为奇数的所有情况，再除以总个数即可． 【详解】（1）解：设三角形的第三边为， ∵每个三角形有两条边的长分别为和， ∴， ∴， ∴其中一个三角形的第三边的长可以为（答案不唯一）． 故答案为：． （2）解： ∵，它们的边长均为整数， ∴，，，，，，， ∴组中最多有个三角形， ∴． ∴的值为． （3）解：∵，为奇数， ∴当第三边长为，，，时，该三角形周长为奇数， ∴该三角形周长为奇数的概率是． 22．为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图． (1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分； (2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改； (3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？ 【答案】(1)4，3.5 (2)学校食堂需要整改 (3)估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有300人 【分析】本题主要考查众数、中位数和加权平均数及样本估计总体思想，解题的关键是掌握众数、中位数和加权平均数的定义． （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据加权平均数求解即可； （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）由条形统计图可知，4分的最多，所以众数是4（分）， 从低到高排列后，第20个和21个数据分别为3分和4分，所以中位数是（分）； 故答案为：4，3.5； （2）学生所评分数的平均数为（分）， ， 学校食堂需要整改； （3）（人）， 答：估计评分在4分及以上（含4分）的有300人． 23．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣ 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 24．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)每台空调应降价元 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设每台空调应降价元，根据“如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台，获利30000元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，求出函数表达式为，再结合题意求出，，根据一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台空调应降价元， 由题意得：， 解得：，， ∵秉承扩大销量的原则， ∴， ∴每台空调应降价元； （2）解：设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台， 则， 由题意得：，， 解得：，， 当时，，函数随着的增大而增大，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，，函数随着的增大而减小，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台． 综上所述：当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大． 25．已知△ABC内接于，，连接AO并延长，交于点D，交于点E． (1)如图①，连接CD，若∠BAC=75°，求∠ADC，∠BAD的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求∠F的大小． 【答案】(1)∠ADC=45°，∠=30° (2)∠=22.5° 【分析】（1）根据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等即可求出∠ADC的度数，然后由直径所对的圆周角是直角得到∠=90°，然后根据∠BAC=75°，即可求出∠BAD的度数； （2）连接OC．由直径所对的圆周角是直角得到∠=90°，进而求出∠=45°，然后由BE=BD，得到∠=∠，证明CFAD，根据平行线的性质即可求出∠F的度数． 【详解】（1）解：在⊙O中，∠=45°， ∴∠ADC=∠=45°． ∵AD为⊙O的直径， ∴∠=90°． ∴∠=90°－∠=45° ∵∠=75°， ∴∠=∠－∠=75°－45°=30°． （2）解：连接OC． ∵∠=45°，AD为⊙O的直径， ∴∠=90°． ∴∠=90°－∠=45°． ∵BE=BD， ∴∠=∠=． ∴∠=90°－∠=22.5°． ∵CF为⊙O的切线， ∴OC⊥CF，即∠=90°． ∵∠+∠=180°， ∴CFAD． ∴∠=∠=22.5°． 26．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴以及与轴的交点坐标． (2)当时，的最大值与最小值的差为32，求该二次函数的表达式． (3)若，直线经过抛物线的顶点，并与该抛物线的另一交点为点，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，交点坐标为 (2)或． (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，两点坐标距离公式，一元二次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情况讨论：和，根据抛物线的开口方向和对称轴，确定最大值和最小值，再列方程求解即可； （3）由（2）可得二次函数图象的顶点坐标为，代入直线解析式，求得，进而求出抛物线和直线的另一个交点，设，则点，根据坐标两点的距离公式以及二次函数的最值，得出时，取最小值，即可求解． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的对称轴是直线． 令，则， 二次函数图象与轴的交点坐标为． （2）解：． 若，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， ， 解得， 该二次函数的表达式为． 若，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时， ∴当时，二次函数有最大值， 当时，二次函数有最小值， ，解得， 该二次函数的表达式为， 综上可知，该二次函数的表达式为或． （3）解：由（2）可得，二次函数图象的顶点坐标为． 直线经过抛物线的顶点， ， ， ． 由 解得或 点． 设，则点， ． ， ， 当时，取最小值， ，即． 27．如图1，内接于，点为劣弧上一点，满足，过点作的垂线，垂足为点，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的值； (3)求证：； (4)如图3，若，，用含有的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）设，则，而，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）连结，连结并延长交于点，根据已知得出，进而根据正切的定义，即可求解． （3）在上截取，则．设，则，且，得出，则，即可得证； （4）在上截取，则，连接，根据条件证明，可得，再证明即可求解． 【详解】（1）证明：设，则， 而， ， 即， ． （2）如图1，连结，连结并延长交于点，    则，即． ， ， 设，则， ． ， ． （3）如图2，在上截取，则．    ∴ 设，则，，， ， ∴ ， ． （4）如图3，在上截取，则，连接．    ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ． ∴，即 设，则，， ∴， ∵ ∴， ∴ 即． ∴ ． 28．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．    (1)在上面规定下，抛物线的顶点为__________．伴随直线为__________；抛物线与其伴随直线的交点坐标为__________和__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点（点A在点的右侧）与轴交于点． ①若，求的值； ②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值3时，求的值． 【答案】(1)；； (2)①  ② 【分析】（1）根据抛物线的顶点式可直接写出顶点，根据伴随直线的定义即可写出伴随函数，联立直线和抛物线可求出交点坐标； （2）①根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，再求出线与轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出即可； ②先设出点的坐标，然后表示出的面积，用含的式子表示出顶点的纵坐标，列出关于的式子，求出即可. 【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为, 根据伴随函数的定义得：, 联立抛物线和直线的解析式，可得： 则, 解得, ∴交点坐标为; 故答案为；；； （2）①∵抛物线解析式为, ∴其伴随直线为,即 , 联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ， 解得 或 ， ∵点A在点的右侧, ∴, 在中,令可解得或, ∴, ∴, ∵, ∴, 即, 解得 (抛物线开口向上，舍去) 或 ∴当时, 的值为 ②设直线的解析式为,∵, 解得 ∴直线解析式为, 过作轴的垂线交于点，如图，    ∵点的横坐标为， ∴,， 又∵是直线上方抛物线上的一个动点， ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积有最大值 ∴取得最大值时, 即， 解得. 【点睛】本题主要考查二次函数和新定义函数的综合应用，关键是要理解伴随函数的概念，求出伴随函数的解析式，二次函数的基本性质要熟练掌握，包括顶点式，与坐标轴交点的求法，对称轴，增减性等都要牢记. 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 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