第04讲 定义、命题、定理与平移（知识点+大题型+过关测） 寒假讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册（云南专业）

第04讲 定义、命题、定理与平移 思维导图 知识点1：定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义。 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题。 真命题：正确的命题叫做真命题。 假命题：不正确的命题叫做假命题。 知识点2：平移 1.定义与要素：在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离。平移由移动的方向和距离决定。 2.基本性质：平移前后图形的形状、大小完全相同（全等变换）。 对应点连线平行（或在同一直线上）且长度相等。 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 【题型1 判断是否是定义】 例1．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 变式1．（下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 【题型2 判断是否是命题】 例3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 例4．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 变式2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【题型3 真假命题判断】 例5．（25-26七年级上·云南红河·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．若，则可能 B．两直线平行，同位角相等 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．对顶角相等 例6．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 变式1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 变式2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列命题中，真命题是(   ) A．垂线段最短 B．两个锐角的和一定是钝角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 【题型4 写出命题的题设与结论】 例7．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 例8．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果 ，那么 ． 变式1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）将命题“两直线相交，只有一个交点”改写成“如果……那么……”的形式是 ，它是 命题（填真或假）. 变式2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【题型5 生活中的平移现象】 例9．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．落叶随风飘落 B．把打开的数学课本合上 C．升降电梯的上下移动 D．荡秋千运动 例10．（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·云南怒江·月考）下列生活中物体的运动情况可以看成平移的是（    ） A．升降电梯的上下移动 B．随风摆动的旗帜 C．钟摆的摆动 D．在荡秋千的小朋友 【题型6 图形的平移】 例11．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25七年级下·云南昭通·期末）“半城苹果，满城飘香”，昭通苹果走进了人民大会堂，走向全世界．将图中的昭通苹果标志通过平移可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图是官渡区国家级非遗代表性项目乌铜走银技艺制作的工艺品．下列选项由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）《哪吒之魔童闹海》以炫目的特效画面、扣人心弦的情节、立体鲜活的人物，将传统文化与现代创意激情碰撞，绽放出中国动画电影的璀璨光芒．通过平移下图“哪吒头像”可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用平移的性质求解】 例13．（24-25七年级下·云南大理·期中）有下列说法：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②图形平移的方向一定是水平的；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④轴上的点，纵坐标为0；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例14．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，把一个含的三角板沿直尺平移得到三角板，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在一块长为21米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的横、纵相交的小路，则这块草地青草覆盖的面积为 平方米． 【题型8 平移作图】 例15．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出的坐标． (2)求三角形的面积． 例16．（24-25七年级下·云南昭通·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，若将三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到三角形． (1)请写出点的坐标，并画出平移后的三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标是 ． 变式1．（24-25七年级下·云南红河·期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)画出三角形； (2)连接，，那么与的数量关系是______，位置关系是______． 变式2．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出； (2)并直接写出点，，的坐标． 【题型9 利用平移解决实际问题】 例17．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）在曲靖人民心中，麒麟水乡就是世外桃源，也是心之归处．盛夏的麒麟水乡秀丽端庄，千亩荷花在微风中飘曳，远远望去，青山如黛，绿水生烟．此时荷花竞相开放，有的才露尖尖角，微微探出头来；有的含苞待放，一抹嫣红染透了花瓣；有的已是亭亭玉立，花辫舒展明艳清丽．勾勒出一幅美丽的夏日荷塘画卷，叫人如痴如醉、心旷神怡．为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若长方形荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为（   ） A． B． C． D． 例18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 变式1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 变式2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【题型10 平移与平行线综合问题】 例19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 例20．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，把沿直线平移，得到．若，，求的长． 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26六年级上·黑龙江绥化·月考）如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．        过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·云南大理·期中）有下列说法：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②图形平移的方向一定是水平的；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④轴上的点，纵坐标为0；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·云南临沧·期末）下边的四个图案中，能由已知图案经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 5．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 6．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）如图，沿射线方向平移到，若，，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，将直角三角形沿方向平移3个单位得到三角形，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知，，．则图中阴影部分的面积为 ． 9．（25-26七年级上·云南丽江·期中）命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 10．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．其中，是真命题的有 （填序号） 11．（24-25七年级下·云南昆明·期中）将命题“两直线相交，只有一个交点”改写成“如果……那么……”的形式是 ，它是 命题（填真或假）. 三、解答题 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 13．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 15．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 1．C 【分析】此题考查了命题的真假，对顶角，平行线的性质，垂线段最短，平行公理和垂直的定义， 根据以上知识点判断每个命题的真假即可． 【详解】解： ①相等的角不一定是对顶角，是假命题； ②两条直线被第三条直线所截时，内错角不一定相等，只有当两直线平行时才成立，是假命题； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线性质，是真命题； ④从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是真命题； ⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，是真命题． ∴真命题有3个． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查真假命题的判断，掌握知识点是解题的关键． 逐一判断各命题的正确性，即可解答． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项错误； ②平移方向可以是任意方向（如竖直或斜向），不一定是水平，该项错误． ③平面内与已知直线垂直的直线有无数条，需限定“过一点”才有唯一性，该项错误． ④x轴上点的纵坐标恒为0，该项正确． ⑤平行公理要求“过直线外一点”才有且仅有一条平行线，该项错误． 综上，仅④正确． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．根据平移的性质即可得出结论． 【详解】解：A、不能通过平移得到，不合题意； B、不能通过平移得到，不合题意； C、能通过平移得到，符合题意； D、不能通平移得到，不符合题意． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，等式的性质，相反数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； C、若，则，原命题是假命题； D、0的相反数是其本身，原命题是假命题； 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查平移的距离，由平移的性质可知，平移的距离为，根据已知求出即可 【详解】解：由平移的性质可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选C． 7． 【分析】求阴影部分的面积时，若阴影部分不是规则的几何图形，可以通过面积的和差关系，将阴影部分的面积转化为几个规则的几何图形面积的和或差．根据平移的性质得到，，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：解：由平移的性质可知：，， ∴， ∴， 故答案为：15． 8．22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，， ∵为和的公共部分， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 9．假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 10．①③ 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线具有传递性．根据同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，平行线的传递性进行分析． 【详解】解：①③是真命题，②是假命题， 故答案为：①③． 11． 如果两直线相交，那么它们只有一个交点； 真 【分析】本题考查了真假命题的判断，命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：“两直线相交，只有一个交点”改成：如果两直线相交，那么它们只有一个交点，该命题是真命题， 故答案为：如果两直线相交，那么它们只有一个交点；真 12．(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 13．(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 14． 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $