因式分解 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学八年级上册

因式分解 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．分解因式 (1) (2) 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 4．因式分解： 5．因式分解 (1) (2) 6．将下列多项式进行因式分解： (1) (2) 7．分解因式： (1)； (2)． 8．因式分解 (1) (2) 9．因式分解： (1)； (2)． 10．分解因式：． 11．因式分解：． 12．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 13．仔细阅读材料，回答下列问题：数学兴趣小组在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，，再进行深入研究后发现，如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式： ； ②填空：( )； ③计算： ； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 14．定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 15．我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) （1）直接利用提取公因式法提取公因式，即可得到答案； （2）直接利用提取公因式法提取公因式，即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 2．(1) (2) （1）提公因式即可分解； （2）提公因式即可分解． （1）解： = =； （2） = = 此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 3．(1) (2) 本题主要考查了分解因式，： （1）提取公因式分解因式即可； （2）提取公因式分解因式即可． （1）原式 （2）解：原式 ． 4． 直接利用平方差公式分解因式即可． 原式 本题考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 5．(1) (2) 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）先根据平方差公式，再根据完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （1）解： ； （2）解： ． 6．(1) (2) （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先进行多项式乘多项式的运算，化简后利用完全平方公式进行因式分解即可． （1）解：原式 ； （2）原式 ． 本题考查因式分解．解题的关键是掌握公式法进行因式分解． 7．(1) (2) 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种常用方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解； （2）先将原式变形为，再提取，然后由平方差公式进行分解． （1）解：． （2）解： ． 8．(1) (2) 本题考查多项式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式，根据多项式的特点选用恰当的因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式． （1）解： ； （2）解： ． 9．(1) (2) 本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ． 10．． 本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解． 解： ． 11． 本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 解： ． 12．(1)； (2)， (3)，理由见解析 本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． （1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 13．(1)①；②；③ (2)27 (3) 本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键： （1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）先利用立方差公式进行因式分解，再把整体代入，再利用提公因式法和完全平方公式法进行因式分解，求值即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． （1）解：①； ②； ③； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴当时，； 当时，； 故的值为． 14．(1)②④ (2) (3)， 本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． （1）解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）解：设 ， ； （3）解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 15．(1)①③； (2)； (3)最小值为7． 本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． （1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $