精品解析：河南省襄城高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

2025级高一新生开学考数学试卷 试卷说明： 1.试卷分值：100分；时长：100分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共9小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知，则和的值分别为（ ） A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,6 3. 若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的值为（ ） A. 16 B. C. 24 D. 5. 已知，，则值为（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 7. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知PA是的切线，A为切点，PC与相交于B，C两点，，，则PA的长等于（ ）. A 4 B. 16 C. 20 D. 9. 已知二次函数部分图象如图所示，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，.其中正确个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共4小题，共16分） 10. 若，且满足，则的值为________． 11. 计算______． 12. 不等式的解集为____________. 13. 已知直角梯形的四条边长分别为，，，过，两点作圆，与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_____. 三、解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知，，求，. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求最大值. 16. 已知函数，. （1）求、的单调区间； （2）求、最小值. 17. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 18. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一新生开学考数学试卷 试卷说明： 1.试卷分值：100分；时长：100分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共9小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式 ，将 变形，然后代入已知条件求值即可. 【详解】由题. 故选：C. 2. 已知，则和的值分别为（ ） A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，分别构造和求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以，即，所以； 又 ， 故选：C 3. 若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方可得，由求解即可. 【详解】由于实数满足，则,所以，解得， 故选：B 4. 已知，，，则的值为（ ） A. 16 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设式子变形可得，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，，， 即，，， 则，即， 则，即. 故选：D 5. 已知，，则的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 化简代数式，利用完全平方公式配方，可得答案. 【详解】∵，， ∴ . 故选：C 6. 不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果. 【详解】原不等式可化为或或， 解得0≤x≤3， 所以最小整数解0， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目. 7. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线分线段成比例定理列式判断即得. 【详解】由，且和对应，和对应，和对应， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 8. 如图，已知PA是的切线，A为切点，PC与相交于B，C两点，，，则PA的长等于（ ）. A. 4 B. 16 C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，可知，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】取的中点，连接，设圆的半径为， 则，且， 因为，且， 即，解得，即. 故选：D. 9. 已知二次函数部分图象如图所示，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，.其中正确个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象的开口方向、对称轴位置、所过的点以及二次函数的表示形式以及最值信息即可依次分析求解判断①②③④. 【详解】因为该抛物线开口向下，所以. 又因为对称轴为直线，所以，结论①正确； 因为抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点为，即当时，， 所以，所以，结论②错误； 因为抛物线与x轴的两个交点为，， 所以多项式可因式分解为，结论③错误； 因为对称轴为直线，且函数开口向下，所以当时，y有最大值. 由得当时，. 当时，，所以无论m为何值时，. 所以，结论④正确； 综上正确的有①④. 故选：B 二、填空题（本题共4小题，共16分） 10. 若，且满足，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用可得，，，代入原式，再借助完全平方公式可化简求值. 【详解】∵，且， ∴，，， 原式 ． 故答案为：3 11. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】 运用裂项相消求和即可. 【详解】此问题可以看作数列的前50项和. 即. 故答案为：5. 12. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论去绝对值后，解出不等式即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 综合得不等式的解集为. 故答案为：. 13. 已知直角梯形的四条边长分别为，，，过，两点作圆，与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】延长交圆于点，设的中点分别为点，则，由割线定理得，再求得的值． 【详解】延长交圆于点，因为是直角梯形，所以， 设的中点分别为点，则易知， 因为，由割线定理得，，所以， 所以. 三、解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知，，求，. 【答案】或，或. 【解析】 【分析】 求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，. 【详解】或， 或. 因此，或，或. 【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值. 详解】（1），，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为； （2）由知. 当或时，； 当时，，由基本不等式可得. 当且仅当，即当时等号成立. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”. 16. 已知函数，. （1）求、的单调区间； （2）求、的最小值. 【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为； （2）函数的最小值为，函数的最小值为. 【解析】 【分析】（1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴，可得出函数的减区间和增区间，以及函数的增区间； （2）由函数和函数的单调性可得出这两个函数的最小值. 【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为； （2）由（1）知，函数在处取得最小值， 由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值. 【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 【答案】，作图见解析. 【解析】 【分析】分、、、四种情况讨论，可得出函数的解析式，并由此作出该函数的图象. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上：函数解析式为. 按照分段函数画出图象，如下图： 18. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）分7为底边长，7为腰长两种情况讨论，先通过一元二次方程解的个数或者根为7确定的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边判定的取值是否能使三角形存在，即可求解 【小问1详解】 因为是关于的一元二次方程的两实数根． 所以， 又因为，所以， 所以，即，解得或， 当时，，不符合题意，故舍去， 所以，经验证满足； 【小问2详解】 ①当7为底边长时，方程有两个相等的实数根， 所以，解得， 所以方程为，解得， 又因为，所以不能构成三角形； ②当7为腰长时，设，代入方程得， 解得或， 当时，方程为，解得， 又，所以不能构成三角形； 当时，方程，解得， 此时能构成三角形，的周长为. 综上，的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $