题型05 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动问题（题型专练）（黑吉辽蒙专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

题型05 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动问题目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 总方法透视 典例引领 变式演练 考向01 与斜面结合的平抛运动 考向02 与曲面结合的平抛运动 考向03 空间抛体运动问题 考向04 斜抛运动问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 黑吉辽蒙高考物理“斜面上的平抛及类平抛”是曲线运动核心综合模型，近5年（2021-2025）稳定出现，集中在选择中档题+力学综合大题，常结合牛顿定律、动量/能量，是区分度关键，以下为结构化考情分析。 定义：平抛（初速水平、只受重力）；类平抛（初速与加速度垂直、匀变速曲线，如电场中带电粒子）；斜面上的两类模型——从斜面外水平抛出落斜面、沿斜面抛出/垂直斜面抛出。按位移分解或速度分解求时间，抓等时性与斜面几何约束（tanθ=y/x），类平抛替换加速度为a=F/m即可迁移规律。水平抛落斜面（求时间/速度偏角）、垂直斜面抛出（往返时间/最大距离）、类平抛（电场）+斜面约束；核心规律为正交分解、等时性、斜面几何关系。 斜面平抛模型 1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律； (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 2．常见的模型及处理方法如下： 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 考向01 与斜面结合的平抛运动 【例1-1】（2025·辽宁·模拟预测）跳台滑雪是一种通过助滑坡获得速度后比拼跳跃距离和动作姿势的雪上项目；其比赛场地的简化图如图所示。运动员到达倾角为的斜面顶端O点时以的速度飞出，速度方向与水平方向夹角也为。图中弯曲的虚线为运动员的运动轨迹，A点为轨迹的最高点，B点为距离斜面最远的点，C点为运动员在斜面上的落点，不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．运动员从O点运动到A点的过程中，动量变化量的方向竖直向下 B．运动员从O点运动到A点的过程中，上升的高度为5m C．B点到斜面的距离为10m D．O点到C点的距离为40m 【例1-2】（2025·辽宁·三模）如图所示，是在哈尔滨举行的第九届亚冬会跳台滑雪赛道的简化图。可视为质点的运动员在t=0时刻从M点由静止自由滑下，经过水平滑道NP段后飞出，落在斜坡上的Q点。若不计运动员经过N点的动能损失，忽略其运动过程中受到的阻力。用vx、vy、v、a分别表示该过程中运动员水平方向的速度大小、竖直方向的速度大小、实际运动的速度大小、加速度大小，t表示其运动的时间，下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁辽阳·二模）运动员从点以一定的速度水平飞出后做平抛运动，在空中飞行后，落在斜坡上的点，简化示意图如图所示。已知斜坡的倾角为，取重力加速度大小，运动员经过点时的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，斜面的倾角为，斜面的长度为。在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和的速度沿同一方向水平抛出，甲球经时间恰落在斜面的底端，此时甲球速度与水平方向夹角为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙球将落在斜面的中点 B．乙球经时间落在斜面上 C．乙球落在斜面上时速度与水平方向夹角为 D．乙球落在斜面上时速度大小为 考向02 与曲面结合的平抛运动 【例2-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【例2-2】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【变式2-1】如下图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ＝30°，某时刻一质量为m，带电荷量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角α＝45°时，小球恰好沿原路返回A点。则（　　） A．电容器极板间的电场强度 B．平行板电容器的板长 C．小球从A点出电容器的时间 D．小球在AB间运动的周期 【变式2-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图所示，水平桌面左端的挡板上固定一轻弹簧，质量为的物块甲将轻弹簧压缩但不与弹簧拴接，甲在点时弹簧处于原长，质量为的物块乙放在水平桌面的最右端，右侧地面上在竖直方向固定一半径为的光滑圆弧轨道，其中与竖直直径的夹角为。将甲由静止释放，两物块发生弹性碰撞后，乙刚好由点沿切线方向进入圆弧轨道，然后恰好通过圆弧轨道的最高点。点左侧光滑，右侧粗糙，点到水平桌面最右端的距离为，甲与水平桌面间的动摩擦因数为，两物块均可视为质点，重力加速度为，。求： (1)乙通过点时对轨道的压力大小； (2)水平桌面最右端与点的水平距离； (3)释放物块甲前，轻弹簧储存的弹性势能。 考向03 空间抛体运动问题 【例3-1】（2025·内蒙古·月考）如图所示，一截面为直角梯形状的物体固定在水平面上，斜面与水平方向的夹角为，可视为质点的滑块从A点右上方的O点以水平初速度抛出，经过一段时间无碰撞地由A点滑上斜面，最终经B点后落在水平面。已知滑块落在斜面上A点瞬间的速度大小为，滑块与斜面间的动摩擦因数为，忽略空气阻力，重力加速度g取．求： (1)两点间的水平间距； (2)滑块从A到B的时间； (3)滑块的落地点到C点的距离。 【例3-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图所示，运动员在球网中点正上方距地面H处将球沿水平方向击出，已知底线到网的距离为，场地宽度为，重力加速度为，不计空气阻力与边线宽度，下列说法正确的是（    ） A．运动过程中球的速度和加速度时刻在改变 B．球从击球点至恰好落到底线上的最小位移等于L C．击球速度大于就会出界 D．球从被击出至落地的时间与击球速度大小无关 【变式3-1】（2025·内蒙古·月考）重庆鸿恩寺的打铁花表演闻名遐迩，夜幕降临，工匠们将滚烫的铁水用力击向高空，铁水瞬间绽放成绚烂夺目的铁花，在空中划出一道道优美的曲线。如图所示，对于做曲线运动的铁花，下列说法正确的是（　　） A．铁花的速度方向不一定变化 B．铁花的运动一定是变速运动 C．铁花在最高点的加速度可能为零 D．铁花可能处于平衡状态 【变式3-2】（2025·内蒙古·月考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为质点）自雪道M处自由滑下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在空中P点（未画出）离斜坡最远，最远距离为m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．运动员在P点的速度大小为10m/s B．运动员腾空s后到达空中P点 C．落点Q距离O点40m D．运动员在O点的速度大小为10m/s 考向04 斜抛运动问题 【例4-1】（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【例4-2】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，固定斜面AC的倾角为37°，顶端C到地面的竖直高度为2m，轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接质量为0.2kg的物块P，质量为0.4kg的物块Q叠放在物块P的上方。现用外力作用在物块Q上使其向下缓慢压缩弹簧，当物块Q到斜面顶端的距离为2.5m时，撤去外力并将两物块由静止释放，物块Q从斜面顶端C飞出后，落地点到C点的水平距离为4m，物块P始终未离开斜面。已知两物块可视为质点，两物块与斜面间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的原长小于3m，重力加速度 g 取，，，下列说法正确的是（　　） A．撤去外力时，弹簧的弹性势能为22.5J B．物块Q落地时的速度大小为 C．物块Q从C飞出时的速度大小为 D．物块Q从C点飞出到落地的时间为1s 【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，同学A在距离地面高处将排球以的初速度斜向上击出，速度的方向与水平方向的夹角为，站在对面的同学B静止不动，伸直的手臂与水平地面呈一定夹角，排球恰好在离地h处垂直打到B的手臂上。假设碰撞过程中手臂保持静止，B垫起球的前后，排球的速度大小相等、方向相反，排球与手臂的作用时间为，排球的质量，重力加速度，，排球可视为质点，不计空气阻力。求： (1)排球运动过程中离地面的最大高度； (2)A击球点和B接球点之间的水平距离； (3)B在垫球的过程中，手臂受到的弹力的平均值。 【变式4-2】（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·辽宁·模拟预测）2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s B．铅球在B点的速度大小为 C．铅球上升的最大高度为 D．A、B两点的高度差为0.45m 2．（2025·辽宁·三模）凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，两粒质量相等的种子、从同一位置先后以相同的速率沿不同方向弹射飞出，恰好在点相撞，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．种子先弹射飞出 B．种子在最高点时速度为零 C．两粒种子相撞前瞬间速度大小相等 D．两粒种子相撞前瞬间，重力对种子的功率较大 3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图所示，一球门高1.8m，宽3m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0m处的点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点。足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的，平行的速度分量不变，落在点。已知垂直，球的质量为0.4kg，重力加速度取10m/s²，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．球在O点的初速度大小为 B．在Q点落地时的速度大小为2.5m/s C．落地点与门线AB的距离为1.5m D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1所示，上表面光滑的斜面体固定在水平地面上，一个小木块从斜面底端冲上斜面。图2为木块的初动能与木块轨迹的最高点距地面高度的关系图像。由此可求得斜面的长度为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示。投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是（　　） A．出手后标枪的加速度是变化的 B．标枪升到最高点时速度为零 C．标枪在相同时间内速度变化量相同 D．曲线运动不可能是匀变速运动 6．（2025·辽宁·一模）羽毛球飞行过程中受空气阻力影响很大，某同学利用手机软件模拟出了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，若羽毛球到达P点时速度大小为v，则下列说法正确的是（　　） A．羽毛球在A点和B点的机械能相等 B．图中整个羽毛球飞行过程中，羽毛球在P点时的速度最小 C．图中整个羽毛球飞行过程中，羽毛球速度最小的位置在P点右侧 D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，则羽毛球将掉落在原出发点的右侧 7．（2025·内蒙古·模拟预测）投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度d = 0.15 m，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小v0 = 5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L = 2.7 m，距地面的高度h = 1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离，最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面的动摩擦因数μ = 0.25，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，取重力加速度大小g = 10 m/s2，空气阻力不计。求：    (1)沙包从出手点到落地点的水平距离x； (2)沙包与地面碰撞前、后动能的比值k。 8．（2025·吉林·一模）如图所示为某生态区的水景喷泉和灯光秀，水流从喷嘴斜向上喷出。现制作一个大小为实际尺寸的的模型展示效果，忽略空气阻力，则水流实际的初速度为模型中水流喷出速度的多少倍（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 9．（2025·吉林长春·一模）某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，甲、乙两同学分别在同一竖直面内的同一水平线上的A、B两点以、角同时将两个质量相等的足球踢出，两球恰好在轨迹最高点相遇，足球可视为质点，不计足球所受的一切阻力，且不考虑两球相遇时的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．两球在空中运动时间 B．两球的初速度之比 C．两球的水平射程之比 D．两球在最高点时的动能之比 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一细管末端点斜向上射出，一段时间后两黄豆在点相遇。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，黄豆视为质点，则（　　） A．甲在点的速度为乙在最高点速度的两倍 B．点甲的速度与水平方向夹角的正切值为乙的两倍 C．点甲的速度大小为乙的两倍 D．的距离为乙相对点上升最大高度的两倍 12．（2025·黑龙江·二模）如图，AB为水平平台，BC是倾角的足够长斜面。现将一小球从A点斜抛出。已知小球经过B点正上方D点时恰好达到最高点，，小球最终落到BC上时与斜面的夹角为。则（　　） A．小球抛出时的初速度大小为 B．小球抛出时的初速度与水平方向的夹角为 C．小球刚要落到斜面上时的速率为 D．小球从A至E的运动时间为 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）2025年1月7日，中国航天实现开门红，实践25号双机械臂的在轨服务卫星成功发射，标志我国在该领域技术水平居于世界前列。研发过程中，实验室测试机械臂抛投物体，把质量为m的小球从同一高度的A、B两点抛出，均能垂直击中竖直墙壁上的目标点P，轨迹如图。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．A点抛出的初速度的竖直分量更大 B．B点抛出的运动时间更长 C．两抛体击中P点时速度大小相等 D．A点抛出时机械臂对物体做功更多 14．（2025·黑龙江·模拟预测）如图所示，一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直，抛出点和落水点之间的距离，，不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为（    ） A．1.2s B．1.4s C．1.6s D．1.8s 15．（2025·内蒙古·模拟预测）为了促进学生德智体美劳全面发展，学校举行了阳光体育季活动。在某次排球比赛中，学生甲将排球垫起，使排球从A点以斜向上的速度v1飞向对面场地，学生乙等待时机起跳在B点大力水平击打排球，使排球瞬间获得水平速度v2被击回，排球正好击中A点，轨迹如图所示，假设两轨迹在同一竖直平面内，空气阻力可以忽略不计，则（　　） A．排球从A到B的时间大于从B到A的时间 B．排球从A到B的平均速度大于从B到A的平均速度 C．排球从A到B的加速度小于从B到A的加速度 D．排球从A到B到达最高点的速度大于v2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型05 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动问题 ( 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 总 方法透视 典例引领 变式演练 考向01 与斜面结合的平抛运动 考向02 与曲面结合的平抛运动 考向03 空间抛体运动问题 考向04 斜抛运动问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 ) 黑吉辽蒙高考物理“斜面上的平抛及类平抛”是曲线运动核心综合模型，近5年（2021-2025）稳定出现，集中在选择中档题+力学综合大题，常结合牛顿定律、动量/能量，是区分度关键，以下为结构化考情分析。 定义：平抛（初速水平、只受重力）；类平抛（初速与加速度垂直、匀变速曲线，如电场中带电粒子）；斜面上的两类模型——从斜面外水平抛出落斜面、沿斜面抛出/垂直斜面抛出。按位移分解或速度分解求时间，抓等时性与斜面几何约束（tanθ=y/x），类平抛替换加速度为a=F/m即可迁移规律。水平抛落斜面（求时间/速度偏角）、垂直斜面抛出（往返时间/最大距离）、类平抛（电场）+斜面约束；核心规律为正交分解、等时性、斜面几何关系。 斜面平抛模型 1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律； (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 2．常见的模型及处理方法如下： 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 考向01 与斜面结合的平抛运动 【例1-1】（2025·辽宁·模拟预测）跳台滑雪是一种通过助滑坡获得速度后比拼跳跃距离和动作姿势的雪上项目；其比赛场地的简化图如图所示。运动员到达倾角为的斜面顶端O点时以的速度飞出，速度方向与水平方向夹角也为。图中弯曲的虚线为运动员的运动轨迹，A点为轨迹的最高点，B点为距离斜面最远的点，C点为运动员在斜面上的落点，不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．运动员从O点运动到A点的过程中，动量变化量的方向竖直向下 B．运动员从O点运动到A点的过程中，上升的高度为5m C．B点到斜面的距离为10m D．O点到C点的距离为40m 【答案】AB 【详解】A．运动员飞出后只受重力，根据动量定理 运动员从O点运动到A点的过程中，动量变化量的方向与重力方向相同，竖直向下，故A正确； B．运动员从O点运动到A点的过程中，竖直方向做匀减速到0，根据 解得，故B正确； C．运动员从O点到B点的运动分解为沿斜面方向的运动为y轴，垂直斜面方向的运动为x轴，则有 解得，故C错误； D．根据C项分析可知O点到C点的时间为 O点到C点的距离为 解得，故D错误。 故选 AB。 【例1-2】（2025·辽宁·三模）如图所示，是在哈尔滨举行的第九届亚冬会跳台滑雪赛道的简化图。可视为质点的运动员在t=0时刻从M点由静止自由滑下，经过水平滑道NP段后飞出，落在斜坡上的Q点。若不计运动员经过N点的动能损失，忽略其运动过程中受到的阻力。用vx、vy、v、a分别表示该过程中运动员水平方向的速度大小、竖直方向的速度大小、实际运动的速度大小、加速度大小，t表示其运动的时间，下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】D．设MN的倾角为θ，从M到N过程中，运动员加速度大小为 该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线；从N到P过程中，运动员加速度大小为0；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，加速度大小为g，该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线，且比从M到N过程的加速度大，故D正确； A．从M到N过程中，根据速度的分解有 所以图像为过原点的倾斜直线，由于不计运动员经过N点时的机械能损失，所以在N点处vx突变为到达N点瞬间的合速度，会突然增大，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vx不变，图像为平行于t轴的直线；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，vx也不变，故A错误； B．从M到N过程中，根据速度的分解有 则该段时间内图像为过原点的倾斜直线，在N点处vy突变为零，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vy始终为零；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，即 该段时间内图像为倾斜直线，且斜率比从M到N过程的大，故B错误； C．运动员在斜面上做匀加速直线运动，则 在NP段做匀速直线运动，速度不变，在空中做平抛运动，有 该过程中图线为曲线，故C错误。 故选D。 【变式1-1】（2025·辽宁辽阳·二模）运动员从点以一定的速度水平飞出后做平抛运动，在空中飞行后，落在斜坡上的点，简化示意图如图所示。已知斜坡的倾角为，取重力加速度大小，运动员经过点时的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据平抛运动规律可得 可得运动员经过点时的速度大小为 故选C。 【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，斜面的倾角为，斜面的长度为。在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和的速度沿同一方向水平抛出，甲球经时间恰落在斜面的底端，此时甲球速度与水平方向夹角为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙球将落在斜面的中点 B．乙球经时间落在斜面上 C．乙球落在斜面上时速度与水平方向夹角为 D．乙球落在斜面上时速度大小为 【答案】D 【详解】C．甲、乙两小球均落在斜面上，位移方向相同，即位移与水平方向的夹角相同，根据平抛运动推论可知，小球落在斜面上时速度方向一定相同，故C错误； B．由平抛运动规律可得， 设斜面倾角为，则有 联立解得 乙球初速度为，所以乙球运动时间是甲球运动的时间的一半，则乙球运动时间为，故B错误； A．小球落在斜面上的位移为 乙小球运动时间为，位移为甲小球的四分之一，即乙小球不落在斜面的中点，故A错误； D．小球落在斜面上的速度为 乙小球的初速度为，所以乙球落在斜面上的速度是甲球落在斜面上速度的一半，则乙小球落在斜面上的速度为，故D正确。 故选D。 考向02 与曲面结合的平抛运动 【例2-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（    ） A．两小球的初速度一定有 B．两小球落到圆环上所用的时间满足 C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上 D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇 【答案】BC 【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有 水平位移 由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确； C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有， 可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确； D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示 故D错误。 故选BC。 【例2-2】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【答案】AC 【详解】A．如图所示 与斜面对称的斜边交圆弧于点，两球只有落到、点的高度和时间相同，可同时撞在斜面与圆弧上；此时有， 解得 故A正确； B．若P球落到斜面底端有， 解得 故B错误； C．当P球落到斜面底端时，Q在圆弧上的落点距地面高度高于，轨迹如图中的抛物线，故C正确； D．当时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 故选AC。 【变式2-1】如下图所示，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ＝30°，某时刻一质量为m，带电荷量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，（提示：离开的位置不一定是极板边缘）落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角α＝45°时，小球恰好沿原路返回A点。则（　　） A．电容器极板间的电场强度 B．平行板电容器的板长 C．小球从A点出电容器的时间 D．小球在AB间运动的周期 【答案】AC 【详解】A．由带电小球沿水平方向做匀加速运动可知qEcosθ＝mg 解得 故A正确； B．小球垂直落在弹性挡板上，且α＝45°，有 根据动能定理解得L＝3h 故B错误； C．由于小球在复合场中做匀加速运动 解得 故C正确； D．平抛运动的时间为 小球由A点静止释放到返回A点的总时间为 此即为小球在AB间运动的周期T，故D错误。 故选AC。 【变式2-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图所示，水平桌面左端的挡板上固定一轻弹簧，质量为的物块甲将轻弹簧压缩但不与弹簧拴接，甲在点时弹簧处于原长，质量为的物块乙放在水平桌面的最右端，右侧地面上在竖直方向固定一半径为的光滑圆弧轨道，其中与竖直直径的夹角为。将甲由静止释放，两物块发生弹性碰撞后，乙刚好由点沿切线方向进入圆弧轨道，然后恰好通过圆弧轨道的最高点。点左侧光滑，右侧粗糙，点到水平桌面最右端的距离为，甲与水平桌面间的动摩擦因数为，两物块均可视为质点，重力加速度为，。求： (1)乙通过点时对轨道的压力大小； (2)水平桌面最右端与点的水平距离； (3)释放物块甲前，轻弹簧储存的弹性势能。 【答案】(1)24N (2) (3) 【详解】（1）乙恰好通过圆轨道的最高点，则在点由牛顿第二定律有 乙从到的过程，由机械能守恒定律有 在点由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可得乙通过点时对轨道的压力大小为 （2）乙从A到的过程，由机械能守恒定律得 解得 乙离开水平桌面的速度大小 乙在A点的竖直速度 乙离开水平桌面后做平抛运动，物块乙做平抛运动的时间 水平桌面的右端到A点的水平距离为 解得 （3）设释放甲前，弹簧储存的弹性势能为，甲与弹簧分离瞬间的速度大小为，甲被弹簧弹开的过程，由机械能守恒定律有 甲从点到两物块碰撞前的过程，由动能定理有 两物块发生弹性碰撞，碰撞过程两物块组成的系统动量守恒、机械能守恒，有 解得 考向03 空间抛体运动问题 【例3-1】（2025·内蒙古·月考）如图所示，一截面为直角梯形状的物体固定在水平面上，斜面与水平方向的夹角为，可视为质点的滑块从A点右上方的O点以水平初速度抛出，经过一段时间无碰撞地由A点滑上斜面，最终经B点后落在水平面。已知滑块落在斜面上A点瞬间的速度大小为，滑块与斜面间的动摩擦因数为，忽略空气阻力，重力加速度g取．求： (1)两点间的水平间距； (2)滑块从A到B的时间； (3)滑块的落地点到C点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块离开O点后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由题意可知小球的初速度为 滑块落在A点瞬间的竖直速度为 滑块从O到A的时间为 两点间的水平间距为 解得 （2）滑块从A到B的过程，由牛顿第二定律得 又， 解得 由几何关系 由位移公式得 代入数据解得 （3）滑块运动到B点的速度为 滑块离开B点后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直下抛运动，滑块离开B点后的水平分速度为 竖直分速度为 在竖直方向上有 解得 滑块的落地点到C点的间距为 解得 【例3-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图所示，运动员在球网中点正上方距地面H处将球沿水平方向击出，已知底线到网的距离为，场地宽度为，重力加速度为，不计空气阻力与边线宽度，下列说法正确的是（    ） A．运动过程中球的速度和加速度时刻在改变 B．球从击球点至恰好落到底线上的最小位移等于L C．击球速度大于就会出界 D．球从被击出至落地的时间与击球速度大小无关 【答案】D 【详解】A．运动过程中球的速度时刻在改变，加速度不变，故A错误； B．球从击球点恰好落到底线上的最小位移等于，故B错误； C．设击球时不会出界的最大速度为，有， 联立，解得 即击球速度大于不一定出界，故C错误； D．由可知，球从被击出至落地的时间与初速度大小无关，只与高度有关，故D正确。 故选D。 【变式3-1】（2025·内蒙古·月考）重庆鸿恩寺的打铁花表演闻名遐迩，夜幕降临，工匠们将滚烫的铁水用力击向高空，铁水瞬间绽放成绚烂夺目的铁花，在空中划出一道道优美的曲线。如图所示，对于做曲线运动的铁花，下列说法正确的是（　　） A．铁花的速度方向不一定变化 B．铁花的运动一定是变速运动 C．铁花在最高点的加速度可能为零 D．铁花可能处于平衡状态 【答案】B 【详解】A．铁花在重力作用下做曲线运动，速度方向随时间不断改变，故A错误； B．在重力作用下，铁花的速度大小会发生变化，因而一定是变速运动，故B正确； C．铁花在最高点仍受重力，加速度不可能为零，故C错误； D．铁花始终受重力作用，合力不为零，不可能处于平衡状态，故D错误。 故选B。 【变式3-2】（2025·内蒙古·月考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为质点）自雪道M处自由滑下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在空中P点（未画出）离斜坡最远，最远距离为m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．运动员在P点的速度大小为10m/s B．运动员腾空s后到达空中P点 C．落点Q距离O点40m D．运动员在O点的速度大小为10m/s 【答案】BC 【详解】ABD．运动员在空中P点离斜坡最远时，速度与斜面平行，且最远距离为 根据速度-位移公式，有 联立解得 则从起跳到P点用时 则在P点速度 故AD错误，B正确； C．根据位移-时间公式，有 代入数据解得落点Q 到O点的距离为 故C正确。 故选BC。 考向04 斜抛运动问题 【例4-1】（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从O点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为 竖直方向分量为 运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为 水平位移 竖直位移 运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离 （2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即 此时的速度为 【例4-2】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，固定斜面AC的倾角为37°，顶端C到地面的竖直高度为2m，轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接质量为0.2kg的物块P，质量为0.4kg的物块Q叠放在物块P的上方。现用外力作用在物块Q上使其向下缓慢压缩弹簧，当物块Q到斜面顶端的距离为2.5m时，撤去外力并将两物块由静止释放，物块Q从斜面顶端C飞出后，落地点到C点的水平距离为4m，物块P始终未离开斜面。已知两物块可视为质点，两物块与斜面间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的原长小于3m，重力加速度 g 取，，，下列说法正确的是（　　） A．撤去外力时，弹簧的弹性势能为22.5J B．物块Q落地时的速度大小为 C．物块Q从C飞出时的速度大小为 D．物块Q从C点飞出到落地的时间为1s 【答案】ABD 【详解】CD．设物块Q从C端飞出时的速度大小为v，物块Q飞出后做斜抛运动，从飞出到落地的过程，竖直方向有 水平方向有 解得， 故C错误，D正确； B．设物块Q落地时的速度为，由动能定理有 解得，故B正确； A．在弹簧原长时，两物块分离，两物块从静止释放到两物块分离的过程中，由能量守恒有 两物块分离后到物块Q运动到C端的过程中，有， 解得，故A正确。 故选ABD。 【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，同学A在距离地面高处将排球以的初速度斜向上击出，速度的方向与水平方向的夹角为，站在对面的同学B静止不动，伸直的手臂与水平地面呈一定夹角，排球恰好在离地h处垂直打到B的手臂上。假设碰撞过程中手臂保持静止，B垫起球的前后，排球的速度大小相等、方向相反，排球与手臂的作用时间为，排球的质量，重力加速度，，排球可视为质点，不计空气阻力。求： (1)排球运动过程中离地面的最大高度； (2)A击球点和B接球点之间的水平距离； (3)B在垫球的过程中，手臂受到的弹力的平均值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）排球能上升的高度 离地面的最大高度 解得 （2）排球上升到最高的过程中在竖直方向上有 在水平方向上有 解得 （3）以B垫起后排球的速度为正方向，根据动量定理得 解得 根据牛顿第三定律可知，手臂受到的弹力的平均值为41.6 N 【变式4-2】（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将AB过程沿水平和竖直方向分解，如图所示 水平方向则有 竖直方向则有 由几何知识可得 解得 同理可得 故 根据数学知识， 解得 则 故 故选B。 1．（2025·辽宁·模拟预测）2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s B．铅球在B点的速度大小为 C．铅球上升的最大高度为 D．A、B两点的高度差为0.45m 【答案】A 【详解】A．将铅球的运动沿初速度与末速度方向分解，设重力与的夹角为，沿方向有 沿方向有 由几何关系有 代入数据解得， A正确； B．铅球在B点的速度大小 B错误； C．铅球在竖直方向上的速度减为0时，上升的高度最大，根据几何关系可知，初速度方向与竖直方向的夹角为 则有 解得 C错误； D．由 即A、B两点的高度差为0.9m，D错误。 故选A。 2．（2025·辽宁·三模）凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，两粒质量相等的种子、从同一位置先后以相同的速率沿不同方向弹射飞出，恰好在点相撞，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．种子先弹射飞出 B．种子在最高点时速度为零 C．两粒种子相撞前瞬间速度大小相等 D．两粒种子相撞前瞬间，重力对种子的功率较大 【答案】CD 【详解】A．由题图可知，两粒种子从同一地点弹射出去在M点相遇，都做抛体运动，种子做斜上抛，种子P做斜下抛，则种子Q的运动时间大于种子P的运动时间，两者在M点相遇，故种子Q先弹射飞出，A错误； B．种子Q做抛体运动，在最高点时，竖直方向的分速度为零，水平方向的分速度不为零，因此种子Q在最高点的速度不为零，B错误； C．根据动能定理可得 解得 由于两粒种子的和h都相等，则两粒种子相撞前瞬间速度大小相等，C正确； D．结合上述分析可知，碰撞前瞬间，种子的竖直分速度较大，而两粒种子的质量相等，根据可知，重力对种子Q的功率较大，D正确。 故选CD。 3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图所示，一球门高1.8m，宽3m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0m处的点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点。足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的，平行的速度分量不变，落在点。已知垂直，球的质量为0.4kg，重力加速度取10m/s²，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．球在O点的初速度大小为 B．在Q点落地时的速度大小为2.5m/s C．落地点与门线AB的距离为1.5m D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间 【答案】C 【详解】A．从到点，根据平抛运动的逆向思维有，， 联立解得， 则足球在O点的初速度大小为 故A错误； B．足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的倍，平行的速度分量不变，设碰时速度与夹角为，根据几何关系 则有，， 落地竖直方向有， 则足球在Q点落地时的速度大小为 故B错误； C．设反弹后速度垂直的分速度大小为，下落时间为，则落地点与门线AB的距离为 故C正确； D．竖直方向根据对称性可知，足球由运动到点的时间等于由运动到点的时间，故D错误。 故选C。 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1所示，上表面光滑的斜面体固定在水平地面上，一个小木块从斜面底端冲上斜面。图2为木块的初动能与木块轨迹的最高点距地面高度的关系图像。由此可求得斜面的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若物块不滑离斜面，则由动能定理 由图像可知 设斜面长度L倾角为θ，当物块能滑离斜面时，则从底端到顶端时 滑离斜面后做斜抛运动，还能上升的高度 滑块轨迹的最高点距地面高度 联立解得 由图像可知斜率 解得 根据图像可计算后一段图像在纵轴上的截距为1.5h0，则截距 解得L=4h0 故选C。 5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示。投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是（　　） A．出手后标枪的加速度是变化的 B．标枪升到最高点时速度为零 C．标枪在相同时间内速度变化量相同 D．曲线运动不可能是匀变速运动 【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，由牛顿第二定律得加速度为重力加速度，加速度不变，A错误； B．标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，B错误； C．标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，在相同时间内速度变化量相同，C正确； D．加速度不变的曲线运动是匀变速运动，例如平抛运动，D错误。 故选C。 6．（2025·辽宁·一模）羽毛球飞行过程中受空气阻力影响很大，某同学利用手机软件模拟出了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，若羽毛球到达P点时速度大小为v，则下列说法正确的是（　　） A．羽毛球在A点和B点的机械能相等 B．图中整个羽毛球飞行过程中，羽毛球在P点时的速度最小 C．图中整个羽毛球飞行过程中，羽毛球速度最小的位置在P点右侧 D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，则羽毛球将掉落在原出发点的右侧 【答案】CD 【详解】A．羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，其机械能减小，所以A点的机械能大于B点的机械能，故A错误； BC．当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度方向的夹角为钝角，则说明羽毛球速度最小的位置在P点的右侧，故B错误，C正确； D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，羽毛球受重力和与速度方向反向的空气阻力，其运动轨迹与题图中P点右侧轨迹对称，所以羽毛球将掉落在原出发点的右侧，故D正确。 故选CD。 7．（2025·内蒙古·模拟预测）投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度d = 0.15 m，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小v0 = 5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L = 2.7 m，距地面的高度h = 1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离，最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面的动摩擦因数μ = 0.25，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，取重力加速度大小g = 10 m/s2，空气阻力不计。求：    (1)沙包从出手点到落地点的水平距离x； (2)沙包与地面碰撞前、后动能的比值k。 【答案】(1)3 m (2)20 【详解】（1）沙包竖直上方的初速度为 沙包在竖直方向上减速到0，然后做自由落体运动，设竖直向上为正，则有 代入数据解得 沙包抛出的水平初速度为 所以从抛出到落地沙包的水平位移为 （2）沙包滑行的距离为 沙包滑行过程中，水平方向上有 的加速度大小 滑行的初速度有 与地面碰撞后的动能 从抛出到落地根据动能定理有 解得落地瞬间的动能 所以 8．（2025·吉林·一模）如图所示为某生态区的水景喷泉和灯光秀，水流从喷嘴斜向上喷出。现制作一个大小为实际尺寸的的模型展示效果，忽略空气阻力，则水流实际的初速度为模型中水流喷出速度的多少倍（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】B 【详解】设水流喷出的方向与水平方向的夹角为，水流实际的初速度大小为，水流上升的高度为，模型中水流喷出的速度大小为，则有， 两式相比得 故选B。 9．（2025·吉林长春·一模）某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，石块抛出时的速度与水平方向的夹角为 石块抛出时沿竖直方向的分速度 则石块抛出点距离最高点的高度 石块抛出点距离地面的高度。 （2）石块从抛出点运动到落地点的过程，竖直方向上有 解得 石块抛出点与落地点在水平方向上的距离 解得 10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，甲、乙两同学分别在同一竖直面内的同一水平线上的A、B两点以、角同时将两个质量相等的足球踢出，两球恰好在轨迹最高点相遇，足球可视为质点，不计足球所受的一切阻力，且不考虑两球相遇时的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．两球在空中运动时间 B．两球的初速度之比 C．两球的水平射程之比 D．两球在最高点时的动能之比 【答案】C 【详解】ABC．两球同时踢出，恰在最高点相遇，两球在空中运动时间相同，则踢出时两球竖直方向的分速度相同，则有 可得 两球在水平方向做匀速运动，水平射程之比为，故AB错误，C正确； D．两球在最高点时的速度之比为 根据动能表达式，可知两球在最高点时的动能之比，故D错误。 故选C。 11．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端点水平射出的同时乙黄豆从另一细管末端点斜向上射出，一段时间后两黄豆在点相遇。若点在点正下方，点与点位于同一水平线上，不计空气阻力，黄豆视为质点，则（　　） A．甲在点的速度为乙在最高点速度的两倍 B．点甲的速度与水平方向夹角的正切值为乙的两倍 C．点甲的速度大小为乙的两倍 D．的距离为乙相对点上升最大高度的两倍 【答案】B 【详解】A．设从抛出到相遇黄豆的运动时间为t，乙黄豆做斜上抛运动，在最高点竖直分速度为零，在最高点的速度等于水平分速度；两黄豆同时射出在N点相遇，则两黄豆的运动时间t相等，两黄豆的水平位移x相等，甲做平抛运动，甲、乙在水平方向都做匀速直线运动，由于运动时间与水平位移都相等，则甲在P点的速度即初速度与乙在最高点的速度即水平分速度相等，故A错误； B．N点乙的速度与水平方向夹角的正切值 N点甲的速度与水平方向夹角的正切值，故B正确； C．在N点， 在N点乙的速度大小 在N点甲的速度大小，故C错误； D．乙做斜上抛运动，乙相对M点上升的最大高度 甲做平抛运动，则，故D错误。 故选B。 12．（2025·黑龙江·二模）如图，AB为水平平台，BC是倾角的足够长斜面。现将一小球从A点斜抛出。已知小球经过B点正上方D点时恰好达到最高点，，小球最终落到BC上时与斜面的夹角为。则（　　） A．小球抛出时的初速度大小为 B．小球抛出时的初速度与水平方向的夹角为 C．小球刚要落到斜面上时的速率为 D．小球从A至E的运动时间为 【答案】D 【详解】A．从A到D，假设水平方向上速度为，竖直方向上做竖直上抛运动，则竖直方向上的初速度为 故A错误； B．小球最终落到BC上时与斜面的夹角为，根据几何关系可得速度与水平方向的夹角为，则 此点位移与水平方向上的夹角的正切值为 竖直方向上，假设B点与E点竖直方向上距离为x， 解得 则 假设小球抛出时的初速度与水平方向的夹角为，则 故 故B错误； C．由题可知 小球刚要落到斜面上时的速率为 故C错误； D．小球从A至E的运动过程中，在竖直方向上 解得 故D正确。 故选D。 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）2025年1月7日，中国航天实现开门红，实践25号双机械臂的在轨服务卫星成功发射，标志我国在该领域技术水平居于世界前列。研发过程中，实验室测试机械臂抛投物体，把质量为m的小球从同一高度的A、B两点抛出，均能垂直击中竖直墙壁上的目标点P，轨迹如图。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．A点抛出的初速度的竖直分量更大 B．B点抛出的运动时间更长 C．两抛体击中P点时速度大小相等 D．A点抛出时机械臂对物体做功更多 【答案】D 【详解】AB．两次抛体运动均垂直击中P点，说明末速度竖直分量为零，由逆向思维可把P到A、B看出平抛运动，根据， 由于高度相同，可知两抛体竖直初速度相同，运动时间t相同，故AB错误； C．根据 因为相同，A点水平位移更大，可知其水平初速度更大，故两抛体击中P点时速度大小不相等，故C错误； D．根据总初速度 由于A的水平速度更大，A点抛出时的物体初速度更大，机械臂做功更多，故D正确。 故选D。 14．（2025·黑龙江·模拟预测）如图所示，一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直，抛出点和落水点之间的距离，，不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为（    ） A．1.2s B．1.4s C．1.6s D．1.8s 【答案】B 【详解】如图所示，以垂直于为x轴，以方向为y轴建立平面直角坐标系，设y轴与竖直向下成角，将重力加速度g分解为， 根据速度—时间公式有 根据位移—时间公式有，， 代入数据解得 故选B。 15．（2025·内蒙古·模拟预测）为了促进学生德智体美劳全面发展，学校举行了阳光体育季活动。在某次排球比赛中，学生甲将排球垫起，使排球从A点以斜向上的速度v1飞向对面场地，学生乙等待时机起跳在B点大力水平击打排球，使排球瞬间获得水平速度v2被击回，排球正好击中A点，轨迹如图所示，假设两轨迹在同一竖直平面内，空气阻力可以忽略不计，则（　　） A．排球从A到B的时间大于从B到A的时间 B．排球从A到B的平均速度大于从B到A的平均速度 C．排球从A到B的加速度小于从B到A的加速度 D．排球从A到B到达最高点的速度大于v2 【答案】A 【详解】A．A到B竖直方向做竖直上抛运动，B到A竖直方向做自由落体，从A到最高点的高度比B到A的高度大，可知时间也长，则A到B的时间更长，故A正确； B．两个过程的位移大小一样，A到B的时间长，所以平均速度小，故B错误； C．两个过程的加速度都是重力加速度，故C错误； D．从A到B到达最高点的速度为水平速度，两个过程的运动水平位移大小一样，A到B的时间长，所以A到B的水平速度小于v2，故D错误。 故选A。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型05 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动问题（题型专练） 参考答案 第一部分 考向破译 考向01 与斜面结合的平抛运动 【例1-1】【答案】AB 【详解】A．运动员飞出后只受重力，根据动量定理 运动员从O点运动到A点的过程中，动量变化量的方向与重力方向相同，竖直向下，故A正确； B．运动员从O点运动到A点的过程中，竖直方向做匀减速到0，根据 解得，故B正确； C．运动员从O点到B点的运动分解为沿斜面方向的运动为y轴，垂直斜面方向的运动为x轴，则有 解得，故C错误； D．根据C项分析可知O点到C点的时间为 O点到C点的距离为 解得，故D错误。 故选 AB。 【例1-2】【答案】D 【详解】D．设MN的倾角为θ，从M到N过程中，运动员加速度大小为 该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线；从N到P过程中，运动员加速度大小为0；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，加速度大小为g，该段时间内a-t图像为平行于t轴的直线，且比从M到N过程的加速度大，故D正确； A．从M到N过程中，根据速度的分解有 所以图像为过原点的倾斜直线，由于不计运动员经过N点时的机械能损失，所以在N点处vx突变为到达N点瞬间的合速度，会突然增大，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vx不变，图像为平行于t轴的直线；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，vx也不变，故A错误； B．从M到N过程中，根据速度的分解有 则该段时间内图像为过原点的倾斜直线，在N点处vy突变为零，从N到P过程中，运动员做匀速直线运动，vy始终为零；从P到Q过程中，运动员做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，即 该段时间内图像为倾斜直线，且斜率比从M到N过程的大，故B错误； C．运动员在斜面上做匀加速直线运动，则 在NP段做匀速直线运动，速度不变，在空中做平抛运动，有 该过程中图线为曲线，故C错误。 故选D。 【变式1-1】【答案】C 【详解】根据平抛运动规律可得 可得运动员经过点时的速度大小为 故选C。 【变式1-2】【答案】D 【详解】C．甲、乙两小球均落在斜面上，位移方向相同，即位移与水平方向的夹角相同，根据平抛运动推论可知，小球落在斜面上时速度方向一定相同，故C错误； B．由平抛运动规律可得， 设斜面倾角为，则有 联立解得 乙球初速度为，所以乙球运动时间是甲球运动的时间的一半，则乙球运动时间为，故B错误； A．小球落在斜面上的位移为 乙小球运动时间为，位移为甲小球的四分之一，即乙小球不落在斜面的中点，故A错误； D．小球落在斜面上的速度为 乙小球的初速度为，所以乙球落在斜面上的速度是甲球落在斜面上速度的一半，则乙小球落在斜面上的速度为，故D正确。 故选D。 考向02 与曲面结合的平抛运动 【例2-1】【答案】BC 【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有 水平位移 由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确； C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有， 可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确； D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示 故D错误。 故选BC。 【例2-2】【答案】AC 【详解】A．如图所示 与斜面对称的斜边交圆弧于点，两球只有落到、点的高度和时间相同，可同时撞在斜面与圆弧上；此时有， 解得 故A正确； B．若P球落到斜面底端有， 解得 故B错误； C．当P球落到斜面底端时，Q在圆弧上的落点距地面高度高于，轨迹如图中的抛物线，故C正确； D．当时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 故选AC。 【变式2-1】【答案】AC 【详解】A．由带电小球沿水平方向做匀加速运动可知qEcosθ＝mg 解得 故A正确； B．小球垂直落在弹性挡板上，且α＝45°，有 根据动能定理解得L＝3h 故B错误； C．由于小球在复合场中做匀加速运动 解得 故C正确； D．平抛运动的时间为 小球由A点静止释放到返回A点的总时间为 此即为小球在AB间运动的周期T，故D错误。 故选AC。 【变式2-2】【答案】(1)24N (2) (3) 【详解】（1）乙恰好通过圆轨道的最高点，则在点由牛顿第二定律有 乙从到的过程，由机械能守恒定律有 在点由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可得乙通过点时对轨道的压力大小为 （2）乙从A到的过程，由机械能守恒定律得 解得 乙离开水平桌面的速度大小 乙在A点的竖直速度 乙离开水平桌面后做平抛运动，物块乙做平抛运动的时间 水平桌面的右端到A点的水平距离为 解得 （3）设释放甲前，弹簧储存的弹性势能为，甲与弹簧分离瞬间的速度大小为，甲被弹簧弹开的过程，由机械能守恒定律有 甲从点到两物块碰撞前的过程，由动能定理有 两物块发生弹性碰撞，碰撞过程两物块组成的系统动量守恒、机械能守恒，有 解得 考向03 空间抛体运动问题 【例3-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块离开O点后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由题意可知小球的初速度为 滑块落在A点瞬间的竖直速度为 滑块从O到A的时间为 两点间的水平间距为 解得 （2）滑块从A到B的过程，由牛顿第二定律得 又， 解得 由几何关系 由位移公式得 代入数据解得 （3）滑块运动到B点的速度为 滑块离开B点后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直下抛运动，滑块离开B点后的水平分速度为 竖直分速度为 在竖直方向上有 解得 滑块的落地点到C点的间距为 解得 【例3-2】【答案】D 【详解】A．运动过程中球的速度时刻在改变，加速度不变，故A错误； B．球从击球点恰好落到底线上的最小位移等于，故B错误； C．设击球时不会出界的最大速度为，有， 联立，解得 即击球速度大于不一定出界，故C错误； D．由可知，球从被击出至落地的时间与初速度大小无关，只与高度有关，故D正确。 故选D。 【变式3-1】【答案】B 【详解】A．铁花在重力作用下做曲线运动，速度方向随时间不断改变，故A错误； B．在重力作用下，铁花的速度大小会发生变化，因而一定是变速运动，故B正确； C．铁花在最高点仍受重力，加速度不可能为零，故C错误； D．铁花始终受重力作用，合力不为零，不可能处于平衡状态，故D错误。 故选B。 【变式3-2】【答案】BC 【详解】ABD．运动员在空中P点离斜坡最远时，速度与斜面平行，且最远距离为 根据速度-位移公式，有 联立解得 则从起跳到P点用时 则在P点速度 故AD错误，B正确； C．根据位移-时间公式，有 代入数据解得落点Q 到O点的距离为 故C正确。 故选BC。 考向04 斜抛运动问题 【例4-1】【答案】(1) (2) 【详解】（1）从O点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为 竖直方向分量为 运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为 水平位移 竖直位移 运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离 （2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即 此时的速度为 【例4-2】【答案】ABD 【详解】CD．设物块Q从C端飞出时的速度大小为v，物块Q飞出后做斜抛运动，从飞出到落地的过程，竖直方向有 水平方向有 解得， 故C错误，D正确； B．设物块Q落地时的速度为，由动能定理有 解得，故B正确； A．在弹簧原长时，两物块分离，两物块从静止释放到两物块分离的过程中，由能量守恒有 两物块分离后到物块Q运动到C端的过程中，有， 解得，故A正确。 故选ABD。 【变式4-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）排球能上升的高度 离地面的最大高度 解得 （2）排球上升到最高的过程中在竖直方向上有 在水平方向上有 解得 （3）以B垫起后排球的速度为正方向，根据动量定理得 解得 根据牛顿第三定律可知，手臂受到的弹力的平均值为41.6 N 【变式4-2】【答案】B 【详解】将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将AB过程沿水平和竖直方向分解，如图所示 水平方向则有 竖直方向则有 由几何知识可得 解得 同理可得 故 根据数学知识， 解得 则 故 故选B。 第二部分 综合巩固 1．【答案】A 【详解】A．将铅球的运动沿初速度与末速度方向分解，设重力与的夹角为，沿方向有 沿方向有 由几何关系有 代入数据解得， A正确； B．铅球在B点的速度大小 B错误； C．铅球在竖直方向上的速度减为0时，上升的高度最大，根据几何关系可知，初速度方向与竖直方向的夹角为 则有 解得 C错误； D．由 即A、B两点的高度差为0.9m，D错误。 故选A。 2．【答案】CD 【详解】A．由题图可知，两粒种子从同一地点弹射出去在M点相遇，都做抛体运动，种子做斜上抛，种子P做斜下抛，则种子Q的运动时间大于种子P的运动时间，两者在M点相遇，故种子Q先弹射飞出，A错误； B．种子Q做抛体运动，在最高点时，竖直方向的分速度为零，水平方向的分速度不为零，因此种子Q在最高点的速度不为零，B错误； C．根据动能定理可得 解得 由于两粒种子的和h都相等，则两粒种子相撞前瞬间速度大小相等，C正确； D．结合上述分析可知，碰撞前瞬间，种子的竖直分速度较大，而两粒种子的质量相等，根据可知，重力对种子Q的功率较大，D正确。 故选CD。 3．【答案】C 【详解】A．从到点，根据平抛运动的逆向思维有，， 联立解得， 则足球在O点的初速度大小为 故A错误； B．足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的倍，平行的速度分量不变，设碰时速度与夹角为，根据几何关系 则有，， 落地竖直方向有， 则足球在Q点落地时的速度大小为 故B错误； C．设反弹后速度垂直的分速度大小为，下落时间为，则落地点与门线AB的距离为 故C正确； D．竖直方向根据对称性可知，足球由运动到点的时间等于由运动到点的时间，故D错误。 故选C。 4．【答案】C 【详解】若物块不滑离斜面，则由动能定理 由图像可知 设斜面长度L倾角为θ，当物块能滑离斜面时，则从底端到顶端时 滑离斜面后做斜抛运动，还能上升的高度 滑块轨迹的最高点距地面高度 联立解得 由图像可知斜率 解得 根据图像可计算后一段图像在纵轴上的截距为1.5h0，则截距 解得L=4h0 故选C。 5．【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，由牛顿第二定律得加速度为重力加速度，加速度不变，A错误； B．标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，B错误； C．标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，在相同时间内速度变化量相同，C正确； D．加速度不变的曲线运动是匀变速运动，例如平抛运动，D错误。 故选C。 6．【答案】CD 【详解】A．羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，其机械能减小，所以A点的机械能大于B点的机械能，故A错误； BC．当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度方向的夹角为钝角，则说明羽毛球速度最小的位置在P点的右侧，故B错误，C正确； D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，羽毛球受重力和与速度方向反向的空气阻力，其运动轨迹与题图中P点右侧轨迹对称，所以羽毛球将掉落在原出发点的右侧，故D正确。 故选CD。 7．【答案】(1)3 m (2)20 【详解】（1）沙包竖直上方的初速度为 沙包在竖直方向上减速到0，然后做自由落体运动，设竖直向上为正，则有 代入数据解得 沙包抛出的水平初速度为 所以从抛出到落地沙包的水平位移为 （2）沙包滑行的距离为 沙包滑行过程中，水平方向上有 的加速度大小 滑行的初速度有 与地面碰撞后的动能 从抛出到落地根据动能定理有 解得落地瞬间的动能 所以 8．【答案】B 【详解】设水流喷出的方向与水平方向的夹角为，水流实际的初速度大小为，水流上升的高度为，模型中水流喷出的速度大小为，则有， 两式相比得 故选B。 9．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，石块抛出时的速度与水平方向的夹角为 石块抛出时沿竖直方向的分速度 则石块抛出点距离最高点的高度 石块抛出点距离地面的高度。 （2）石块从抛出点运动到落地点的过程，竖直方向上有 解得 石块抛出点与落地点在水平方向上的距离 解得 10．【答案】C 【详解】ABC．两球同时踢出，恰在最高点相遇，两球在空中运动时间相同，则踢出时两球竖直方向的分速度相同，则有 可得 两球在水平方向做匀速运动，水平射程之比为，故AB错误，C正确； D．两球在最高点时的速度之比为 根据动能表达式，可知两球在最高点时的动能之比，故D错误。 故选C。 11．【答案】B 【详解】A．设从抛出到相遇黄豆的运动时间为t，乙黄豆做斜上抛运动，在最高点竖直分速度为零，在最高点的速度等于水平分速度；两黄豆同时射出在N点相遇，则两黄豆的运动时间t相等，两黄豆的水平位移x相等，甲做平抛运动，甲、乙在水平方向都做匀速直线运动，由于运动时间与水平位移都相等，则甲在P点的速度即初速度与乙在最高点的速度即水平分速度相等，故A错误； B．N点乙的速度与水平方向夹角的正切值 N点甲的速度与水平方向夹角的正切值，故B正确； C．在N点， 在N点乙的速度大小 在N点甲的速度大小，故C错误； D．乙做斜上抛运动，乙相对M点上升的最大高度 甲做平抛运动，则，故D错误。 故选B。 12．【答案】D 【详解】A．从A到D，假设水平方向上速度为，竖直方向上做竖直上抛运动，则竖直方向上的初速度为 故A错误； B．小球最终落到BC上时与斜面的夹角为，根据几何关系可得速度与水平方向的夹角为，则 此点位移与水平方向上的夹角的正切值为 竖直方向上，假设B点与E点竖直方向上距离为x， 解得 则 假设小球抛出时的初速度与水平方向的夹角为，则 故 故B错误； C．由题可知 小球刚要落到斜面上时的速率为 故C错误； D．小球从A至E的运动过程中，在竖直方向上 解得 故D正确。 故选D。 13．【答案】D 【详解】AB．两次抛体运动均垂直击中P点，说明末速度竖直分量为零，由逆向思维可把P到A、B看出平抛运动，根据， 由于高度相同，可知两抛体竖直初速度相同，运动时间t相同，故AB错误； C．根据 因为相同，A点水平位移更大，可知其水平初速度更大，故两抛体击中P点时速度大小不相等，故C错误； D．根据总初速度 由于A的水平速度更大，A点抛出时的物体初速度更大，机械臂做功更多，故D正确。 故选D。 14．【答案】B 【详解】如图所示，以垂直于为x轴，以方向为y轴建立平面直角坐标系，设y轴与竖直向下成角，将重力加速度g分解为， 根据速度—时间公式有 根据位移—时间公式有，， 代入数据解得 故选B。 15．【答案】A 【详解】A．A到B竖直方向做竖直上抛运动，B到A竖直方向做自由落体，从A到最高点的高度比B到A的高度大，可知时间也长，则A到B的时间更长，故A正确； B．两个过程的位移大小一样，A到B的时间长，所以平均速度小，故B错误； C．两个过程的加速度都是重力加速度，故C错误； D．从A到B到达最高点的速度为水平速度，两个过程的运动水平位移大小一样，A到B的时间长，所以A到B的水平速度小于v2，故D错误。 故选A。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $