宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

宁朔中学2025-2026（一）高二数学 期末考试测试卷 一．单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 答案： 单选1-8 DCAC ABCD 多项选择 9.BD 10 ABD 11 BD 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出准线即可. 【详解】抛物线的准线方程是. 抛物线，则，所以准线方程是. 故选：D. 2．若向量，且，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可. 【详解】，， ， 由，则，解得. 3．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 4．已知五个数成等差数列，则（     C） A．21 B．24 C．27 D．30 5．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 6．过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 7．如图，在棱长为2的正四面体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线//平面 B．平面平面 C．点F到平面的距离为 D．异面直线AB与CD所成角为90° 【答案】C 【分析】A由中位线有，线面平行判断结论；B由题意有，再应用线面、面面垂直的判定判断结论；C由题意易知到面距离为点F到面距离的2倍，即可求点面距离；D若为中点，连接，易知：，最后由线面垂直的判定、性质即可证. 【详解】A：在△中为中位线，则，面，面， 所以面，故正确； B：正四面体各侧面都为正三角形，为中点，则， ，面，故面， 面，故平面平面，故正确； C：由题意知：，即到面距离为点F到面距离的2倍， 而到面距离为正四面体的体高为， 所以F到面距离为，故错误； D：若为中点，连接，易知：， ，面，故面，面， 所以，故正确.    故选：C 8．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（    ）    A．1984 B．2048 C．5724 D．5832 【答案】D 【分析】首先根据题意得到表示数列的第108项，再计算其数值即可. 【详解】由题意：前10行共有， 表示数列的第108项. 所以. 故选：D 二．多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】BD 10．已知双曲线，则（  ABD  ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 11．以下命题正确的有（   ） A．若等差数列满足，，则 B．已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C．若数列满足，，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，能解决等差数列问题，利用周期数列，解决递推数列问题. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数n的值为8，故B正确. 对于C，，，且，，， 则此数列有周期性，故是周期为的数列，即， 则， 故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列，sn 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知直线与直线平行，则实数 . 13．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________. 14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】3 四 解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； 16．已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（１）设圆的方程为，根据已知条件列出方程组求解即得； （２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为，即. （2）因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17.(1) 18．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 19.（17分）已知抛物线，过其焦点F做两条互相垂直的直线，，交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点. （1）若直线斜率为2，求长； （2）求四边形ACBD面积最小值. ( 2 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁朔中学2025-2026（一）高二数学 期末考试测试卷 一．单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．若向量，且，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知五个数成等差数列，则（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 5．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若， 则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 6．过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正四面体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，则下列结论错误的是（    ） A． 直线//平面 B． 平面平面 C．点F到平面的距离为 D．异面直线AB与CD所成角为90° 8．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（    ）    A．1984 B．2048 C．5724 D．5832 二．多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 10．已知双曲线，则（  ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 11．以下命题正确的有（   ） A．若等差数列满足，，则 B．已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C．若数列满足，，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知直线与直线平行，则实数 . 13．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________. 14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为__________. 四 解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 16．（15分）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.（直线化为一般方程） 17．（15分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程.(直线化为一般方程） 18．（17分）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知抛物线，过其焦点F做两条互相垂直的直线，，交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点. （1）若直线斜率为2，求长； （2）求四边形ACBD面积最小值. ( 2 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $