第11讲 复数的概念与四则运算（思维导图+11知识点+八大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版

第11讲 复数的概念与四则运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：复数的有关概念与分类】 【题型02：复数相等】 【题型03：复数的几何意义】 【题型04：复数的模】 【题型05：复数的加减运算及其几何意义】 【题型06：复数的乘除法运算】 【题型07：复数的乘方运算】 【题型08：复数范围内方程的根】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 知识点2：复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3：复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 知识点4：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点5：共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点6：复数的加法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点7：复数的减法 1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 知识点8：复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 知识点9：复数的乘法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 知识点10：复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 知识点11：复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 【题型01：复数的有关概念与分类】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 2．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 3．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【题型02：复数相等】 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 5．已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型03：复数的几何意义】 1．（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 6．（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 7．（24-25高一下·河北·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型04：复数的模】 1．（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 2．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 3．（24-25高一下·河北·月考）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 【题型05：复数的加减运算及其几何意义】 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 3．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 5．已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 6．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 8．（20-21高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【题型06：复数的乘除法运算】 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）计算（1）；（2）；（3） 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 9．（24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 【题型07：复数的乘方运算】 1．（24-25高一·上海·随堂练习）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数，则（ ） A．2 B． C．1 D．0 6．已知复数，则复数（    ） A．1 B． C．0 D． 【题型08：复数范围内方程的根】 1．已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 4．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知i为虚数单位，设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（    ） A．且 B．且 C．或 D．或 6．（2024高一·全国·专题练习）若，是虚数单位，，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（2025高一下·江苏南京·专题练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 9．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．32 14．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 16．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 17．（24-25高一下·甘肃武威·期末）若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（23-24高一下·湖南株洲·期中）（多选题）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·吉林松原·期末）（多选题）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 20．（24-25高一下·广东清远·期中）（多选题）已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 21．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选题）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（24-25高一下·贵州·月考）（多选题）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 25．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 26．（1）计算：； （2）已知，求复数z． 27．（23-24高一下·河北张家口·期中）已知在复数范围内，关于x的一元二次方程有两个虚数根和，若，且的虚部为正数． (1)求实数k的值； (2)求的值． 28．计算（其中）： (1)； (2)． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 复数的概念与四则运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：复数的有关概念与分类】 【题型02：复数相等】 【题型03：复数的几何意义】 【题型04：复数的模】 【题型05：复数的加减运算及其几何意义】 【题型06：复数的乘除法运算】 【题型07：复数的乘方运算】 【题型08：复数范围内方程的根】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 知识点2：复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3：复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 知识点4：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点5：共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点6：复数的加法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点7：复数的减法 1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 知识点8：复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 知识点9：复数的乘法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 知识点10：复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 知识点11：复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 【题型01：复数的有关概念与分类】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 2．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 3．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2． 故选：C． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 6．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【详解】（1）由复数z为实数，得， 解得或 （2）由复数z为虚数，得， 解得且 （3）由复数z为纯虚数，得 解得. 【题型02：复数相等】 1．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 3．（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 5．已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果. 【详解】由题得， 所以，解得，所以. 故选：C 6．已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到关于的关系式，再根据的范围，结合二次函数图像与性质即可得解. 【详解】因为，，， 所以，消去，得， 则， 因为， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 所以. 故选：D. 【题型03：复数的几何意义】 1．（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【详解】复数对应的点，则复数. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求出共轭复数，再写出该复数对应复平面内的点的坐标，最后判断位于第几象限 【详解】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 4．（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 7．（24-25高一下·河北·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 8．（24-25高一下·湖南湘西·期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数所在象限有，即可判断所在的象限. 【详解】由已知复数在第四象限，则，所以在第一象限． 故选：A 【题型04：复数的模】 1．（24-25高一下·广西北海·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】利用复数的模的公式计算求解即可 【详解】因为复数，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】由复数模长公式直接计算即可. 【详解】由题. 故选：D 3．（24-25高一下·河北·月考）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 4．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，然后根据模相等列出等式，化简得出复数的实部和虚部相等. 【详解】设，则 ，. 因为，所以. 两边平方得：，解得. 从选项中可以看出只有C符合题目条件. 故选：C. 【题型05：复数的加减运算及其几何意义】 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 2．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 3．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可 【详解】由，得：，解得：. 故选：A 4．（24-25高一下·安徽·月考）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【分析】设，求出，列出方程求出即可求出z的虚部. 【详解】设，则， 即，解得， 故， 则z的虚部为. 故选：B. 5．已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设代入化简，即可求得复数；或利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】法一：设，则， 由复数相等，得，则， 即复数，所以，所以的虚部为． 法二：由，得，则有， 所以的虚部为． 故选：A． 6．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用向量平行四边形法则作图可得答案. 【详解】（1）向量对应的复数是， ，用表示，如下图； （2）向量对应的复数是，， 用表示，如下图； 8．（20-21高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为 （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【详解】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【题型06：复数的乘除法运算】 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法法则计算即可． 【详解】由已知，， 故选：B. 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 3．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算，求出复数z，再利用模长公式即可求得结果. 【详解】，因为复数的模为， 所以，解得：． 故选：A 4．已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是. 故选：A 5．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算化简等式可得，结合可得结果. 【详解】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）计算（1）；（2）；（3） 【答案】（1）13；（2）（3） 【分析】（1）由复数乘法运算即可求解； （2）由复数乘法运算即可求解； （3）由复数乘法、除法运算即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数乘法运算求解； （2）由复数的除法运算化简求解. 【详解】（1）由题设； （2）由题设. 9．（24-25高一下·广东清远·期末）已知. (1)求实数； (2)若，求. 【答案】(1) (2)5. 【分析】（1）利用复数乘法，结合复数相等求出. （2）利用复数求出，进而求出其模. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由（1）得，则， 所以. 【题型07：复数的乘方运算】 1．（24-25高一·上海·随堂练习）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值． 【答案】1， 【分析】由的性质即可求解. 【详解】，，，，，，，． 则可注意到规律：从第一项起，每连续的四项之和为0，而， 前2024项之和为0． 则． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 3．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）． （2）原式． 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得复数，再由复数即几何意义可得在复平面对应的点即可求解. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C 5．已知复数，则（ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据复数乘法周期性，结合模长公式即可求解. 【详解】复数，则. 故选：B 6．已知复数，则复数（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的乘方即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 【题型08：复数范围内方程的根】 1．已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别化简集合与集合，再求出，最后求出. 【详解】，，． 故选：C． 2．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【详解】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程有虚根，判别式小于0求解； （2）根据实系数一元二次方程，可利用韦达定理可构造方程组求得，得解. 【详解】（1）时，关于的方程在复数集中有两个虚根， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）是关于的实系数方程的一个根， 是另一个根， ，解得. 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，方程为，利用韦达定理即可求解； （2）设，由得，又由即可求解. 【详解】（1）当时，，由韦达定理有， 所以， （2）由题意可设，所以， 即，由是方程的两根虚根，所以， 所以解得，所以. 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知i为虚数单位，设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义即可求解. 【详解】复数，在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2．（2023高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：D. 5．已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（    ） A．且 B．且 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【详解】复数为纯虚数，则，即，故， 由，则或． 故选：D． 6．（2024高一·全国·专题练习）若，是虚数单位，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为（）， 所以，即， 所以. 故选：D 7．（2025高一下·江苏南京·专题练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将已知等式进行化简求出，再求出的共轭复数即可. 【详解】已知，等式两边同时乘以得到. 将右边展开，移项可得，即. 且.所以.则 故选：C. 8．（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 9．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 11．已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先得到，的坐标，得到的坐标，再求其模或直接利用两点之间的距离计算即得. 【详解】法一：因为，，所以，， 所以，则，即. 法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，， 由勾股定理易得. 故选：B. 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据纯复数的定义：实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求得，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：， 所以，即； 所以. 故选：D 13．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】设，根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数相等的充要条件求出、的值，最后计算模即可. 【详解】设，则，所以， 又，所以，解得，所以， 则，则. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 15．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 16．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，解得. 故选：B 17．（24-25高一下·甘肃武威·期末）若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】首先根据题干得出共轭复数也是方程的根，然后利用韦达定理求出的值，进而得到复数，最后确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】复数是关于的一元二次方程的一个根， 它的共轭复数也是方程的根， 由韦达定理得，即， ， ， 故在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：. 18．（23-24高一下·湖南株洲·期中）（多选题）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用纯虚数的定义分析求解即可. 【详解】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确. 故选：BD 19．（24-25高一下·吉林松原·期末）（多选题）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 【答案】AD 【分析】利用复数除法运算得，求模判断A，求虚部判断B，代入方程计算判断C，求判断D. 【详解】因为， 则，z的虚部为，为纯虚数，故AD正确，B错误， 又因为， 所以不是方程的一个根，故C错误. 故选：AD. 20．（24-25高一下·广东清远·期中）（多选题）已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【分析】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可. 【详解】易知， 对于A，易知，其虚部为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点为位于第四象限， 故D错误. 故选：ABC 21．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据复数的乘法运算及复数的模判断A，根据复数除法运算及复数的模判断B，根据复数的模及共轭复数判断C，根据复数的乘法运算及复数模判断D. 【详解】设，由题意， 对A， ，， 所以，故A正确； 对于B： ， 而，所以，故B正确； 对于C：设，则，，，所以，故C正确； 对于D：， 所以不恒成立，故D错误. 故选：ABC 22．（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选题）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 23．（24-25高一下·贵州·月考）（多选题）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，，x，y，a，，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算判断选项. 【详解】设，，x，y，a，，则 对A，令，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，取，，则， ，故，故C错误， 对D，，， 得到，故，故D正确. 故选：BD 24．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 25．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【答案】(1)或. (2). (3). 【分析】（1）令复数的实部为零，解方程即可求得结果； （2）根据第二象限点坐标特征解不等式可得结果； （3）依题意可得复数的实部与虚部相等，解方程即可. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 26．（1）计算：； （2）已知，求复数z． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）利用复数的四则运算法则计算求解即可； （2）设，利用复数的运算、共轭复数的概念以及复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】（1） ； （2）设，由得，，即， 所以，解得或， 所以或. 27．（23-24高一下·河北张家口·期中）已知在复数范围内，关于x的一元二次方程有两个虚数根和，若，且的虚部为正数． (1)求实数k的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先设出复数，利用条件求出，结合根与系数的关系可得解； （2）先求出，利用周期性可得答案. 【详解】（1）设，则， 由题意，所以， 因为，所以，解得或（舍）. ，所以. （2）因为，， 所以 . 28．计算（其中）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数的乘方得到，，，（），再代入根据复数代数形式的乘法及加减运算法则计算可得. 【详解】（1）因为，，，，，，，（）， 所以； （2）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $