角度中的动态问题 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

角度中的动态问题 1．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 2．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 3．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 4．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 5．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 6．定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 7．已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数； (3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 8．【探究与实践】 如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ； ② ． 【问题探究】 （2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合； ②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 9．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若 ①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 10．已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由． (3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并直接写出相应的的度数．（不必写出过程） 11．解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】 （2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 12．定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 参考答案 1．(1)100 (2)， (3) 本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． （1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 2．(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． （1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 3．(1) (2) ． ．或 本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出和的度数，两者求和即可得出答案； （2）．由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；．分两种情况讨论：①射线，只有个在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；②射线，，个都在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解． （1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：题： ，分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； 题： 分两种情况讨论： 射线，只有个在外面，如图， ； 射线，，个都在外面，如图， ； 综上，的度数是或． 4．(1)90 (2) (3) (4)当时，；当时， 本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据A、O、B三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； （1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：∵， 设，， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点共线， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； 故答案为： ； （4）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 5．(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； （1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 6．(1)3 (2)①或；②或或 本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角板中角的有关计算，读懂题意，理解优角定义是解题的关键． （1）分别求出图中的各角，进而利用优角定义判断求解即可； （2）①由（）得，，进而得，再根据优角的定义可列出方程求解即可； ②由角平分线得，，根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．进而分和两种情况，结合优角定义求解即可． （1）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴的优角为或， ∴、、是的优角，其他角不是的优角， ∴在图中，的优角有个， 故答案为：； （2）解：①由（）得，， 由旋转得， ∴， 当与互为优角时，可列出方程： ， ∴或， 解得或； ②∵，的角平分线是， ∴，， 根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差． 当时， （）， ， 解得． （）， ， 解得（舍）或（舍）． 当时， （）， ， 解得． （）， ， 解得或（舍）． 综上所述，，或． 7．(1) (2) (3)当时， 本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）根据题意可得，，则，由此列式得，解方程即可求解． （1）解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； （2）解：，， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴当时候，． 8．（1）①；②；（2）①；②；（3）或 本题属于几何变换综合题，主要考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）①设旋转时间为秒，则，，当与相遇时，，再求解即可；②设运动时间为秒，，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 解：（1）①， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，， 解得：； ②如图， 因为， ， 所以； （3）设绕点逆时针旋转， 时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②时，如图， ，， ， 平分， ， ，平分， ， . 综上，或. 9．(1)①150；②，或， (2)不改变，其度数为 （1）①先根据求出，再根据计算即可； ②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可； （2）设，求出所有情况后判断即可． （1）①∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1）， 设，则， ， 由得，， 解得， ∴， ∴；    (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，， 解得， ， ， ∴；    （2）不改变，其度数为． 设，由条件知， 分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），   ， ， ， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），   ， ， ∴； ⅲ)当在内部时（如图5），   ， ， ∴； ⅳ)当在外部时（如图6），    ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 10．(1) (2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (3)为或 本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解第3小问的关键． （1）根据，分别平分和，得出，，求出，根据平分，得出，最后求出结果即可； （2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可； （3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可． （1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：设旋转角为， ①当时，如图， ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； ②当时，在的下方，如图， ∵平分，平分， ∴． ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 11．（1）；（2），理由见解析；（3）经过秒时，第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）①先看当为，夹角的角平分线，即平分，此时，②再看当为，夹角的角平分线，即平分，，根据角平分线的定义建立方程求解即可． 解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，延长到E， 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过8秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合， ∴总运动时间为4秒， ①当为，夹角的角平分线，即平分，此时， ∴， ， 解得：（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分，， ∴， ∴ 解得：； ∴运动秒时，、、这三条射线会第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 12．(1)射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 (2)①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 本题主要考查新定义下的角度的计算、角平分线的定义和解一元一次方程，列出方程是解题的关键． （1）根据题意可得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①由题意得：，，列出或，分别求解即可； ②由题意得，，，，结合题意得出或，分别求解即可． （1）是，∵平分， ∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； （ii）如图所示：当时， 即：， 则：， 解得：， ∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $