2026年广东中考数学一轮复习课件：第二单元 方程（组）与不等式（组）

第二单元　方程（组）与不等式（组） 课时8　一元二次方程的解法及应用 命题分析 知识梳理 一、一元二次方程的概念及解法 1.概念：等号两边都是①　　　　，只含有一个②　　　　（一元），并且未知数的最高次数是③　　　　（二次）的方程.  2.一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，bx，c分别是二次项、一次项和常数项，a，b分别是二次项系数和一次项系数. 　 1.若关于x的方程（m-4）x2+2x-5=0是一元二次方程，则m的取值范围是　　　　.  整式 未知数 2 m≠4 方法 适用情况 方程的形式 方程的解 直接开 平方法 对于x2=n或（x+m）2=n类型的方程，可直接开平方求解 x2=n（n≥0） x=④　　　  （x+m）2=n（n≥0） x=⑤　　　  配方法 对于易配成完全平方式的方程，可考虑用配方法求解 通过配方将方程转化为（x+m）2= n的形式，再直接开平方求解 ± ±-m 3.解法 方法 适用情况 方程的形式 方程的解 公式法 对于任意一元二次方程，只要将它化为一般形式，就可以代入公式求解 ax2+bx+c=0 （a≠0，b2-4ac≥0） x=⑥ 　　   因式 分解法 对于易变形为（ax+m）（bx+ n）=0形式的方程，可考虑用因式分解法求解 （ax+m）（bx+n）=0 （ab≠0） x1=-， x2=⑦　　　  - 2.请用以下三种不同的方法解一元二次方程：x2-2x-3=0. （1）因式分解法：　　　　 【答题规范】 解：因式分解，得　　 　　　. 于是得　 　　=0，或　　 　=0， x1=　　 　，x2=　 　　.　 （x-3）（x+1）=0 x-3 x+1 3 -1 （2）配方法： 【答题规范】 解：移项，得　　　　　. 配方，得　　　 　，　　　　 . 由此可得　 　　， x1=　　　，x2=　　　.　 　　　　　　　 x2-2x=3 x2-2x+12=3+12 （x-1）2=4 x-1=±2 3 -1 （3）公式法： 【答题规范】 解：a=　　　，b=　　　，c=　　　. Δ=b2-4ac=　　　　>0. 方程有两个不等的实数根x=　 　　　　=　　　　　， 即x1=　　　，x2=　　　.  1 -2 -3 16 1±2 3 -1 3.用合适的方法解下列方程： （1）2（x+1）2=8；　 解：整理，得（x+1）2=4. 由此可得x+1=±2，x1=-3，x2=1. （2）x2-4x-5=0； 解：移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+22=5+22，（x-2）2=9. 由此可得x-2=±3，x1=5，x2=-1. （3）2x2-3x+1=0； （4）2x（x-1）=3（x-1）.  解：a=2，b=-3，c=1. Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1>0. 方程有两个不等的实数根x=， 即x1=1，x2=. 解：整理，得2x（x-1）-3（x-1）=0. 因式分解，得（2x-3）（x-1）=0. 于是得2x-3=0，或x-1=0，x1=，x2=1. 二、一元二次方程根的判别式 1.概念：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示它，即Δ=b2-4ac. 2.判别式与根的关系 （1）Δ⑧　　　　0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；  （2）Δ=0⇔一元二次方程有⑨　　 　　的实数根；  （3）Δ⑩　　　　0⇔一元二次方程没有实数根.  > 两个相等 < 4.下列方程：①x2-x+=0；②x2+2x+4=0；③x2+2=x； ④2x2-x=0.其中有实数根的是　　　　；有两个不等的实数根的是　　　　；有两个相等的实数根的是　　　　；没有实数根的是　　　　.（填序号）  ①④ ④ ① ②③ 5.（2024广东）若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，则c=　　　　　.  变式1　若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个不等的实数根，则c的取值范围为　　　　　.  变式2　若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0没有实数根，则c的值可能是　　　　.（填一个即可）  变式3　若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是　 　　　.  1 c<1 3 　a≤2且a≠1 三、一元二次方程的根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2= ⑪ 　　　　，x1x2= ⑫ 　　　　.  注：应用一元二次方程根与系数的关系的前提是Δ≥0. 　6.已知x=3是方程x2-2x+m=0的一个根，那么另一个根为　 　　.  7.已知方程x2-3x+1=0的根是x1和x2. （1）x1+x2=　 　　，x1x2=　 　　；（2）=　　 　；  （3）=　　　，（x1-x2）2=　　　.  - x=-1 3 1 3 7 5 核心精讲 一元二次方程的应用 常见问题类型及数量关系： ①变化率问题：a（1+x）2=b或a（1-x）2=b.其中，a为基础量，x为平均增长（下降）率，b为连续增长（下降）两次后的量. ②矩形面积问题： S阴影=　 　　； S阴影=　　 　　；  S矩形ABCD=　　 　　.  （a-x）（b-x） （a-2x）（b-2x） 　 ③利润问题： 每每问题：单价每降a元，销量就增加b件，若降价x元，则销量增加　　　　　件；  总利润=总收入-总支出=销售量×（单件售价-单件成本价）. ④单、双循环问题： 双循环：如x人互赠礼物，则一共赠送礼物x（x-1）件； 单循环：如x人两两握手，则一共握手　　　　　次.  x（x-1） 1.荔枝是广东最具代表性的水果之一，以其鲜美的口感和多汁的特点闻名.某农户承包了一个果园种植荔枝. （1）已知该农户2023年荔枝的平均亩产量为3 000 kg，后因改进种植技术，2025年荔枝的平均亩产量达到3 630 kg.设2023年到2025年荔枝平均亩产量的年平均增长率为x，可列出的方程为（　　） A.3 000（1+x）=3 630　　　　　B.3 000（1+x）2=3 630 C.3 000（1+2x）2=3 630 D.3 000（1-x）2=3 630 B （2）如图，为了运输方便，该农户准备在果园中一片长32 m、宽20 m的矩形土地上修建两条宽度相等的小路，剩余部分种植荔枝.已知种植荔枝的面积为540 m2，求小路的宽度.       解：设小路的宽度为a m. 根据题意，得（32-a）（20-a）=540. 解得a1=2，a2=50（舍去）. 答：小路的宽为2 m. （3）已知荔枝的成本价为12元/kg，当售价定为24元/kg时，每天能销售300 kg.为了减少库存，尽快售完，该农户决定降价促销，经市场调研发现，荔枝每千克的售价每降低1元，每天可多售出50 kg.若要使该农户每天获利4 000元，则荔枝每千克的售价应降低多少元？         思考：按（3）中的条件降价销售，　　　　　（填“能”或“不能”）使得该农户每天获利4 100元 .  解：设荔枝每千克的售价应降低m元，则每天可售出（300+50m）kg. 根据题意，得（24-m-12）（300+50m）=4 000. 解得m1=2，m2=4. ∵要减少库存，尽快售完，∴应尽可能降价.∴m=4. 答：荔枝每千克的售价应降低4元. 不能 （4）为了更好地销售荔枝，某地举办了荔枝推介大会进行集中签约.现场有若干家企业参加，共签订了15份合同.若每两家企业之间都签订了一份合同，设现场有n家企业，则可列方程为　　　　　　　　.  n（n-1）=15 中考通关练 1.（2025梅州二模）用配方法解方程x2-2x=5时，原方程应变形为（　　） A.（x+1）2=6 B.（x-1）2=6 C.（x+2）2=9 D.（x-2）2=9 2.若x=1是方程x2-2x+a=0的根，则a=　　　　　.  3.（2025广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是　　　　 　.  B 1 方程有两个不相等的实数根 4.若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3<x1<-1，1<x2<3，则符合条件的一个方程为　　　　　　　　　　　.  5.（2025新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A.x（24-2x）=40 B.x（24-x）=40 C.2x（24-2x）=40 D.2x（24-x）=40 x2-2=0（答案不唯一） A 变式　如图，现计划利用一面墙（墙足够长）和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地，且在矩形场地的左右两侧各开1个1 m的小门（不用围栏），方便进出，若设矩形的宽为x m，则根据题意可列方程为　 　 　　　　　.  x［24-2（x-1）］=40 6.（人教九上P19改编）若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了　　　　　个人.  11 7.【整体思想】已知x=2是关于x的一元二次方程x2+bx-c=0的解，则-4b+2c=　　　　　.  8 8.已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）. （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2满足-x1x2=3p2+1，求p的值. （1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0. ∵Δ=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根. （2）解：∵原方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p. ∵-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1. ∴52-3（6-p2-p）=3p2+1.∴25-18+3p2+3p=3p2+1. ∴3p=-6.∴p=-2. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 课时6　一元一次不等式（组）的解法及应用 命题分析 知识梳理 一、不等式及不等式的性质 1.概念：用符号“<”“≤”“>”“≥”或“≠”连接而成的式子叫做不等式. 2.常见关键词与不等号的对应关系 常见关键词 超过、超出、大于 低于、小于 不大于、至多、最多、不超过 不小于、至少、最低、不低于 不等号 ①　　　  ②　　　  ③　　　  ④　　　  > < ≤ ≥ 3.不等式的性质   　　   文字语言 符号语言 性质1 不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向⑤　　　  如果a>b，那么a±c ⑥　　　b±c  性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 ⑦　　　  如果a>b，c>0，那么ac⑧　 bc   性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向 ⑩　　　  如果a>b，c<0，那么ac⑪　 　bc   不变 不变 改变 > > > < < 1.（人教七下P117改编）若a>b，则下列不等式成立的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a-3<b-3 B.a+2>b+2 C. D.-4a>-4a B 二、一元一次不等式的概念及解法 1.概念 一元一次不等式 含有 ⑬　　　　个未知数， 未知数的次数是 ⑭　 　的不等式  不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的 ⑮　　　　，组成这个不等式的解集  1 1 所有解 2.解一元一次不等式的一般步骤及依据 易错提醒　一元一次不等式的解法步骤与一元一次方程相同，但在“去分母”和“系数化为1”时，若同乘（或除以）同一个负数，注意改变不等号的方向. 　　 不等式的性质2 或性质3 不等式的性质1 不等式的性质2 或性质3 3.解集在数轴上的表示 　 x>a x≤a x≥a 2.不等式 >4的解集为　　　　　.  3.解下列不等式，并把不等式的解集表示在数轴上. （1）+1≥；　　　　 【答题规范】 解：去分母，得　　 　　　.  去括号，得　　　　 　.  移项，得　　 　　　.  第3题图 合并同类项，得　　　 　　.  系数化为1，得　　　　　.  这个不等式的解集表示在数轴上如图所示. 　　　　　　　　   x<-6 3（3-x）+6≥2x 9-3x+6≥2x -3x-2x≥-6-9 -5x≥-15 x≤3 （2）-5x-4（2-x）<-7. 解：去括号，得-5x-8+4x<-7. 移项，得-5x+4x<-7+8. 合并同类项，得-x<1. 系数化为1，得x>-1. 这个不等式的解集表示在数轴上如答图2所示. 第3题答图2 三、一元一次不等式组的概念及解法 　　1.概念 一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 一元一次不等式组 的解集 组成一元一次不等式组的各个不等式的解集的 ㉒　 　　  公共部分 解集在数轴上 的表示（a<b）　 　 ⇒　㉓　　　　（同大取大）  ⇒　㉔　　　　（同小取小）  ⇒　㉕　　　　（大小小大中间找）  ⇒　 ㉖　　　　（大大小小取不了）  x≥b x<a a≤x<b 无解 4.（2024广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　　　.  5.（2025长春）下列不等式组无解的是 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 　　 x≥3 B 　 6.解不等式组 【答题规范】解：解不等式①，得　　　　　.  解不等式②，得　　　　　.  把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示. 所以原不等式组的解集为　 .  第6题图 2.解法 x≥-1 x≤2 -1≤x≤2 7.解下列不等式组：（1）　　 第7题答图1 所以原不等式组的解集为x>3 解：解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x>3. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如答图1所示. （2） 解：解不等式①，得x<2. 解不等式②，得x>-1. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如答图2所示. 第7题答图2 所以原不等式组的解集为-1<x<2. 核心精讲 一元一次不等式的应用 解不等式（组）应用题的一般步骤：审题→设未知数→列不等式（组）→解不等式（组）→检验→答. 1.某文具店计划购进A，B两种型号的笔记本进行销售. （1）若该文具店计划购进A，B两种型号的笔记本共30本，且要求A型笔记本的数量不低于B型笔记本的数量的2倍，则该文具店至少要购进多少本A型笔记本？         解：设该文具店购进x本A型笔记本，则购进（30-x）本B型笔记本. 根据题意，得x≥2（30-x）.解得x≥20. 答：该文具店至少要购进20本A型笔记本. （2）已知该文具店的A型笔记本售价为13元/本，B型笔记本售价为15元/本，若某同学计划用不超过180元的预算购买A，B两种型号的笔记本共13本，则该同学最多可购买多少本B型笔记本？       解：设该同学购买y本B型笔记本，则购买（13-y）本A型笔记本. 根据题意，得15y+13（13-y）≤180.解得y≤5.5. ∵y为正整数， ∴y的最大值为5. 答：该文具店最多可购买5本B型笔记本. （3）已知B型笔记本的进价为10元/本，售价为15元/本，现该文具店计划打折销售B型笔记本，且要求利润率不低于12.5%，则至多打几折？  解：设B型笔记本打z折. 根据题意，得 ×100%≥12.5%.解得z≥7.5. 答：B型笔记本至多打七五折. 一元一次不等式（组）的含参问题 2.（2025龙东地区改编）已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组的解集为-1<x≤，则a=　　　　，该不等式组共有　　　　个整数解.  （2）若该不等式组无解，则a的取值范围为　　　　　.  （3）若该不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为　　　　　.  -1 2 a≥ -2≤a<-1 中考通关练 1.（2025福建）不等式 x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　　） 2.（2025山西）不等式组的解集是 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x<2 B.x≥3 C.2<x≤3 D.无解 C C 3.（2025重庆）求不等式组的所有整数解.     解：解不等式①，得x<2. 解不等式②，得x≥-1. 所以原不等式组的解集为-1≤x<2. 所以原不等式组的所有整数解有-1，0，1. 4.（2025宜宾改编）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对多少道题？设他要答对x道题，则根据题意可列不等式为 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.10x-5x>80 B.10x-5（20-x）≤80 C.10x-5（20-x）≥80 D.10x-5x≥80 C 5.某学校准备用不超过800元的预算购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），其中茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元，某商店为了促销推出买一个茶壶送一个茶杯的优惠方案，则该学校最多可购买　　　　　 个茶杯.  15 6.（2025连云港改编）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等. （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？                       解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个. 根据题意，得 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个. （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要制作多少个乙种纸盒？此时需要多少张正方形硬纸片？ 解： 设需要制作m个乙种纸盒， 则制作（100-m）个甲种纸盒. 根据题意，得m≥（100-m）.解得m≥. ∵m为正整数， ∴m的最小值为34， 此时所需正方形硬纸片数量为34×2+（100-34）×1=134. 答：至少需要制作34个乙种纸盒，此时需要134张正方形硬纸片. 7.【方案选择】（2025遂宁改编）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料： 材料一：已知A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元. 材料二：据统计该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B种型号的新型垃圾桶数量不少于A种型号的新型垃圾桶数量的 . 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：有哪几种购买方案？ 解：任务一：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种型号的新型垃圾桶（200-a）个. 根据题意，得解得117.5≤a≤120. ∵a为整数，∴a=118或119或120. ∴有三种购买方案： ①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个； ②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个； ③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个. 任务二：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 解：任务二：方案①的费用为118×60+82×100=15 280（元）； 方案②的费用为119×60+81×100=15 240（元）； 方案③的费用为120×60+80×100=15 200（元）. ∵15 280>15 240>15 200，∴方案③最省钱. 答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个的方案更省钱，最低购买费用是15 200元. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 微专题1　方程（组）与不等式（组）的综合应用 1.（2025深圳二模）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动.学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹. 【信息收集】信息一：   路段 路程（km） 计划平均速度km/h） 第11组 鲲鹏径11段（梧桐山北大门至大梧桐顶） 12.5 a+1.3 第19组 鲲鹏径19段（西涌至东涌） 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等. 【问题解决】（1）求a的值和计划用时； （2）第11组的同学前段的平均速度为3 km/h，后段由于体力下降，平均速度降为2 km/h.如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3 km/h多长时间？ 解：（1）根据题意，得.解得a=1.2. 经检验，a=1.2是原分式方程的解，且符合题意. ∴=5. 答：a的值为1.2，计划用时为5 h. 解： （2）设需要保持平均速度为3 km/h的时间为x h. 根据题意，得3x+2（5-x）≥12.5.解得x≥2.5. 答：至少需要保持平均速度为3 km/h的时间为2.5 h. 2.（2025眉山）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱.现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： （1）若要从这两种食品中摄入1 280 kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ 食品类别 能量 （单位：kcal） 蛋白质 （单位：g） 脂肪 （单位：g） 碳水化合物 （单位：g） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 解：设应选用A种食品x份，B种食品y份. 根据题意，得 答：应选用A种食品3份，B种食品2份. （2）若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品 份，即（6-m）份. 根据题意，得12m+13（6-m）≥76.解得m≤2. 设每份午餐的能量为w kcal. 根据题意，得w=240m+280（6-m）=-40m+1 680. ∵-40<0，∴w随m的增大而减小. ∴当m=2时，w取得最小值.此时6-m=4. 答：应选用A种食品2份，B种食品4份. 3.某纪念品商店购进若干牡丹扇面纸扇和唐宫夜宴冰箱贴.根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案？ 素材1 已知纸扇的进价为5元/把，冰箱贴的进价为13元/个，下表是近两周的销售情况： 销售阶段 纸扇/把 冰箱贴/个 销售收入/元 第一周 6 2 120 第二周 4 6 220 素材2 该商店准备用不超过532元的金额再采购纸扇和冰箱贴共50个，且总利润不低于646元. 素材3 为了提高利润，该商店推出纪念品礼盒，每个礼盒中有1把纸扇和1个冰箱贴.据市场调查反映，当定价为50元时，每周可售出5个礼盒，销售单价每降2元，则每周可多售出1个. 问题解决 任务1 请尝试求出纸扇和冰箱贴的销售单价. 解：设纸扇的销售单价为x元，冰箱贴的销售单价为 y元. 根据题意，得 答：纸扇的销售单价为10元，冰箱贴的销售单价为30元 . 问题解决 任务2 请结合素材2中的信息，写出符合条件的采购方案.在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？（利润=销售收入-进货成本） 解：设该商店采购纸扇m把，则采购冰箱贴（50-m）个. 根据题意，得解得 ≤m≤17. ∴符合条件的采购方案有： 方案一：采购纸扇15把，采购冰箱贴35个，利润为（10-5）×15+（30-13）×35=670（元）； 方案二：采购纸扇16把，采购冰箱贴34个，利润为（10-5）×16+（30-13）×34=658（元）； 方案三：采购纸扇17把，采购冰箱贴33个，利润为（10-5）×17+（30-13）×33=646（元）. ∵670>658>646，∴采购纸扇15把，采购冰箱贴35个的方案商店获利最高. 问题解决 任务3 请结合素材3中的信息，求当纪念品礼盒降价多少元时，该商店可获得220元的周利润，并能尽量减少库存. 解：设纪念品礼盒降价n元. 根据题意，得（50-n-5-13）=220. 解得n1=12，n2=10.∵尽量减少库存，∴n取12. 答：当纪念品礼盒降价12元时，该商店可获得220元的周利润，并能尽量减少库存. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 教材深挖与中考新考向 家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的纯电动汽车A和燃油车B.经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高 项目问题 购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义. 主题 方案分析与选择 1.项目化学习——家庭购车选择 数据收集1 （行驶费用） 通过查阅相关资料，得知两车在相同路段且行驶里 程相同时，数据信息如下：   数据收集2 （其他费用） 设小明一家年平均行驶里程为x km.     A车 B车 每千米行驶费用 a元 （a+0.45）元 总行驶费用 7.5元 18.75元 A车 B车 保险 6 500元/年 保险 2 900元/年 车机服务 1 230元/年 保养 0.075x元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用. 解：根据题意，得 .解得a=0.3. 经检验，a=0.3是所列方程的解，且符合题意. ∴a+0.45=0.3+0.45=0.75. 答：A车的每千米行驶费用为0.3元，B车的每千米行驶费用为0.75元. 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其他费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案. 解：A车的年使用费用为0.3x+6 500+1 230=（0.3x+7 730）元，B车的年使用费用为0.75x+2 900+0.075x=（0.825x+2 900）元. 当0.3x+7 730>0.825x+2 900时，x<9 200； 当0.3x+7 730=0.825x+2 900时，x=9 200； 当0.3x+7 730<0.825x+2 900时，x>9 200. 答：当0<x<9 200时，购买B车比较划算；当x=9 200时，购买A车和B车均可；当x>9 200时，购买A车比较划算. 主题 问题发现与探究 2.【问题情境】任意给定一个矩形，是否一定存在一个“减半”矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】（1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1的四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为n，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由. 解：小明得出的结论不正确.举例说明如下： 若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为2×（6+1）=14，面积为6×1=6. 设这个矩形的“减半”矩形的长为x，则它的宽为 -x. 由题意，得x.解得x=或x=2. 当x= 时，，不符合题设，舍去. 当x=2时，，符合题设. 所以已知矩形的“减半”矩形的长为2，宽为 ，即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半. 【拓展延伸】（2）若已知矩形的长为m，宽为n，且存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，请求出m与n应满足的关系式 . 解：设已知矩形的“减半”矩形的长为a，宽为b. 由题意，得 由①，得b=-a.③ 将③代入②，得，即a2-=0. 则当关于a的一元二次方程a2-=0有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半. ∴这个方程根的判别式Δ=≥0. 整理，得m2-6mn+n2≥0. ∴m与n应满足的关系式为m2-6mn+n2≥0. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 课时5　一次方程（组）的解法及应用 命题分析 知识梳理   文字语言 符号语言 性质1 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a=b，那么a±c=①　　　  性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么ac=②　　　；  如果a=b（c≠0），那么=③　　　  一、等式的基本性质 b±c bc 1.下列利用等式的基本性质变形错误的是 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.若m+5=n+5，则m=n B.若-2m=-2n，则m=n C.若m-=n-，则m=n D.若m2=5m，则m=5 D 二、一元一次方程的概念及解法 1.概念 一元一次方程 只含有④　　　　个未知数（元），未知数的次数都是⑤　　　　，等号两边都是整式的方程  方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 2.解一元一次方程的一般步骤及依据 1 1 等式的基本性质2 等式的基本性质1 等式的基本性质2 　2.（2025深圳）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=　　　　.  　　 3.解方程：（1）；　 【答题规范】 解：去分母，得　　　　　　　　.  去括号，得　　　　　　.  移项，得　　　　 　　.  合并同类项，得　　　　　.  系数化为1，得x=　　　.  4 （x+2）=3（3-x） 2x+4=9-3x 2x+3x=9-4 5x=5 1 （2）3-4（x-1）=2x；　　　　　　（3）=1-. 解：去括号，得3-4x+4=2x. 移项，得-4x-2x=-4-3. 合并同类项，得-6x=-7. 系数化为1，得x=. 解：去分母，得3（2x-3）= 12-2（4-x）. 去括号，得6x-9=12-8+2x. 移项，得6x-2x=12-8+9. 合并同类项，得4x=13. 系数化为1，得x=. 易错提醒：（1）去分母时，不要漏乘常数项；（2）去括号时，注意括号前的符号；（3）移项时，注意变号；（4）系数为1时，不要漏掉符号. 三、二元一次方程（组）的概念及解法 1.概念 二元一次方程 含有⑨　　　　个未知数，并且含有未知数的项的次数都是⑩　　　　的方程  二元一次方程组 方程组中有 ⑪　　　　　个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程  二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的⑫　　　　  2 1 2 公共解 2.解法 　　 基本思路 常用方法及 适用情况 （1）代入消元法：当方程组中某个方程无常数项或某个方程中的未知数的系数是1或-1时，选用此方法比较简单； （2）加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍关系时，选用此方法比较简单 消元 4.请用指定方法解方程组 （1）代入消元法：　　　　　　　　　　　　 　 【答题规范】 解：由①，得y=　　　　.③ 把③代入②，得　　　　　　　　.（消去　　　　） 解这个方程，得　　　　. 把　　　　代入③，得　　　　. 所以这个方程组的解是 5-3x 2x+3（5-3x）=8 y x=1 x=1 y=2 1 2 13 （2）加减消元法： 解：①×3，得　　　　　.③ ③-②，得　　　　（消去　　　　），x=　　　　. 把　　　　代入①，得　　　　　，y=　　　　. 所以这个方程组的解是 4.请用指定方法解方程组 9x+3y=15 7x=7 y 1 x=1 3×1+y=5 2 1 2 （1）　　　 5.解下列方程组： 解：由①，得x=3+3y.③ 把③代入②，得2（3+3y）+y=13. 解这个方程，得y=1. 把y=1代入③，得x=6. 所以这个方程组的解是 （2）　　 解：由②，得x-2y=-4.③ ①+③，得5x=20，x=4. 把x=4代入③， 得4-2y=-4，y=4. 所以这个方程组的解是 （3） 解：整理方程组，得 ①×3，得9x+6y=18.③ ②×2，得10x+6y=-2.④ ③-④，得-x=20，x=-20. 把x=-20代入①，得3×（-20）+2y=6，y=33. 所以这个方程组的解是 一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量和未知量； 设：设出未知数； 列：找出等量关系，列方程（组）； 解：解方程（组）； 验：检验所求是否符合题意； 答：作答（注意单位）. 一次方程（组）的应用 常见问题类型及数量关系： ①购买问题： 总价=单价×数量；总价=A单价×A数量+B单价×B数量. ②销售利润问题： 售价=标价×折扣；（打八折即现价是原价的80%，打七五折即现价是原价的75%） 利润=售价-进价；利润率=×100%；销售额=售价×销量. ③配套问题： m件A产品和n件B产品配成一套，若正好配套，则A产品数∶B产品数=m∶n，即A产品数的n倍=B产品数的m倍.　 1.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. （1）某商场计划购进A，B两种粽子，已知1个B种粽子的进价比1个A种粽子的进价贵2元，购进300个A种粽子的费用和购进180个B种粽子的费用相同.求每个A种粽子和每个B种粽子的进价. 【答题规范】解：设每个A种粽子的进价为x元，则每个B种粽子的进价为　　　　　元.··············································································· 1分  根据题意，得　　　　　　　　　　.··········································· 4分  解得　　　　　.∴x+2=　　　　　.·············································· 6分  答：每个A种粽子的进价为　　元，每个B种粽子的进价为　　元.·· 7分  思考：若设每个A种粽子的进价为x元，每个B种粽子的进价为y元，则 可列方程组为　　　　　　　　.  （x+2） 300x=180（x+2） x=3 5 3 5 （2）已知在该商场购买20个A种粽子和30个B种粽子需花费290元；购买30个A种粽子和20个B种粽子需花费260元.求每个A种粽子和每个B种粽子的售价. 解：设每个A种粽子的售价是a元，每个B种粽子的售价是b元. 根据题意，得 答：每个A种粽子的售价是4元，每个B种粽子的售价是7元. （3）在（1）（2）的条件下，端午节当天该商场推出粽子礼盒打折促销活动，其中每盒粽子中均有5个A种粽子和5个B种粽子，若该礼盒最终利润率是10%，则当天该商场的粽子礼盒是按原价的几折进行销售的？ 解：设当天该商场的粽子礼盒是按原价的m折进行销售的. 根据题意，得×100%=10%. 解得m=8. 答：当天该商场的粽子礼盒是按原价的八折进行销售的. （4）某店铺制作的粽子礼盒每盒有3个A种粽子和2个B种粽子.用 1 kg糯米可做24个A种粽子或16个B种粽子，现用6 kg糯米制作粽子，为恰好使制作的A种粽子和B种粽子配套，应用多少千克糯米制作A种粽子？ 解：设用n kg糯米制作A种粽子，则用（6-n）kg糯米制作B种粽子. 根据题意，得2×24n=3×16（6-n）. 解得n=3. 答：应用3 kg糯米制作A种粽子. 中考通关练 1.（2025广东一模）若x=3是关于x的一元一次方程4x-m+1=0的解，则m的值为（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 2.二元一次方程组的解为　　　　　.  变式　【整体思想】已知二元一次方程组则x+y=　　　　　，x-y=　　　　　.  D 0 4 　对于方程组①+②即可得出x+y的值，②-①即可得出x-y的值. 3.已知关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为　　　　　.  4.（2025龙东地区）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A.6 B.7 C.4 D.5 13 C 5.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本，若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？   8元/人 7元/人 出钱总数 8x 　　　　  书价 　　　　  　　　　  设学生人数为x. 解：设学生人数是x，该书单价是y元. 根据题意，得 答：学生人数是7，该书单价是53元. 7x 8x-3 7x+4 6.【换元思想】小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　） A.x=y B.x=2y C.x=4y D.x=5y C 7.（2025自贡改编）某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长40 cm，求小平行四边形地砖的长和宽.设每块小平行四边形地砖的长为x cm，宽为y cm，则可列方程组为 （　　） A.B. C.D. A 8.【跨学科】（2025江西）某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=×100%）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍. （1）第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 解：（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅. 根据题意，得 答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅. 解：（2）设需要准备m公斤大米. 根据题意，得×30%×80%=（40+40×2）×30%. 解得m=37.5. 答：需要准备37.5公斤大米. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 方法突破　运用换元法解方程 1.【阅读材料】若x满足（x-4）（x-9）=6，求（x-4）2+（x-9）2的值. 解：设x-4=a，x-9=b，则a-b=（x-4）-（x-9）=5. ∵（x-4）（x-9）=6，∴ab=6. ∴（x-4）2+（x-9）2=a2+b2=（a-b）2+2ab=52+2×6=37. 【解决问题】若x满足（x-2）（x-5）=10，则（x-2）2+（x-5）2的值为　　　　　.  29 2.【阅读材料】解方程组时，可设a-1=x，b+2=y，则原方程组可化为解得即所以此种方法叫做换元法. 运用上述方法解方程组： 解：设 -1=x，+2=y， 则原方程组可化为 即 3.【阅读材料】解方程：=0. 解：设y=，则原方程化为y-=0.解得y=±2.经检验，y=±2都是方程y-=0的解. ∴当y=2时，=2.解得x=-1.当y=-2时，=-2.解得x=. 经检验，x=-1或x= 都是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x=-1或x=. 上述这种解分式方程的方法称为换元法. 【解决问题】（1）已知方程 =0，若设y=，则原方程可化为　　　　　.  （2）运用上述换元法解方程：=0. =0 解：设m=，则原方程化为 m-=0. 解得m1=3，m2=-3. 经检验，m1=3，m2=-3都是方程 m-=0的解. 当 =3时，解得x=-；当 =-3时，解得x=-. 经检验，x=-或x=-都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x=- 或x=-. $第二单元　方程（组）与不等式（组） 课时7　分式方程的解法及应用 命题分析 知识梳理 一、分式方程的概念及解法 1.概念：①　　　　中含有未知数的方程.  2.解法 基本思路：分式方程 整式方程　 1.解方程：. 【答题规范】解：方程两边乘　 　　　，  得　　　　　.  解得　　　　　.  检验：当x=　　　时，　　 　　　.  所以，原分式方程的解为　　　　　. 注：分式方程的增根是指去分母后整式方程的根使原分式方程的分母为0.（北师） 分母 最简公分母 2x（x-3） x-3=4x 　x=-1 　-1 　2x（x-3）≠0 x=-1 　 2.解下列分式方程： （1）-2；　　　　　　　　　　　　 解：方程两边乘x-4，得3-x=-1-2（x-4）.解得x=4. 检验：当x=4时，x-4=0， 因此x=4不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. （2）=1； 解：方程两边乘（x+1）（x-1），得2+x（x+1）=（x+1）（x-1）. 解得x=-3. 检验：当x=-3时，（x+1）（x-1）≠0. 所以，原分式方程的解为x=-3. （3）-2=； 解：方程两边乘 x（x-2），得2x2-2x（x-2）=1. 解得x=. 检验：当x= 时，x（x-2）≠0. 所以，原分式方程的解为x=. （4）=1. 解：方程两边乘（x-2）（x-1），得（x-3）（x-1）-2=（x-2）（x-1）. 解得x=-1. 检验：当x=-1时，（x-2）（x-1）≠0. 所以，原分式方程的解为x=-1. 核心精讲 分式方程的应用 解分式方程应用题的一般步骤：审→设→列→解→双检验→答. 双检验： （1）检验所求解是否是所列分式方程的解； （2）检验是否符合实际问题. 常见问题类型及数量关系： ①购买问题：数量= ；②行程问题：时间= ； ③工程问题：时间=. 注：当题干中没有给出具体工作总量时，可将工作总量看作是1. 1.为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在山上种植梨树6 000棵. （1）现安排志愿者去草木市场采购树苗.已知有A，B两种梨树苗，其中A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，且用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同，则A，B两种树苗的单价分别是多少元？ 解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x-10）元. 根据题意，得 .解得x=40. 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意.∴x-10=30. 答：A种树苗的单价为40元，B种树苗的单价为30元. （2）草木市场现安排甲、乙两辆车运送树苗到90 km外的山地，甲车出发半小时后，乙车出发.已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，且两车同时到达山地，则甲、乙两辆车的速度分别是多少？ 解：设甲车的速度为y km/h，则乙车的速度为1.5y km/h. 根据题意，得 +0.5.解得y=60. 经检验，y=60是原方程的解，且符合题意.∴1.5y=90. 答：甲车的速度为60 km/h，乙车的速度为90 km/h. （3）开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，则原计划每天种植梨树多少棵？ 解：设原计划每天种植梨树 z 棵，则实际每天种植梨树（1+20%）z棵. 根据题意，得 =2.解得z=500. 经检验，z=500是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天种植梨树500棵. （4）某一区域的植树任务分配给了丙、丁两队志愿者，已知丙队单独种植完成任务的时间比丁队单独种植少1天，若两队合作种植，仅需2天即可完成任务.设丁队单独种植完成任务需要a天，则下列方程正确的是（　　） A.=2　　　　 B.=2 C. D.a+（a-1）=2 C 分式方程的含参问题 2.（2025齐齐哈尔改编）已知关于x的分式方程=2. （1）将该分式方程化成整式方程为　　 　　　；  （2）若该分式方程的解为x=2，则m的值为　　　　　；  （3）若该分式方程无解，则m的值为　　　　　.  拓展　（2025龙东地区改编）已知关于x的分式方程 =3的解为正数，则k的取值范围为　　 　　　.  （m+1）x=2 0 -1或1 k>-4且k≠- 中考通关练 1.（2024广东）方程 的解是 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 D 2.（2025东莞一模）经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的燃油费少0.4元.若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则可列方程为 （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　 A.×3 B.×3 C.×3= D.×3= B 3.（2025广东）在解分式方程 -2时，小李的解法如下： 第一步：·（x-2）=-·（x-2）-2， 第二步：1-x=-1-2， 第三步：-x=-1-2-1， 第四步：x=4. 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程. 解：第一步是去分母，依据是等式的基本性质2.解答过程第一步错了. 我的解答过程：·（x-2）=-·（x-2）-2（x-2）， 1-x=-1-2x+4，x=2. 检验：当x=2时，x-2=0， ∴x=2不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解. 4.（2025 扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价. 解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元. 根据题意，得 =3.解得x=16. 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意. ∴×16=20. 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 5. 【跨学科】已知在一定温度下，某气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）满足关系：p=.通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减小20%时，测得气体对汽缸壁所产生的压强增加15 kPa.设加压前汽缸内气体的体积为x（mL），则可列方程为（　　） A.=15 B.=15 C.=15 D.=15 A 6.（2025青岛）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2 100件.公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1 500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单. （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； （2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 解：（1）设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品. 由题意，得 =10.解得x=120. 经检验，x=120是原方程的解，且符合题意.∴1.5x=180. 答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品. （2）设安排甲车间生产m天，则乙车间生产（30-m）天. 由题意，得m≤2（30-m）.解得m≤20. 设生产总量为w件.由题意，得w=180m+120（30-m）=60m+3 600. ∵60>0，∴w随着m的增大而增大. ∴当m=20时，w最大.此时30-m=10. 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天. $