广东省东莞市2025-2026学年高一上学期期末考试模拟数学试题（人教A版必修一）

2025-2026学年第一学期高一数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集2，3，4，5，，集合，集合4，，则集合　　 A．2，3， B． C． D．3，4， 【答案】B 【分析】先求出2，，由此能求出集合． 【详解】解：全集2，3，4，5，， 集合，集合4，， 2，， 集合． 故选B． 【点睛】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的特点列出限定条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性是否成立. 【详解】解不等式，得；解不等式，得或。 设集合，或。 充分性：因为，故充分性成立； 必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立； 综上可得“”是“”的充分而不必要条件。 故选：A。 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，注意需从充分性和必要性两个方面分别判断，属于基础题。 4．幂函数在上单调递减，则等于（   ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】由已知可得或，分别验证即可求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，在上单调递增，不符合题意， 所以. 故选：. 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在定理即可求解. 【详解】因为，，，，， 所以，根据函数零点存在定理，函数的零点所在区间为. 故选:B. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再利用诱导公式求解即可. 7．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性,可得关于的不等式组,解不等式组即可确定的取值范围. 【详解】函数在上为减函数， 所以满足， 解不等式组可得. 故选：D. 8．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过0.1%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：（为正的常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（   ） A．5小时 B．10小时 C．12.5小时 D．15小时 【答案】B 【分析】先根据前5个小时消除了90%的污染物这一条件求出值，进而令可求出. 【详解】由题意，前5个小时消除了90%的污染物， ，， ，即，. 由题意得， 即，得，解得. 要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 10．下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若角是第二象限角，则是第四象限角 C．若，则的最小值为3 D．若，则 【答案】BC 【分析】选项A: 根据不等式性质即可判断； 选项B: 若角是第二象限角，得,从而推出的范围即可判断； 选项C: 根据基本不等式即可判断； 选项D: 取特殊值代入即可判断. 【详解】选项A:由，得， 故，故A错误； 选项B: 若角是第二象限角，得, 则， 故， 故是第四象限角，故B正确； 选项C: 若，则， 当且仅当即（负值舍去）时，不等式取等号， 即的最小值为3，故C正确; 选项D:由，设， 则， 由于，故，故D错误. 故选：BC 11．设函数为常数，，若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 【答案】ACD 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得的对称中心、对称轴、最小正周期，再三角函数图象变换的知识确定正确选项. 【详解】对于B，因为函数在区间上为单调函数， 所以，故B错误； 对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于C，由B可知. 又因为，所以，在同一个周期内， 又，所以是的一条对称轴， 所以 则与是相邻的对称中心与对称轴， 因为，，所以， 又，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，因为是的一条对称轴， 所以，，， 所以，解得， 所以， 因为向左平移个单位长度得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用余弦函数的对称性，结合条件求得的对称轴与对称中心，进而求得，由此得解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为第二象限角，角的终边上一点的坐标为，则 . 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边上一点的坐标为，所以. 故答案为：. 13．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可根据子集关系求解. 【详解】因为集合，， 所以：当时，，满足，因此为所求； 当时，，由得或，解得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 14．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用单调性与奇偶性解不等式． 【详解】因为当且时，总有， 即当时，，所以是上的减函数， 又，则是偶函数，且在上递减， 不等式即为，也即， 所以，，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）17；（2） 【分析】（1）由指数、对数运算性质运算即可；（2）由诱导公式化简即可求解. 【详解】（1） ． （2） . 16．若关于x的不等式的解集是． (1)求不等式的解集； (2)已知两个正实数x，y满足，并且恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）∵不等式的解集是， 是方程的两个根， ∴， 解得， 则不等式，即， 所以， 所以不等式的解集为； （2）∵恒成立， ∴， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 解得， 即实数a的范围是． 17．已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 18．党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式． (1)写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本） (2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分，两种情况讨论，即可求解． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故． （2）当时，， 故当时，取得最大值，且最大值为128， 当时， ， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136， 由于， 所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 19．设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 【答案】(1)在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； (2)； (3)的最小值为5；. 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； （2）， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； （3）令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集2，3，4，5，，集合，集合4，，则集合　　 A．2，3， B． C． D．3，4， 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．幂函数在上单调递减，则等于（   ） A． B．3 C．或3 D． 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过0.1%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：（为正的常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（   ） A．5小时 B．10小时 C．12.5小时 D．15小时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若角是第二象限角，则是第四象限角 C．若，则的最小值为3 D．若，则 11．设函数为常数，，若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为第二象限角，角的终边上一点的坐标为，则 . 13．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 14．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）化简：； （2）化简：． 16．若关于x的不等式的解集是． (1)求不等式的解集； (2)已知两个正实数x，y满足，并且恒成立，求实数a的取值范围． 17．已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 18．党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式． (1)写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本） (2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 19．设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $