双曲线渐近线题型的简便算法——参数设点法讲义-2026届高三数学二轮专题复习

双曲线渐近线题型的简便算法一一参数设点法 有关双曲线渐近线的问题，参数设点往往会比较好做，几乎没有什么计算量。 以下例题，法一是常规解法，计算量很大；法二是参数设点法，计算量很少。 后面还附带了五道同类题型，可以用来巩固练习。 c:xy 二1 例：若直线：x+心y=1n>0)与双曲线·916左右两支分别交于A、B两点， 与双曲线C的两条渐近线分别交于D、E两点，且D、E为线段AB的三等分点，则n= 1 17 17 1 A、2B、2 C、 D、3 答案：C 解析：法一：渐近线方程为 y=t4 16r-9y=0→16w-1P-9y2-0→6m2-9y2-32m+16=0 x=-ny+1 16r2-9y-9×16=0→16w-12-9y2-9x16=0→6m2-9y2-32w-8×16=0 x=-y+1 设A、D、E、B四个点的横坐标分别为七、七、、4 32n -8×16 X1+x4= X X4= 16n2-9 16n2-9 32n 16 则 x2+x=16m2-9, xx3=16mn2-9 所以B与CD的中点相同，故只需AB=3DA,即AB=9DE 因为4B=1+k-x,DE=+x,- 1+k2x-x4)2=91+k2Xx2-x3P→(x-x42=9x2-x3月 16n2-9 322n2,32×169×322n29×64 16n2-916n2-916m2-9716m2-9 今3416m2-9=8×32m2 16 4 法二：可设D3s,4s),E(-31,41,(D、E坐标反过来设也一样) 易知D为AE中点，E为BD中点，可得A6s+31,8s-4),代入双曲线方程， 6s+3_8s-4=1→2s+P-2s-=1→81=1 得 9 16 4t 4s 因为直线DE经过点1,0)，所以-3t-13s- →1-8=6的=3 kor =-1 113s+4t3 (s+t2 3 4ts V17 →n= 1+ n KDE 4 故 -3t-3s 同类题型 x2y2 1、过双曲线a方京=1a>0,b>0) 的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的 AB=-BC 两条渐近线的交点分别为B、C,若 2 ，则该双曲线的离心率为() A、V2B、3C、5D、0 答案：C 解析： k=b 可设Bt,t),C-3t,3ku),其中a,易知 kc-3-任=-k=-1→k=2e=￡-5 -3t-t2 ，则a C:xy2 2、已知双曲线Ca存=1(a>0,b>0) 的右焦点为FV7,0,过F作双曲线C的一条 渐近线的垂线，垂足为A,且与另一条渐近线交于点B,若 ,则双曲线C的方 程为 x2 y2 答案：43=1 解析： 7 可股4k,6-7训，则。7-】 1-71 3 k 2=63 则 a=4,又Q2+b2=c2=7,则a2=4,6=3 C:y2 3、已知双曲线a=1a>0,b>0) 如图所示，直线1与C的两条渐近线分别交 NT3 于M、N,与x、y轴分别交于S、T,若OM1Ms,且M2,则C的离心幸为 () A、2B、V5C2D、25 答案：B 解析：可设M(m,km),N-,),T0,,其中m,2,1>0 km-知_机-t→km-见_km-1=-k+名 由三点共线， m+n-n m+n -n n =k.m-”+11-2mn n （m+n m+n 又M=w-w-0- -w kn-2kmn3 m ,则 ，即m+n2 2W-5m-3m2=0→2-5·”-3=0今”3ns3场 整理可得 m m 则 则a22=2 b2 “，不妨取a=1,b=2,则c2=3,离心率为V5 C:y 4、已知双曲线Ca方京=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F、B,过的直线与 C的两条渐近线分别交于A、B两点，若FA=AB,FB-F,B=0,则C的离心率为() 4 AV5B、+1C3 D、2 答案：D 解析： B 可m加，由o-号F-e可6+6）c心 B(a,b a-cb A ,A为BF的中点，所以、22， x 所以m=1, A在直线a上， bb a-c 所以2a2,即c=2a→e=2 B= 2π 5、在△ABC中， 3,且内角平分线BD=1,则4a+c的最小值为 答案：9 解析： A 构造如图的双曲线渐近线，易知直线BA、BC方程分别为y=V3x、y=-√5x, 过A点作x轴的垂线，所以( - 2=2→ac=a+c→-+=1 11 e-1a-1 a c 由三点共线得2 2 3 a= ,当且仅当a=2,c=3时，等式成立