计算类 寒假专项训练-2025-2026学年 人教版 数学七年级上册

计算类寒假专项训练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 5．用简便方法计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 6．用简便方法计算： (1)； (2)． 7．计算：（每题要写出必要的解题步骤） (1)（用简便方法）． (2)（用乘法分配律） 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简，再求值：，其中，． 10．（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程： 13．解下列方程： (1)． (2)． 14．解下列方程： (1)． (2)． 15．数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 16．多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果： ______； (3)①计算的值； ②计算的值． 17．（1）已知关于的多项式合并后不含有二次项，求的值． （2）已知两个整式的和是，如果其中一个整式是，求另一个整式． （3）小亮做一道数学题：“有两个多项式，其中为，求”．小亮误将看成，求得的答案是．请你写出的正确答案． 18．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 19．已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ； (2)已知，它的伴随多项式，求x的值； (3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 20．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 参考答案 1．(1) (2)18 (3) (4) (5) (6) (7) 本题考查有理数的加减混合运算，绝对值和相反数的运算，多重符号化简，有理数乘法运算； （1）按照有理数的加减混合运算计算即可； （2）先算绝对值，再按照有理数的加减混合运算计算即可； （3）按照有理数的加减混合运算计算即可； （4）先算绝对值，再按照有理数的加减混合运算计算即可； （5）先把假分数拆分成整数和真分数，再通分计算即可； （6）先算绝对值，再按照有理数的加减混合运算计算即可； （7）先化简，再按有理数乘法运算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； 2．(1)0 (2) (3)23 (4) (5)7 (6) 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先去括号，再利用有理数的加减法则进行计算即可； （2）先去括号，再利用有理数的加减法则进行计算即可； （3）先把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，括号里面的，再算乘除，最后算加减即可； （5）先算乘方，去绝对值符号，再算乘除，最后算加减即可； （6）先算括号里面的乘方，乘法，再算减法，最后算括号外面的即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ． 3．(1) (2)0 (3)7 (4) （1）将同分母的先相加，最后结果求和即可； （2）先去绝对值，再将正数与正数相加，负数与负数相加，再把两个结果相加即可； （3）利用乘法分配律求解即可； （3）先定结果符号，剩余绝对值相乘，再先求，继而得解． （1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【点睛】本题考查有理数加法的运算律，去绝对值，乘法的运算律等知识，掌握加法和乘法的简便运算是解题的关键． 4．(1) (2) 本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． （1）解： ． （2）解： ； 5．(1) (2) (3) (4) 本题考查的是化简绝对值，有理数的乘法的运算律的应用，除法运算； （1）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （3）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （4）先化简绝对值可得原式化为，再计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．(1)2 (2) 此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律计算法则是解题的关键， （1）根据乘法分配律计算； （2）先运用乘法分配律计算后边括号，再应用乘法分配律计算 （1）解：原式 ； （2）原式 7．(1) (2) 本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）先把原式变形为，再利用有理数乘法分配律进行求解即可； （2）直接利用有理数乘法分配律进行求解即可． （1）解： （2）解： ． 8．，． 本题考查了整式的加减及求值，先化简，再把代入，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， ∵， ∴原式． 9．， 本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 解： ， 当，时， 原式． 10．（1），；（2） 本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 11．(1) (2) 本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． （1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 12．． 本题主要考查了一元一次方程的解法，涉及分数和小数的转化、去括号、移项、合并同类项以及系数化为等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和相关运算法则是解题的关键． 先将方程中的分数和小数通过分子分母同时扩大一定倍数的方式化为整数，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为来求解． 解：， ， ， ， ， ， ． 13．(1) (2) 本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 14．(1) (2) 本题考查了解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． （1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． （1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 16．(1)， (2) (3) 本题考查了与实数运算相关的规律题． （1）原式利用裂项方法变形，计算即可求出值； （2）归纳总结得到一般性规律，利用裂项法求出值即可； （3）①原式利用裂项法变形，计算即可求出值；②原式利用裂项法变形，计算即可求出值． （1）解： ， 故答案为：， （2） ， 故答案为：． （3）① ； ② ， ． 17．（1）；（2）；（3） （1）由于多项式合并后不含二次项，即二次项系数为0，在合并同类项时，可根据二次项为0列方程求解即可； （2）已知两个整式的和和其中一个整式，求另一个整式用减法求解； （3）本题主要考查整式的减法运算，熟练掌握运算法则求角即可． 解：（1）的多项式合并后不含有二次项，即二次项系数为0， ， 解，得， （2） ， （3）根据题意可知：， ， 18．(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) （1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 19．(1)； (2)； (3)或． 此题考查新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义，确定出伴随多项式即可； （2）根据新定义，确定出伴随多项式，进而列出关于x的方程，求解即可； （3）根据新定义，表示出的伴随多项式，根据有正整数解，确定出的整数值即可． （1）解：∵， ∴它的伴随多项式； 故答案为：； （2）解：， 它的伴随多项式， ∵ ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴它的伴随多项式， ∵， ∴， ∴， ∵方程有正整数解，且a为整数， ∴或， 解得： 或 ． 20．(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． （1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $