专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 例2（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 例3（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 例4（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 例5（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 模型2.外接圆模型 例1（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 例2（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 例4（24-25九年级上·江苏南京·月考）【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 例5（24-25九年级上·全国·课后作业）填写表格：外心、内心的定义及性质 外接圆 内切圆 图形       定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是_________的交点 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是_________的交点 性质及位置 三角形的外心到_________相等． 锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的_________，直角三角形的外心在_________ 三角形的内心到_________相等． 三角形的内心一定在三角形的_________ 角度关系 ， 作图方法 从三角形中任意选两条边，作它们的_________，其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角，作它们的_________，其交点即为三角形的内心 作图 用尺规作三角形的外接圆    用尺规作三角形的内切圆    1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 2．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的内接三角形，是的直径，是的内心，则的度数是（   ） A． B． C． D．145° 5．（2023·湖北武汉·二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是的内切圆，分别切于点D，E，F，P是上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是 ． 10．（25-26九年级上·广西钦州·月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为 ． 11．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论： ①； ②若，则： ③； ④若点为的中点，则； ⑤若，则， 其中一定正确的是 ． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，是的外接圆，M是的内心，，则的长度为 ． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 16．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 17．（24-25九年级·上海·自主招生）已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数________； (2)连接，判断的形状并说明理由； (3)若，，求的周长________． 19．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 21．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 22．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图1，锐角内接于，是其内心，连接，，，并延长交于点，连接，． (1)写出与之间的数量关系，并说明理由； (2)设的直径长为． ①当时，直接写出的最小值为_____． ②当时，判断是否存在最大值?若存在，求出该最大值（用含有的代数式表示：若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·福建福州·月考）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 25．（2025·湖南长沙·一模）如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． (1)若，求的度数． (2)如图2，连接，若，求的长． (3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 26．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 27．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 28．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 29．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 例2（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 例3（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质； 设的内切圆切三边于点、、，连接、、，可得四边形是正方形，由切线长定理可知，，可得，，由勾股定理得，再求出内切圆的半径为，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴， ， ∴内切圆的半径为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：6． 例4（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 模型2.外接圆模型 例1（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外接圆与内切圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆的直径所对圆周角的性质，解题的关键是通过构造相似三角形建立外接圆半径、内切圆半径与圆心距之间的等量关系． 连接相关线段构造相似三角形，推导出；利用直径所对圆周角为直角，结合内心性质证明，得到；通过角的等量代换证明，得出；联立等式得到，代入，计算出圆心距． 【详解】解：如图，设的延长线与相交于E，作直线与分别交于点G、H，连接、．作直径，连接、、．设与的切点为D，连接． 设的半径为R的半径为． ∵， ∴， ∴，即①， ∵D为切点， ∴ ∵为直径， ∴ ∵， ∴， ∴，即，②， ∵I为的内心， ∴， 在中，∵ ， ∴， ∴③， 由②③得，④， 由①④得，． 由题意知，，代入得， 解得（负值舍去）， 故选：B． 例2（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 例3（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 例4（24-25九年级上·江苏南京·月考）【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【详解】（1）证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ， 平分 为的内心 （2）解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心 ， ，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求，如图： ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值 当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接 是的内心 是的直径 ， 的半径长为5， ，， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 例5（24-25九年级上·全国·课后作业）填写表格：外心、内心的定义及性质 外接圆 内切圆 图形       定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是_________的交点 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是_________的交点 性质及位置 三角形的外心到_________相等． 锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的_________，直角三角形的外心在_________ 三角形的内心到_________相等． 三角形的内心一定在三角形的_________ 角度关系 ， 作图方法 从三角形中任意选两条边，作它们的_________，其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角，作它们的_________，其交点即为三角形的内心 作图 用尺规作三角形的外接圆    用尺规作三角形的内切圆    【答案】三角形三条边的垂直平分线；三角形三条角平分线；三个顶点的距离；内部；外部；斜边的中点处；三条边的距离；内部；2；；垂直平分线；角平分线；图见解析 【分析】根据三角形内切圆与外接圆的定义、性质及位置、角度关系及尺规作图即可求解． 【详解】解：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点； 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点； 三角形的外心到三个顶点的距离相等； 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点处； 三角形的内心到三条边的距离相等； 三角形的内心一定在三角形的内部； ；； 从三角形中任意选两条边，作它们的垂直平分线，其交点即为三角形的外心； 从三角形中任意选两个角，作它们的角平分线，其交点即为三角形的内心． 如图所示：即为所求．    故答案为：三角形三条边的垂直平分线；三角形三条角平分线；三个顶点的距离；内部；外部；斜边的中点处；三条边的距离；内部；2；；垂直平分线；角平分线． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与外接圆的定义、性质及位置、角度关系及作图——尺规作图，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的内接三角形，是的直径，是的内心，则的度数是（   ） A． B． C． D．145° 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理以及三角形的内心，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据圆周角定理得到的度数，根据三角形内角和定理可得与的和，根据内心的定义即可得知的度数，再根据三角形内角和定理即可求得的度数. 【详解】解：是的直径， ， ， ． 是的内心， ，分别平分，， ，， ， ； 故选：B． 5．（2023·湖北武汉·二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 6．（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的性质和相似三角形的判定与性质，延长，于点，由四边形为矩形，可证，再根据性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵与，，均相切， ∴是的内切圆， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接，设与的边分别相切于H，M，N，连接O与三边的切点，则， ∴， 同理：， ∴ ∴， ∴， 故选：． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是的内切圆，分别切于点D，E，F，P是上一点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接，切线的性质，得到，四边形的内角和求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是的内切圆，E，F是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 10．（25-26九年级上·广西钦州·月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论： ①； ②若，则： ③； ④若点为的中点，则； ⑤若，则， 其中一定正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断；证明，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不正确； ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故⑤不正确； ∴一定正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，是的外接圆，M是的内心，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角，三角形的外接圆与内心，正方形的判定与性质，中位线，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点M作，垂足分别为D，E，F，延长交于点G，连接，先证明，推导出，继而证明四边形为正方形，得到，延长交于点P，作的中点N，连接，证明，继而得到点A、N、G是在以为直径的圆上，则，推导出，，．再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】解：过点M作，垂足分别为D，E，F，延长交于点G，连接，如图 ∵是的外接圆，， ∴为的直径，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为的中点，且点O为的中点， ∵M是的内心， ∴， ， 延长交于点P，作的中点N，连接，如图 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵N是的中点， ∴，， ∴， 即点A、N、G是在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ， 解得 ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，内心的定义． 先求出，然后求出，再由内心的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴和是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 中，为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 16．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 17．（24-25九年级·上海·自主招生）已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，也考查了勾股定理的应用． 【详解】解：在直角三角形中， ，，， 根据勾股定理可得：． 设，则， 在直角三角形中，同理可得． 设的内切圆半径为​，根据直角三角形内切圆半径公式（其中为直角边，为斜边），可得：． 设的内切圆半径为​，其周长为， 在中，， 可得其周长． ， 由三角形内切圆公式可得，． ， ． 设，则方程化简为：， 交叉相乘得，， 展开左侧并化简，结合，解得． 将代入得：，解得（负值舍去）． 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数________； (2)连接，判断的形状并说明理由； (3)若，，求的周长________． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)14 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而得出，再根据圆内接四边形对角互补，即可求出的度数； （2）连接，根据三角形内心的定义，得到，，再结合直角所对的圆周角是直角，求出，进而证明，即可判断的形状； （3）过点作，，，垂足为、、，根据三角形内心的定义和角平分线的性质，得到，，再利用全等证明，，，在直角三角形中，求出，，再将的周长转化为求的长即可． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 如图，连接， 点为的内心， 平分，平分， ，， 是的直径， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，过点作，，，垂足为、、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 在和中，，， ， ， 同理可证，，， 由（2）可知，， ，， ， 在中，，， ， 的周长 ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆周角，圆内接四边形、三角形内心，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，掌握相关知识点是解题关键． 19．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）利用三角形内心的定义可得，，利用同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形外角的性质可得，即可证明； （2）过点作于点，由得到，利用垂径定理的推论证得，则有，，进而推出，得到，再利用三角形内心的性质得到，再结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的内心，即点是内切圆的圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆综合问题，涉及圆周角定理、等角对等边、垂径定理、三角形的内心、全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形内心的定义及性质是解题的关键． 22．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)120 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得到，，再利用三角形的内角和定理解答即可； （2）设与交于点，利用（1）的方法得到，利用圆周角定理，角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可得出，则可得结论； （3）连接，利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，圆周角定理和等式的性质得到，则，利用垂径定理可得，则；利用相似三角形的判定与性质求得．则；利用相似三角形的判定与性质得到，则可求结论． 【详解】（1）解：是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故答案为：120； （2）证明：设与交于点，如图，   是的内心， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ． ，， ， ， ； （3）解：连接，如图，   是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． ，， ， ， ． ， 关于的函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图1，锐角内接于，是其内心，连接，，，并延长交于点，连接，． (1)写出与之间的数量关系，并说明理由； (2)设的直径长为． ①当时，直接写出的最小值为_____． ②当时，判断是否存在最大值?若存在，求出该最大值（用含有的代数式表示：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②的最大值为． 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得，由内心的性质得到，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）①过点作的直径，连接，先求得，由是最长的弦，则有最小值，据此求解即可； ②过点作的直径，连接，利用正弦函数的定义求得，同理，得到，根据对于两个固定和的两个角，它们的正弦值之和在这两个角相等时最大；据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形内接于， ∴， ∵是内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：①过点作的直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是最长的弦， ∴有最小值，的最小值为， 故答案为：； ②过点作的直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ ， 对于两个固定和的两个角，它们的正弦值之和在这两个角相等时最大； 即当时，的值最大； 由（1）知， ∴， ∴当时，的值最大； ∴的最大值为． 24．（24-25九年级上·福建福州·月考）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 25．（2025·湖南长沙·一模）如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． (1)若，求的度数． (2)如图2，连接，若，求的长． (3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，y的最大值 【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理； （1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解； （2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可； （3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到， ，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：∵点E为的内心， ∴和是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：连接交于，连接，过作于， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴当即与重合时，最大． 26．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义． （1）连接，证明，根据等角对等边可得结论； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例可得，，根据可得结论． 【详解】（1）证明：连接．    ∵点E是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 27．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 28．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 29．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $