2026年广东中考数学一轮复习课件：第一单元 数与式

第一单元 数与式 课时2　数的开方与二次根式 命题分析 知识梳理 一、算术平方根、平方根、立方根 开方 定义 算术 平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作①　　　　.  注：0的算术平方根是0 平方根 如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作±，a叫做被开方数. 注：正数有两个平方根，它们互为②　　　 　；0的平方根是0；负数没有平方根  立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作③　　　　.  注：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0 相反数 1.（1） 的算术平方根为　　　；=　　　；算术平方根等于本身的数有　　　.  （2）64的平方根为　　　　；的平方根为　　　　　；平方根等于本身的数有　　　　　.  （3）=　　　　　；的立方根为　　　　　；立方根等于本身的数有　　　　　.  2.（广东真题）一个正数的平方根分别是x+1和x-5，则x=　　　.  3 0和1 ±8 ±2 0 -2 2 0和±1 2 二、二次根式的概念与性质 概念 1.定义：一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. 2.有意义的条件：被开方数大于或等于0.（即若二次根式 有意义，则④　　　　　）  3.最简二次根式 4.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式 a≥0 性质 1.双重非负性：⑤　　　0且a≥0. 2.（）2=⑥　　　（a≥0），=|a|=  3.=⑨　　　　（a≥0，b≥0）. 4.=⑩　　　　（a≥0，b>0）.  注：≠+，≠- ≥ a a -a 3.将化为最简二次根式为　　　　　.  4.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　.  5.计算：（1）（-）2=　　　　；　　 （2）=　　　　；  （3）=　　　　； （4）=　　　　.  6.若=x+2，则x的取值范围为　　　　　.  3 x≥2 6 4 30 x≥-2 三、非负数的性质 常见的非负数有：（a≥0），|b|，c2. 若+|b|+c2=0，则a=0，b=0，c=0. 　 7.（1）若|x-1|+（y-2）2+=0.则x+y+z=　　　　　；  （2）若（2a-b）4与互为相反数，则ab的值为　　　　.  0 16 四、二次根式的运算 1.乘法法则：· = ⑪　　 （a≥0，b≥0）； 除法法则： = ⑫　　 （a≥0，b>0）.  2.加减法：先将二次根式化成⑬　　　　　　　，再将被开方数相同的二次根式进行合并.  注：分母有理化： =（a>0）；= =（a≥0，b≥0，a≠b）. 3.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 最简二次根式 8.计算：（1） =　　　　； （2）+=　　　　； （3） =　　　　；  （4） =　　　　； （5）（+1）（-1）=　　　　； （6）（+2）2=　　　　.  3 3 +1 60 7+4 五、无理数的估值 （1）先对平方； （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； （3）对以上两个整数开方； （4）确定与的值相邻的两个整数 举例： （1）（）2=7； （2）4<7<9； （3）=2，=3； （4）2<<3 9.（2025 天津）估计1+的值在（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 10.（2025烟台改编）若实数3的整数部分为a，小数部分为b，则a-b的值是　　　　　.  C 8-3 中考通关练 1.（2025广东）计算的结果是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C. D.2 2.（2024广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　） A.2 B.5 C.10 D.20 B B 3.（2025惠州二模）若+有意义，则（-n）2的平方根是（　　） A. B. C.± D.± 4.若|a-|+=0，则ab=　　　　　.  D 5.（2025汕头模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简-=　　　　　.  6.设6-的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+）b的值是　　　　　.  b 6 7.计算：（1）×2-6； 　　 （2）（2025上海改编）-+. 解：原式=3. 解：原式=-2=-3. 8.【代数推理】已知a，b，n均为正整数. （1）若n<<n+1，则n=　　　　　；  （2）若n-1<<n，n<<n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少　　　　　个.  3 2 9.（人教八下P20改编）观察下列等式： =2；=3；=4；… （1）类比上述式子，写出第4个式子：　　　　　　　；  （2）猜想第n个式子（n≥1，n为整数）为　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ；  （3）证明（2）中的式子. =（n+1）· 证明：=（n+1）·. $第一单元 数与式 课时4　分式 命题分析 知识梳理 一、分式的相关概念与性质 相关 概念 1.定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式（其中B≠0）. 2.分式 有意义的条件是①　　　　；分式 无意义的条件是②　　　　；分式 的值为0的条件是③　　　　　　.注：有意义的条件是a≥0；a0有意义的条件是a≠0.  3.最简分式：分子与分母没有④　　　　的分式  基本 性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. =（C≠0） 通分；=（C≠0） 约分，其中A， B，C是整式 B≠0 B=0 A=0，B≠0 公因式 注：①通分的关键是找最简公分母，即取各分母的所有因式的最高次幂的积（数字因式取它们的最小公倍数）作为公分母，如 的最简公分母是6a2b.②约分的关键是找公因式，即取分子、分母中相同因式的最低次幂（数字因式取它们的最大公约数）作为公因式，如 的分子与分母的公因式是2x. 1.（人教八上P129改编）下列式子： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ . 其中属于分式的是　　　　；属于整式的是　　　　；属于最简分式的是　　　　.（填序号）  2.（1）若分式 的值为0，则x=　　　　；（2）若有意义， 则x的取值范围为　　　　.  3.（北师八下P112）填空：（1）=（x+y≠0）； （2）= . ③⑤⑥ ①②④ ③⑥ -1 x> 2x2+2xy y-2 二、分式的运算 运算 法则 举例 加减 运算 同分母 分式 = +=⑤　　　　；  异分母 分式 ==（关键是通分） -=⑥　　　　；  乘法运算 ·= ·=⑦　　　　；  1 2n2 8 除法运算 =·= ÷=⑧　　　　；  乘方运算 =（n是正整数） =⑨　　　　.  运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序依次进行计算 x-1 核心精讲 分式的化简及求值（5年5考） 例1　先化简，再求值：÷，其中x=-2. 【答题模板】解：原式=　　　　　　　÷（通分，通分的依据是　　　　　　　）  =÷　　　　　（因式分解）  =·　　　　　（除法变乘法）  =.（约分） 当x=-2时，原式=　　　　　.（代入求值）  　 分式的基本性质 =-1 易错提醒　①通分时不要忘记常数项也要乘最简公分母；②化简结果应为最简分式；③分数线有括号的作用；④所代数值要使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0.　 1.先化简，再求值：÷，其中x=. 解：原式=. 当x=时，原式=-. 2.先化简：÷，再从-1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值.          3.（2025北京改编）已知a+b-3=0，则代数式的值为　　　　　.  解：原式=. ∵x≠±1且x≠2，∴x的值可以是0，3. 当x=0时，原式= 中考通关练 1.（2025汕头模拟）若分式 =0，则x的值为　　　　　.  2.计算：（1）（2024广东） =　　　　　； （2）（2025河南） =　　　　　.  3.（2025齐齐哈尔）若代数式+（x 2 025）0有意义，则实数x的取值范围是　　　　　　　.  0 1 x+1 x>3且x≠2 025 4.（2025河北）若a=-3，则=（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-3 B.-1 C.3 D.6 5.（2025凉山州）先化简，再求值：1-÷.求值时请在 -2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）. B 解：原式=1-. ∵x≠0，x+2≠0，x-2≠0，∴ x≠0且x≠±2. 又-2≤x≤2，且x为整数，∴ x可取1，-1. 当x=1时，原式=-=4.（或当x=-1时，原式=-.） 6.【跨学科】照相机成像应用了一个重要原理，可用公式 =+（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f，v，则u=（　　） A. B. C. D. C 7.（2025成都改编）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和. 如：==+，==+，==+，… （1）将 拆分成两个单位分数相加的形式为　　　　　；  （2）一般地，对于任意奇数k（k>2），将 拆分成两个不同单位 分数相加的形式为 =　　　　　　　　；  （3）证明（2）中的结论. 证明：∵. ∴. $第一单元 数与式 课时1　实数 命题分析 知识梳理 一、正负数的意义 理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量. 1.（人教七上P4）如果水位升高3 m时水位变化记作+3 m，那么水位下降3 m时水位变化记作　　　　　m，水位不升不降时水位变化记作　　　　　m. 　 　 -3 0 二、实数的分类 实数 有理数 0 无限不循环 注：常见的几种无理数：①开方开不尽的数的方根，如等；②化简后含根号的三角函数值，如sin 60°，cos 45°，tan 30°等；③π及化简后含有π的数，如π+1， 等；④有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…（相邻的两个1之间依次多一个0）等. 2.将下列各数的序号填入相应的大括号：①－4；②0；③2；④；⑤；⑥0.；⑦π；⑧0.020 020 002…（相邻的两个2之间依次多一个0）；⑨－3.141 5. （1）有理数：｛　　　　　　　…｝；　　　　　　 （2）无理数：｛　　　　　　　…｝；  （3）正实数：｛　　　　　　　…｝； （4）非负整数：｛　　　　　　　…｝.  ①②③④⑥⑨ ⑤⑦⑧ ③④⑤⑥⑦⑧ ②③ 三、实数的相关概念 数轴 1.定义：规定了④　　　　、⑤　　　　、⑥　　　　　的一条直线叫做数轴.（如图）  2.实数与数轴上的点是一一对应的. 注：若数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为⑦　　　　，线段AB的中点表示的数为⑧　　　　  原点 正方向 单位长度 |a-b| 相 反 数 1.定义：只有⑨　　　　不同的两个数叫做互为相反数，如-5与5互为相反数.  2.实数a的相反数是⑩　　　　，特别地，0的相反数是⑪　　　.  3.若a，b互为相反数，则a+b=⑫　　　　.  4.几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两端，且与原点的距离⑬　　　  符号 -a 0 0 相等 绝 对 值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的⑭　　　　叫做数a的绝对值，记作⑮　　　　.  2.用式子表示：|a|= 3.非负性：对任意的实数a，总有|a|≥0 倒数 1.定义：乘积是⑲　　　　的两个数互为倒数，如 与2互为倒数.  2.非零实数a的倒数为⑳　　　　；㉑　　　　没有倒数；倒数恰是它本身的数是㉒　　　　.  3.若a，b互为倒数，则ab=㉓　　　  距离 |a| a 0 －a 1 0 1或-1 1 3.（1）-2的相反数是　 　；若a的相反数是，则a=　 　　.  （2）- 的绝对值是　　　　　；若|a|=3，则a=　　　　　.  （3）9的倒数是　　　　　；若a的倒数是它本身，则a=　　　　　.  2 　- ±3 ±1 4.如图，数轴上标有A，B，C三个点. （1）点C表示的数是　　　　　，它的相反数是　　　　　；  （2）点B表示的数是　　　　　，它与点　　　　　表示的数互为相反数，两点离原点的距离均为　　　　　.  5.（新人教七上P11改编）已知点A，B在同一条数轴上，若点A表示的数是－2，且AB=3，则点B表示的数为　　　　　.  3 　-3 2 A 2 1或－5 四、科学记数法 1.定义：把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法. 2.表示方法：（1）当|原数|≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1.例如，38 400的位数为5，所以n=5－1=4；（2）当0<|原数|<1时，n为负整数，|n|等于原数左起第一个非零数前所有零的个数（包含小数点前的零）.例如，0.004 5左起第一个非零数前所有零的个数为3，所以n=-3. 注：1亿=108，1万=104，1 微米（μm）=10-6米（m），1纳米（nm）= 10-9米（m）. 6.用科学记数法表示下列各数： （1）110 000=　　　　　；　 （2）－0.000 001 4=　　　　　 ；  （3）3.1 万=　　　　　； （4）20 亿=　　　　　；  （5）0.5 μm=　　　　　m； （6）14.5 nm=　　　　　m.  7.（2024广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3.84×104 B.3.84×105 C.3.84×106 D.38.4×105 1.1×105 －1.4×10-6 3.1×104 2×109 5×10-7 1.45×10-8 B 8.（2025 广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024—2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3 000 亿元.数据3 000 亿用科学记数法表示为（　　） A.3×109 B.3×1010 C.30×1010 D.3×1011 D 五、近似数 1.近似数：一个数只是接近实际数，但与实际数有差别，这个数是一个近似数. 2.精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 3.常见的精确度： （1）精确到十分位⇔精确到0.1⇔保留小数点后一位； （2）精确到百分位⇔精确到0.01⇔保留小数点后两位. 9.（人教七上P46改编）用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.003 56≈　　　　　（精确到万分位）；　　 （2）61.235≈　　　　　（精确到个位）；  （3）1.893 5≈　　　　　（保留小数点后三位）； （4）0.057 1≈　　　　　（精确到0.1）.  0.003 6 61 1.894 0.1 六、实数的大小比较 1.类别比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而㉔　　　　.  2.数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数㉕　　　　.  3.作差比较法 4.平方比较法：a ㉙　　　　b⇔>，其中a>0，b>0.  小 大 a>b a<b a=b > 10.（北师七上P29改编）比较下列各组数的大小： （1）－10　　　－7；（2）－3.5　　　1；（3）0　　　－9； （4）　　 ；（5）　　   .  11.（人教七上P52改编）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示. （1）用“>”或“<”填空： ①a　　b；②|a|　　|b|；③a　　-b；④a+b　　0；⑤　　　0.  （2）将a，b，－a，－b用“<”连接为 　　　　　 .  < < > > < < < > > < －b<a<－a<b 七、实数的运算 运算 法则 举例 加法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值㉚　　　　.  2.异号两数相加，绝对值不相等时取绝对值㉛　　　　的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时两数相加得㉜　　　　.  3.一个数同0相加，仍得这个数 （-1）+（-3）=㉝ 　 ；  4+（-3）= ㉞　　　；  （-5）+5= ㉟　　　；  0+（-2）= ㊱　　　  减法 减去一个数，等于加上这个数的㊲　 　　，即a-b=a+（-b）  3-7=3+ ㊳　　 　= ㊴　 ；  0-（-6）= ㊵　　　  相加 较大 0 -4 1 0 -2 相反数 （-7） -4 6 乘法 1.两数相乘，同号得正，异号得㊶　　　，并把绝对值相乘.  2.任何数与0相乘，都得0 3×（-2）=㊷　　 　；  （-4）×（-3）=㊸ . 除法 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的㊹　　　　，即a÷b=a·（b≠0）. 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0 2÷（-2）=2×㊺　　　=㊻　　　 ；  （-12）÷（-3）=㊼　   负 -6 12 倒数 -1 4 乘方 an=a·a·…·a（n个a相乘），其中a是底数，n是指数 （-3）2=㊽　　　；-32=㊾　　　；  =㊿　　　；= 　　　  零次幂 a0= 　　　　（a≠0）  （π-3.14）0= 　　　  -1的奇 偶次幂 （-1）n= （-1）2 025= 　　　　；  （-1）2 026= 　　　  9 -9 1 1 -1 -1 1 负整数 指数幂 a-n= 　　（a≠0，n是正整数）  = = 　　　  去绝对 值符号 |a-b|= = 　　　  混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 4 -1 12.计算：（1）（2025 绥化）（－1）2 025+=　　　；  （2）（2025山西）×6－32+（－8+4）=　　　　　.  13.计算：（1）－13×－+； 　　　　　 （2）－2-2+|－|+2 0250－2cos 45°.   0 －10 解：原式=－3－2+2=-3. 解：原式=－+3+1－2×. 中考通关练 1.（2025广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作+0.02 g，那么低于标准质量0.02 g记作（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－0.02 g B.+0.02 g C.－0.04 g D.+0.04 g A 2.（2025河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为（　　） A.0.74×10-4 B.7.4×10-4 C.7.4×10-5 D.74×10-6 C 3.（2025北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 （　　） A.a>-1 B.a+b=0 C.a-b>0 D.|a|>|b| 4.（2025广东）计算20-2sin 30°的结果是　　　　　.  D 0 5.计算：（1）-（-2）2×+；     （2）（2025云南）（π-2）0-（）2+|-6|+-2cos 60°.     解：原式=2--4×+4×+9=2--2+1+9=10-. 解：原式=1-3+6+5-1=8. 6.【新定义】（2025威海）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率. 二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数： 22=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20=101102. 传统三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数： 22=2×32+1×31+1×30=2113. 将二进制数10112化为三进制数为（　　） A.1023 B.1013 C.1103 D.123 A 7.【数形结合】在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离. （1）若|x-2|=4，则x=　　　　　；  （2）当|x+1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是　　　　　；  （3）若|x+1|+|x-2|=4，求x的值. -2或6 -1≤x≤2 解：分下列三种情况讨论： ①当x≤-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=4. 解得x=-. ②当-1≤x≤2时，结合数轴可知，|x+1|+|x-2|恒等于3，不符合题意，舍去. ③当x≥2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=4.解得x=. 综上所述，x的值为- 或 . $第一单元　数与式 教材深挖与中考新考向 主题 自然数被整除的规律 【教材溯源】（新人教七上P109）用代数式表示十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的和.这个和能被11整除吗？ 解：能.理由：∵10a+b+（10b+a）=11（a+b）， ∴这个和能被11整除. 1.【材料阅读】在小学，我们知道像12，27，36，45，108这样的自然数能被3整除.一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数能被3整除.你能说出其中的道理吗？ 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a，b，则可记这个两位数为.于是=10a+b=9a+（a+b）.显然9a能被3整除，因此，如果a+b能被3整除，那么9a+（a+b）就能被3整除，即能被3整除. 【方法运用】（1）我们用表示一个三位数.其中a，b，c分别表示百位、十位、个位上的数，即=100a+10b+c.已知a+b+c能被3整除，求证：能被3整除.请将下面的证明过程补充完整. 证明：∵=100a+　　　　　+c=99a+　　　　　+（a+b+c），  又99a和　　　　能被3整除，a+b+c能被3整除，∴能被3整除.  10b 9b 9b （2）若四位数（1<x<4）能被3整除，求x的值. 【类比应用】（3）已知三位数中，a+b+c能被9整除，求证：能被9整除. 解：由题意，得=1 000+200+30+x=999+198+30+ （1+2+x）=999+198+30+（3+x）. 由条件可知3+x能被3整除，且1<x<4，∴x=3. 证明：∵=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c），且a+b+c能被9整除，99a+9b能被9整除， ∴能被9整除. 主题 杨辉三角 【教材溯源】（北师七下P24改编）利用多项式乘法法则填空： （1）（a+b）0=　　　　　；　　　　　　　 （2）（a+b）1=　　　　　；  （3）（a+b）2=　　　　　　　；　　 （4）（a+b）3=　　　　　　　　.　  1 a+b a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3 2.（新人教八上P118改编）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表（从第三行开始，首尾两数为1，中间各数均为它上方左右两数之和）.人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与其右侧的等式，根据图中各式的规律，回答下列问题： （1）第8行第3个数为　　　　　；  （2）（a+b）7的展开式中共有　　 项，各项的系数之和为　　　　.  21 8 128 “杨辉三角”常见规律总结： （1）第n行（n≥2）的第2个数为n-1，第n行（n≥3）的第3个数为 ； （2）第n行所有数的和为2n-1； （3）（a+b）n的展开式中共有（n+1）项， 各项的系数与“杨辉三角”中第（n+1）行的数 字一一对应，展开的多项式的各项系数之和为2n. 主题 无理数与几何 【教材溯源】（新人教七下P42改编）如图，某小组用了两个面积为1 dm2的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形.根据上述操作过程，大正方形的边长为______dm.　 3.（2025东莞一模）数学活动 按照国际标准，A系列纸均为矩形纸，其中A0纸的面积为1 m2，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸，将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸，将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸，将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸. 【操作与观察】（1）将一张A4纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是AE和AP），线段AB落在线段AD上，点B的对应点是点B'，观察发现点E恰好与点D重合，求证：A4纸的长是宽的倍. 证明：设A4纸的长为m，宽为n. 第一次折叠，形成一个正方形， ∴AE=n.第二次折叠，得到AE=AD=m， ∴.∴A4纸的长是宽的倍. 【猜想与验证】（2）在图④中，连接PE，求证：△C'DP是等腰直角三角形. 如答图.由（1）得AD=n，CD=n. 第3题答图 由折叠的性质，得CE=DB'=（-1）n，PC=PC'，∠C'=90°，CE=DC'=（-1）n. 设PC=PC'=x，则DP=n-x. 在Rt△DPC'中，由勾股定理，得DC'2+PC'2=DP2， 即（-1）2n2+x2=（n-x）2. 解得x=（-1）n. ∵DC'=（-1）n=PC'，∠C'=90°， ∴△C'DP是等腰直角三角形. 【类比与归纳】（3）类比上述研究可以得到用A0纸截剪出的最大正方形的面积为　　　　　m2.  $ 第一单元 数与式 课时3　代数式、整式与因式分解 命题分析 知识梳理 一、代数式 代数式 用基本运算符号把数或表示数的①　　　　连接起来的式子，叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式  列代数式 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来 代数式求值 （1）直接代入法；（2）整体代入法（整体思想）；（3）化简求值 字母 1.（2025广安改编）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是　　　　　元.若该商品在打折的基础上每件又降10元，则每件商品的售价是　　　　　元，当a=110时，每件商品的售价为　　　　　元.  2.（广东真题）已知x=5-y，xy=2，计算3x+3y-4xy的值为　　　　.  0.8a （0.8a-10） 78 7 二、整式的相关概念 单项式 由数或字母的②　　　　组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.  系数：单项式中的数字因数. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的③　　　　.  注：单独一个非零数的次数是0 积 和 多项式 几个单项式的④　　　　叫做多项式.其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.  次数：多项式中次数最高项的次数 整式 单项式和多项式统称整式 同类项 所含字母相同，并且相同字母的⑤　　　也相同的项叫做同类项  和 指数 3.（1）单项式-a3b的系数为　　　　　，次数为　　　　　；  （2）多项式3xy2-2y-1是　　　　　次　　　　　项式，其中三次项为　　　　　，一次项的系数为　　　　　，常数项为　　　　　；  （3）请写出4πa2b的一个同类项　　　　　　　　　　.  -1 4 三 三 3xy2 -2 -1 a2b（答案不唯一） 三、整式的运算 运算 法则 举例 加减 运算 合并同类项 把同类项的系数⑥　　　　，字母及字母的指数不变  2x2y-3x2y=⑨ 　； 2m-（m-2）=⑩　　　  去括号 用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号⑦　　　　；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号⑧　　　　  相加 相同 相反 -x2y m+2 幂的 运算 （m，n都 是正 整数） 同底数幂相乘 am·an=am+n a4·a2=⑪ 　　　  同底数幂相除 am÷an=am-n（a≠0，m>n） a4÷a2= ⑫　　　  幂的乘方 （am）n=amn （a4）2=⑬　　　  积的乘方 （ab）n=anbn （4b）2=⑭　　　  a6 a2 a8 16b2 乘法 运算 单项式与 单项式相乘 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如ac5·bc2=（a·b）（c5·c2）=⑮　　　  3ab·2a2= 　⑯　　  单项式与 多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如m（a+b+c）=⑰　　　　　  2a（3a+b-2）=⑱　　　　  多项式与 多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如（a+b）·（m+n）=⑲　　　　　　　  （2a-1）· （a+3）=⑳　　　　  abc7 6a3b ma+mb+mc 6a2+2ab-4a am+an+bm+bn 2a2+5a-3 乘法 运算 乘法公式 1.平方差公式：（a+b）（a-b）=㉑　　　.  2.完全平方公式：（a±b）2=㉒　　　　　.  注：完全平方公式的常见变形： （1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab； （2）（a+b）2-（a-b）2=4ab； （3）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2） （1）（x-3）（x+3）=㉓　　　　；  （2）（2x-5）（2x+5）=㉔　　　　；  （3）（2x-1）2=㉕　　　　　；  （4）若a+b=5，ab=6，则a2+b2= ㉖　　　　，a-b=㉗　　　　  a2-b2 a2±2ab+b2 x2-9 4x2-25 4x2-4x+1 13 ±1 除法 运算 单项式除以 单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如12a3b2x3÷3ab2=㉘　　　  6x4y÷2x3=㉙ 　　　  多项式除以 单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如（am+bm）÷m=㉚　　　  （amn+3bm）÷m=㉛　　　  4a2x3 3xy a+b an+3b 4.（2024广东）下列计算正确的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a2·a5=a10 B.a 8÷a 2=a4 C.-2a+5a =7a D.（a 2）5=a10 5.已知9m=3，27n=4，则32m+3n=（　　） A.1 B.6 C.7 D.12 变式　 若m，n满足3m-n-4=0，则8m÷2n=　　　　　.  D D 16 6.计算：（2a-1）2+（a+1）（1-a）-3a（a-2）.     7.先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x-y）-2x2，其中x=，y=.  解：原式=4a2-4a+1+1-a2-3a2+6a =（4a2-a2-3a2）+（-4a+6a）+（1+1） =2a+2. 解：原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2=2xy. 当x=，y=时，原式=2×. 四、因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 注：一个多项式 几个整式的积. 2.方法 m（a+b+c） （a+b）（a-b） a+b a-b （x+p）（x+q） 注：用十字相乘法分解因式的步骤： 3.因式分解的一般步骤：①提公因式；②公式法（平方差公式或完全平方公式）；③十字相乘法；④重复前面步骤，直至分解彻底. 8.因式分解： （1）xy-x=　　　　　；　 （2）（2023广东）x2-1=　　　　　　　；  （3）（2025 甘肃）x2-6x+9=　　　　　； （4）4xy2-4x2y-y3=　　　　　　；  （5）x2+2x-3=　　　　　　　； （6）【易错题】（2x+y）2-（x+2y）2=　　　　　　　　.  x（y-1） （x+1）（x-1） （x-3）2 -y（2x-y）2 （x+3）（x-1） 3（x+y）（x-y） 中考通关练 1.如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项，那么m+n=　　　　　.  2（2025龙东地区改编）下列运算正确的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5a·2a=10a B.2ab÷=ab C.（-2a2b3）3=-8a6b9 D.（-a+b）（a+b）=a2-b2 3.因式分解： （1）（2025广东）a2b+ab2=　　　　　；　 （2）（2025齐齐哈尔）2x3-8x=　　　　　　　　　　　；  （3）（x-3）（x-5）+1=　　　　　； （4）【易错题】x4-1=　　　　　　　　　　　.  4 C ab（a+b） 2x（x+2）（x-2） （x-4）2 （x2+1）（x+1）（x-1） 4.【跨学科】如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3.当R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2时，U的值为　　　　　.  5.（2025自贡）若2a+b=-1，则4a2+2ab-b的值为　　　　　.  6.若x+=，且0<x<1，则x2-=　　　　　.  220 1 - 7.如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按如图②所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图①）拼出来的图形的总长度是　　　　　.（结果用含a，b的代数式表示）  a+8b 8.（2025汕头三模）先化简，再求值：［（3x-y）（2x+y）-（x-3y）2 +10y2］÷x，其中x=-1，y=2. 解：原式=（6x2+xy-y2-x2+6xy-9y2+10y2）÷x=（5x2+7xy）÷x=5x+7y. 当x=-1，y=2时，原式=5×（-1）+7×2=-5+14=9. 9.【数形结合】如图，正方形ABCD与正方形EFGH相互重合，重叠部分FJDI是一个长方形，延长JD，ID分别与正方形EFGH的边交于点K，M.若阴影部分两个四边形EIDK和DJGM均为正方形，且两部分面积之和为60，AI=5，JC=3，则重叠部分FJDI的面积为　　　　　.  28 10.【代数推理】（2025安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则m=；若余数为1，则m=2n；若余数为2，则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3. （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　　　　　；  （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　　　　　.  2 11 $