浙江省2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（浙江专用） （共24小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴分式的值为， 故选：A． 2．下列的事件中，属于确定事件的是（    ） A．明天会下雨 B．小普过马路时正好遇到红灯 C．地球绕着太阳转 D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件，理解概念是解决这类基础题的主要方法． 确定事件分为必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下必定发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件．其他可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】A、“明天会下雨”是随机事件，因为天气具有不确定性，无法确定明天是否必然下雨； B、“小普过马路时正好遇到红灯”是随机事件，交通信号灯的变化具有随机性，无法提前确定； C、“地球绕着太阳转”是必然事件，根据科学常识，地球的公转是自然规律，必然发生，属于确定事件； D、“抛掷一枚硬币，落地后正面朝上”是随机事件，硬币落地后可能正面或反面朝上，结果不确定． 故选：C． 3．二次函数y＝-2 ＋1的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质，求解即可． 【详解】解：二次函数 ，开口向下 对称轴为， 顶点坐标为， 根据图像可得，D选项符合， 故选D， 4．如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则的大小为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的定义得到，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故选：C． 5．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，BC＝mAB，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用黄金分割的定义求解． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC， ∴BC＝AB，∴m＝． 故选A． 6．如图，经过原点的直线与反比例函数的图象分别交于点A、点B，分别过点A、B作y轴、x轴平行线交于点C，若的面积为4，则k的值是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段的中点，根据，得出，根据相似三角形性质得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵A是反比例函数图象上的点，且轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形性质，求角度的正弦值等．根据题意可得，继而再利用正弦公式即可求出． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．等腰三角形的底角是，腰长为10，则其腰上的高为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】C 【分析】如图所示，先利用三角形外角的性质得到∠CAD=∠B+∠ACB=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到． 【详解】解：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，CD⊥AB，∠B=∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠B+∠ACB=30°，∠ADC=90°， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 9．在中，，，点M是的中点，点P是上一点，与相交于点N，连接，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得，进而得到，即可证明A；根据角之间的变换可证，设，进而表示出其他边长即可证明C、D． 【详解】解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，，故C、D正确； 根据条件证不出， 故选：C． 10．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解答本题的关键，“对于二次函数，当时，其图象开口向上，当时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函数即可． 【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．由比例式，整理得，将其代入中整理化简即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 13．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π). 【答案】 【详解】试题分析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为一个900角的扇形面积与一个450角的扇形面积的和：． 14. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.80 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【详解】解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 15．如图，四边形内接于，为直径，点C是的中点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题关键； 根据圆周角定理得出，，然后求出，再根据圆内接四边形的性质得出，即可求出答案． 【详解】点C是的中点， ， 为的直径， ， 四边形内接于， ， ． 故答案为：． 16．如图，已知正方形的边长是4，点E、N分别是边和上的一点，，且，连接，交于点P．以为边长作正方形，交于点H，连接，交于点Q，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得，，，证明，求得，推出，利用等积法求得，利用勾股定理求得的长，证明，求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长是4，且， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 18．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：，即． （2）解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 19. 如图，为外一点，、为的切线，切点分别为、，直线交于点、，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可； （2），则，，，，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的切线， ， ． 是的直径， ， ． ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ． 、为的切线， ，平分， ． 为的切线， ， ， ， ， 即：． 解得：或（不合题意，舍去）， ． 20. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． (1)若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； (2)若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有三个文件袋，且每个文件袋被抽到的概率相同， ∴小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为； （2）解：列表如下： 小吴小兴 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数有4种， ∴恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率为． 21. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． (2)如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 【答案】(1)； (2)的长度为． 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质． （1）在中，利用余切函数的定义求解即可； （2）作出如图所示的辅助线，求得，根据，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，交于点， ∴四边形是矩形， 如图，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴的长度为． 22. 如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC． （1）若∠B=40°，求∠A的度数； （2）证明：CD=DE； （3）若AD=4，求CE的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AOD=∠B，根据圆的半径相等 OA=OD，可得∠ADO= ∠A，进而根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质，以及三角形内角和定理，进行角度的转化，求得，进而证明CD=DE； （3）连接OE，AE，在与中，设，根据，列出方程解方程即可求得． 【详解】解：（1）∵OD∥BC ∴∠AOD=∠B=40° ∵OA=OD， ∴∠ADO= ∠A ∴∠A=． （2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O ∴∠CDE =∠B，∠DEC= ∠A ∴∠CDE = ∠AOD ∵∠C =180°– ∠CDE – ∠DEC ∠ADO =180°– ∠A – ∠AOD ∴∠C = ∠ADO =∠A ∴∠C = ∠DEC ∴CD = DE． （3）连接OE，AE， 由（2）得AB=BC=12 ∴∠AOE = 2∠B，∠B= ∠AOD ∴∠AOE = 2∠AOD ∴∠AOD =∠DOE ∴AD = DE ∴AC=2AD=8 ∵AB是直径：∠AEB=90° 在与中， 设CE=x，则BE=12-x AC2-CE2=AB2-BE2 即． 解得：． 23. 某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． (1)判断甲乙两位同学的结论（   ） A．甲正确，乙错误    B．甲错误，乙正确    C．两位同学都正确    D．两位同学都错误 (2)如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ (3)如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 【答案】(1)A； (2)是等腰直角三角形，圆内接矩形的最大面积是； (3)矩形面积的最大值为，矩形的周长． 【分析】本题考查了圆内接四边形，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可； （2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状； （3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可． 【详解】（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形； 即甲正确，乙错误． 故选：A； （2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，， ∵， ∴是直径， ∴， ∴ ∵矩形， ∴， 即当面积最大时，矩形面积最大， ∵，，， ∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合， ∵，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：过作于于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ∴的面积， ∵矩形的面积， ∴， ∴当的面积最大时，矩形的面积最大， 为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高， ∴当时，的面积最大， 此时，，， 当时，的面积， ， ， ， ∴此时矩形的周长． 24. 如图，抛物线经过，点两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，过点D作轴，交直线于E点，求线段的最大值． (3)当时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值． (4)设抛物线与线段围成的封闭图形记作图形P，点C为直线上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以为边向下作正方形，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)当，有最大值为4 (3)的值为或者 (4)或 【分析】（1）将点，点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则点，可得出，据此即可求解； （3）分类讨论当时，当时，当时三种情况，即可求解； （4）分类讨论若点在点的左侧若点在点的右侧两种情况，分别求出点的坐标，根据图示建立不等式组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴此抛物线的解析式为． （2）解：如图①， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ∴． ∵， ∴当，有最大值为4． （3）解：设, 当点D在对称轴上或左侧时，即时， 最小值在顶点处取到，最大值，此时不存在最高点和最低点的纵坐标的差为3； 当点D在对称轴右侧时，即时， 有, ∴， ，（符合题意，舍去）．（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或者． （4）解：由题意可得：， 若点在点的左侧，如图所示： 由直线的解析式为可得： ∵为正方形， ∴ ∴轴， ∴ 同理可得： 由可得： ∴ 由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下， 解得： 若点在点的右侧，如图所示： 同理可得： 由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下， 解得： 综上所述：或 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（浙江专用） （共24小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D．5 2．下列的事件中，属于确定事件的是（    ） A．明天会下雨 B．小普过马路时正好遇到红灯 C．地球绕着太阳转 D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 3．二次函数y＝-2 ＋1的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则的大小为（      ） A． B． C． D． 5．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，BC＝mAB，则m的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，经过原点的直线与反比例函数的图象分别交于点A、点B，分别过点A、B作y轴、x轴平行线交于点C，若的面积为4，则k的值是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 7．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（  ） A． B． C． D．1 8．等腰三角形的底角是，腰长为10，则其腰上的高为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 9．在中，，，点M是的中点，点P是上一点，与相交于点N，连接，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．写出一个开口向上的二次函数表达式 ： 12．若，则 ． 13．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π). 14. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是 ．（结果精确到0.01） 15．如图，四边形内接于，为直径，点C是的中点，连接．若，则的度数为 ． 16．如图，已知正方形的边长是4，点E、N分别是边和上的一点，，且，连接，交于点P．以为边长作正方形，交于点H，连接，交于点Q，则的长为 ．    三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：． 18．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点均在抛物线上，求的值． 19. 如图，为外一点，、为的切线，切点分别为、，直线交于点、，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． (1)若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； (2)若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 21. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． (2)如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 22. 如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC． （1）若∠B=40°，求∠A的度数； （2）证明：CD=DE； （3）若AD=4，求CE的长度． 23. 某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． (1)判断甲乙两位同学的结论（   ） A．甲正确，乙错误    B．甲错误，乙正确    C．两位同学都正确    D．两位同学都错误 (2)如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ (3)如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 24. 如图，抛物线经过，点两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，过点D作轴，交直线于E点，求线段的最大值． (3)当时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值． (4)设抛物线与线段围成的封闭图形记作图形P，点C为直线上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以为边向下作正方形，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $