1.2 等腰三角形 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第2节 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质定理 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过回顾全等三角形判定、平行线性质等旧知识，能独立选择辅助线，严谨证明等腰三角形 “等边对等角” 的性质，并尝试至少两种不同证法. 2.通过逆向思维探究和例题分析，能理解反证法的核心逻辑，并用反证法独立完成1-2个简单几何命题的证明. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:优秀班集体是对一个班集体的整体表现的综合评价.不难看出，右边的图是按照大家熟悉的某种图形设计的，为什么要选它来设计呢？它究竟又怎样的特征呢？ 4 问题构建 数学抽象 原来是一个等腰三角形！ 问题1:我们曾经探索过等腰三角形的一些性质,你还记得这些性质吗？ 等腰三角形两底角相等，三线合一，轴对称图象. 追问1:以两底角相等为例,过去的学习中是怎样研究的？ 动手折叠，观察两底角的重合情况 5 问题构建 问题背景:动手折叠的结果可以直观感受两个底角相等,你能利用学习过的知识,严谨地证明这个结论吗？ 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为:等边对等角. 追问2:对于类似的自然语言型证明，我们需要经历哪几个步骤？ 画图→书写已知和求证→研究证明思路→规范书写证明过程→反思思考 追问3:结合折纸的过程思考，证明的核心思路是什么？ 两个角相等 转化 三角形全等 问题构建 已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C 问题2:为了证明∠B和∠C所属的三角形全等，应该先构造两个三角形,你打算怎样做辅助线？ 证明：取BC的中点D，连接AD. ∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD≅△ACD（SSS） ∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 找到底边BC的中点D，连接AD即可得到两个三角形进行证明 问题构建 问题3:除了构造BC中点的方法,你还有其他方法构造三角形证明全等吗？ 证明：过点A作AD⊥BC于D 在Rt△ABD中，由勾股定理得： 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ∵AB=AC ∴BD=CD 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD≌△ACD(SSS) ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 问题构建 问题3:除了构造BC中点的方法,你还有其他方法构造三角形证明全等吗？ 证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于D ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 在△ABD和△ACD中 ∴ △ABD≌△ACD(SAS) ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 协作破冰 一、三种证法的相同点 1.核心思路一致：都是通过添加辅助线构造 再利用全等三角形的 证明∠B=∠C. 2.都用到了公共边 作为全等证明的条件之一. 3.最终结论相同：都证明了等腰三角形的两个底角 全等三角形 对应角相等 AD 相等 二、三种证法在辅助线上的不同点 分别作了底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线 三、这三种辅助线有什么特殊的位置关系？ 在等腰三角形中，三条线是重合的. 协作破冰 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C，此时AB与 AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法. 协作破冰 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°，∠B=90°. 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180° 这与三角形内角和定理相矛盾,因此“∠A 和∠B是直角”的假设不成立. 所以,一个三角形中不能有两个角是直角. 已知:△ABC.求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角. 协作破冰 例3 求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线1,2,3在同一平面内,且1∥2,3与1相交于点P. 求证: 3与2相交. 假设____________,那么_________. 这与“______________________________________ ________________”矛盾. 所以___________,即求证的命题正确. 证明: 因为已知_________, 所以过直线2外一点P,有两条直线和2平行, P 经过直线外一点,有且只有一条直线 与已知直线平行 假设不成立 3与2 不相交 3∥2 1∥2 教师示范 反证法解题模板 【步骤1：明确命题】 已知：[题目给出的已知条件] 求证：[题目要求证明的结论] 【步骤2：提出反设】 假设命题的结论不成立,即写出结论的反面： 例如:若结论是“不能有两个角是直角”，则反设为“有两个角是直角”； 若结论是“AB≠AC”,则反设为“AB=AC” 【步骤3：推导矛盾】 从反设出发,结合已知条件、定义、基本事实或已有定理,进行逻辑推导,最终得到一个与已知条件、定理、定义或基本事实相矛盾的结果. 【步骤4：否定反设】 因为推导出现了矛盾,所以“假设结论不成立”的这个反设是错误的. 【步骤5：肯定原结论】 既然反设不成立，那么原命题的结论一定成立 教师示范 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D，过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判△BDE的形状,并说明理由. 解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD平分∠ABC（已知） ∴ ∠EBD=∠CBD（角平分线的定义） ∵ DE∥BC（已知） ∴ ∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴∠EBD=∠EDB（等量代换） ∴ EB=ED（等角对等边） ∴ △BDE是等腰三角形（等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形） 巩固拓展 问题4:在上一个问题中，题目中出现了3个概念，你能找出是哪三个吗？ 角平分线、平行线、等腰三角形 追问:你能尝试总结三者之间关系吗？ 1.正向模型（角平分线+平行线→等腰三角形） 当一条角平分线与一条平行线组合时,必然会构造出一个等腰三角形. 用符号表示：角平分线+平行线⇒等腰三角形 2.逆向模型（等腰三角形+平行线→角平分线） 3.逆向模型（等腰三角形+角平分线→平行线） 巩固拓展 已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC，且∠1=∠2.求证:AB=AC 证明∵ AD∥BC（已知） ∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∴ ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠B=∠C（等量代换） ∴ AB=AC（等角对等边） 本节课，我们也初步感受了等腰三角形的相关判定方法，下节课进行星系学习. 当堂检测 如图，在中， ， ， 延长至点，使，延长至点 ，使 ，连接，.求 的度数. 当堂检测 解： ， . 又 ， . 同理可得 . . 当堂检测 2.如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点，分别落在直线， 上.若 ，则 的度数是( ) B B. C. D. 当堂检测 3.小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体 育老师教的方法确定适合自己的绳长：一 脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘 弯曲 ，小臂水平转 向两侧， A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米 两手将绳拉直，绳长即合适长度. 将图1抽象成如图2，若两手 握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小 华的绳长为( ) C 反思总结 1.回顾“等边对等角”的多种证明方法，你觉得哪种辅助线的构造思路最自然？它和你之前学过的哪类知识联系最紧密？ 2.对比直接证明和反证法的使用场景，你认为什么时候适合用反证法？请结合本节课的例子说明你的判断. 3.本节课的内容（等腰三角形性质、反证法）对你后续学习几何证明有什么启发？你觉得可以用到哪些未来的学习场景中？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第17页 第1题 二、素养类作业 搜索了解关于“反证法”的相关知识 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $