1.2.1等差数列的概念及其通项公式教案-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

1.2.1等差数列的概念及其通项公式 一、教学目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式及应用，掌握等差数列的判定方法. 3.能用等差数列的定义推导等差数列的性质，能用等差数列的性质解决一些相关问题. 二、教学重难点 教学重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念. 教学难点：等差数列的通项公式推导及应用，以及通项公式推导过程中体现出的数学思想方法. 三、本节内容和内容解析 本节承接数列的函数特性，通过实际情境引入等差数列概念，明确其核心是＂差为定值＂；在此基础上，推导通项公式，建立首项、公差与任意项的关联，为后续等差数列前项和的学习奠定基础，是数列板块的核心知识点之一. 四、学情分析 本节课授课对象为高中二年级学生，已具备数列的概念、通项公式、递推关系等前置知识，能分析简单数列的规律；同时掌握了函数、方程等相关知识，具备一定的逻辑推理能力.但对于＂递推关系转化为通项公式＂的推导过程缺乏经验，需要教师引导逐步突破. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材11-14页内容 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师提问：生活中存在许多有规律的数列现象，比如电影院座位排列：第1排18个座位，第2排20个，第3排22个，第4排24个......这些座位数构成的数列有什么规律？还有正整数的倒数、每年固定增长的产量等，哪些数列的变化规律具有共性？今天我们就来探究这类特殊数列——等差数列. (二)新课讲授 教师活动：展示3个实例，引导学生分析数列规律： 1．剧场座位数列：. 2．鞋码数列：. 3．地砖图案中白色地砖块数：. 提问：这3个数列从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点？ 学生活动：计算差值，讨论后总结：数列（1）的差为2，数列（2）的差为5，数列（3）的差为4，均为＂同一个常数＂. 教师活动：基于实例规律，给出等差数列的定义： 等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，这个常数称为公差（用表示）.对数列，满足：. 结合实例明确：数列（1）公差，数列（2），数列（3）. 教师活动：提出问题，判断＂＂是否为等差数列，说明理由. 师生活动：学生思考交流讨论，教师给出答案. 教师活动：已知等差数列首项为，公差为，引导用累加法推导通项公式： 1．由定义列递推式： 2．将个式子相加，得：，整理得通项公式： 验证时，公式成立. 学生活动：用通项公式计算实例（3）中第5个图案的白色地砖块数 教师活动：将通项公式变形为，说明：等差数列的通项是定义在正整数集上的一次函数型函数，其图象是直线上的等间隔点（横坐标为正整数）.公差是直线的斜率：时数列递增，时递减，时为常数列. 学生活动：结合实例（1）、实例（2），验证数列的增减性. 教师活动：提出问题，如果在两个数和之间插入一个数，使得成等差数列，那么应该满足什么条件？ 引导学生根据等差数列的概念推导：因为成等差数列，所以，解得. 定义：如果成等差数列，那么叫作和的等差中项. 例题讲评： 例1判断下面数列是不是等差数列． （1）；（2）． 解：（1）由，得，于是 由的任意性知，这个数列是等差数列． ，因为，所以这个数列不是等差数列． 例2（1）求等差数列的第10项；（2）已知等差数列，求和． 解：（1）由，得 （2）由，得，且．所以等差数列的首项，公差． 例3已知在等差数列中，．试求出此数列的通项公式． 解：设数列的通项公式为，由已知，得 这是一个以和为未知数的二元一次方程组．解这个方程组，得故数列的通项公式为 例4已知是等差数列图象上的两点． （1）求数列的通项公式； （2）画出数列的图象； （3）判断数列的增减性． 解：（1）因为是等差数列图象上的两点，所以由，解得，于是 （2）数列的图象是直线上一些等间隔的点，如下图． （3）由（1）可知，所以数列是递增数列． 例5一个木制梯形架的上、下两底边分别为，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度. 解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列成等差数列．依题意，有现要求，即中间5级的宽度． 所以 ， 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是． (三)课堂练习 1.若数列满足，则数列() A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为的等差数列 D.不是等差数列 2.已知5，x，y，z，21成等差数列，则的值为() A.26 B.29 C.39 D.52 (四)课堂小结 1．等差数列的概念：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，常数为公差. 2．等差数列的通项公式：. 3．等差数列通项与一次函数的关系：当时，是关于的一次函数；当时，为常数列. 4．等差中项：若成等差数列，则. (5) 布置作业 教材第15页，练习1-6. 学科网（北京）股份有限公司 $