专项巩固训练卷(6)因式分解的六种常见方法&专项巩固训练卷(7)跨学科试题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

专项巩固训练卷（六） 学卧 因式分解的六种常见方法 ·方法一提公因式法 1.把下列各式分解因式： (1)9abc-6a2b2+12abc2; (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y) ·方法二公式法 2.把下列各式分解因式： (1)(x2+y2)2-4x2y2; (2)(x-1)+b2(1-x) ·方法三分组分解法 3.把下列各式分解因式： (1)m3+2m2-m-2; (2)9a2-4b2-6a+1. ·方法四拆、添项法 4.把下列各式分解因式： (1)m2-4mn+3n2; (2)x2-y2-8x-4y+12. ·方法五十字相乘法 5.新考向某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分 解因式。十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的 左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和 右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将代 数式x2+3x+2和2x2+x-3分解因式，如图，x2+3x+2=(x+1) (x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3). KX 1×2+1×1=3-1×2+1×3=1 5题图 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6; (2)2x2-7x+3. 数学·北师版·八年级·下册第23页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 ●方法六换元法 6.阅读材料A:利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,可以解决 很多的数学问题， 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,ab=1, 所以(a+b)2=9, 所以a2+b2+2ab=9, 所以a2+b2+2×1=9,得a2+b2=7. 材料B:在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一 个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结 构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小明同学用换 元法对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解的过程. 解：设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+1)2.(第四步) (1)请根据材料A,解答问题：若x-y=4,x2+y2=40,求y的值； (2)请根据材料B,解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请 你写出该因式分解的最后结果 ②因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1; （3)综合运用： 若实数x满足(2025-x)2+(x-2026)2=50,求(2025- x)(x-2026)的值. 见此图标园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 专项巩固训练卷（七） 学 跨学科试题 ·类型一跨建筑学科 1.(威海中考)我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 烈 B 2.某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端 A固定在楼顶部，绳子自然垂下至楼底还余2米，当绳子的下端从 点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面.求体育馆楼 高AC. 2题图 ·类型二跨美术学科 3.(齐齐哈尔中考)下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图 形的是 M AT H ·类型三跨生物学科 4.已知某实验菌种的生长温度t不低于20摄氏度且不高于45摄氏 度，则t的取值范围为 ●类型四跨物理学科 5.(江西萍乡期末)如图，用一个定滑轮带动重物上升，则重物上升 运动过程的现象是 .（填“平移”或“旋转”) 5题图 6.如图①，物理学把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作 法线，入射光线AO与法线ON的夹角∠1叫作入射角，反射光线 OB与法线ON的夹角∠2叫作反射角.由此可以归纳出：在反射现 象中，反射角等于入射角，即∠2=∠1.如图②，OA为平面反光镜， 经测量∠AOB=30°，在OB上选取一点E,从点E射出一束光线经 过OA上的点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，若OE=4,求 OD的长度 入射角 N 反射角 A、 B 入射光线 C 12/ 反射光线 C D 0 反射面 6题图① 6题图② 类型五跨信息科技学科 7.如图①，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底 板0A的夹角为150°，侧面示意图如图②.如图③，使用时为了散 热，他在底板下垫人散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示 意图如图④(C,O',B'三点共线).已知OA=OB,O'C⊥OA于点C, A0:0'C=5:3,AC=40cm. 数学·北师版·八年级·下册第24页 (1)求0A的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少？ 底板显示屏 B B 150° 0 A 0 7题图① 7题图② B' 0 0' 散热架 B A Co 7题图③ 7题图④ 类型六跨地理学科 8.如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时整，一艘船 从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到 达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该 船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. -C 北 北 西 B E东 8题图全程时习测试卷·数学·北师版·八年级·下册 m-2=5, k=-2m, 74 .另一个因式为x+7,k的值为-14 21.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2 （2)第n个等式为 (2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2. 证明：等式左边：（2n+1)2=4n2+4n+1, 等式右边：[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n] =[(n+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+1)·2n+1 (n+1)·2n] =[(n+1)·4n+1]×1=4n2+4n+1, “.等式左边=等式右边，故等式成立 22.解：(1)x2-a2+x+a =(x2-a2)+(x+a) =(x+a)(x-a)+(x+a) =（x+a)(x-a+1): (2)ax +a2-2ab-bx +b2 =(a2-2ab+b2)+(ax-bx) =(a-b)2+x(a-b) =(a-b)(a-b+x). (3)a-2a3b+2a2b2-2ab2+b =(a+2a2b+b4)-(2a3b+2ab3)》 =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2-2ab+62) =(a2+b2)(a-b)2. 根据题意，得a2+b2=9,(a-b)2=1, .原式=9 23.解：(1)25 (2)(a-4)(a-8) (3)4x2+4x+5=4x2+4x+1+4=(2x+1)2+4. .（2x+1)2≥0， .(2x+1)2+4≥4， .4x2+4x+5的最小值为4. (4)3[解析]a2-5a-b+7=a2-4a+4-a-b+3= (a-2)2-a-b+3.a2-5a-b+7=0,.(a-2)2-a- b+3=0,.a+b-3=(a-2)2≥0，.a+b≥3，.a+b的 最小值为3. 专项巩固训练卷（六） 因式分解的六种常见方法 1.解：(1)原式=3ab(3c-2ab+4c2). (2)原式=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)(5x-y）=(x- 2y)[2x+3y+2(5x-y)]=(x-2y)(2x+3y+10x-2y）= (x-2y)(12x+y). 2.解：(1)原式=(x2+y2+2x)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. (2)原式=(x-1)-b2(x-1)=(x-1)(1-b2) =(x-1)(1+b)(1-b). 3.解：(1)原式=(m3+2m2)-(m+2)=m2(m+2)-(m+2)= (m2-1)(m+2)=(m+1)(m-1)(m+2). (2)原式=(9a2-6a+1)-462=(3a-1)2-462=(3a- 1+2b)(3a-1-2b). ·14 4.解：(1)原式=m2-4mn+4n2-2=(m-2n)2-n2=(m- 2n+n)(m-2n-n)=(m-n)(m-3n). (2)原式=x2-8x+16-y2-4y-4=(x-4)2-(y+2)2= (x+y-2)(x-y-6) 5.解：(1)如答图①. 2 1 3 1×3+1×2=5 5题答图① 由答图①可知x2+5x+6=(x+2)(x+3). (2)如答图②. 1 -3 -1×1+2×(-3)=-7 5题答图② 由答图②可知2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). 6.解：(1)x-y=4,x2+y2=40, .(x-y)2=42, x2+y2-2xy=16, .40-2xy=16, 解得xy=12. (2)①(x-1)4[解析]设x2-2x=y,原式=(y-1)(y+ 3)+4=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=[(x- 1)2]2=(x-1)4,故答案为(x-1)4. ②(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2. (3)设2025-x=a,x-2026=b, .a+b=2025-x+x-2026=-1. 实数x满足(2025-x)2+(x-2026)2=50, .a2+62=50. (a+b)2=(-1)2,a2+b2+2ab=1, 即50+2b=1,2b=-49b=-49, (2025-x0(x-2026)=-9 专项巩固训练卷（七） 跨学科试题 1.A 2.解：设体育馆楼高AC为x米，则绳长AB为(x+2)米. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, .(x+2)2=x2+62,解得x=8. 答：体育馆楼高AC为8米 3.D 4.20≤t≤455.平移 6.解：如答图，过点D作DF⊥AO交OB于点F. A D 1A 3 2 B F E 0 6题答图 ·反射角等于入射角，.∠1=∠3. CD∥0B,∠1=∠2，.∠2=∠3. 在Rt△D0F中，∠0DF=90°，∠D0F=30°， .∠3=∠2=60°，.∠DEF=∠3=∠2=60°， ∴.△DEF是等边三角形，∠EDO=∠AOB=30°， .DE =EO=4...DF=FE=DE=4...OF=8. 在Rt△D0F中，0D=√OF2-DF2=√82-42=43， 因此，OD的长度为43 7.解：(1)0'C⊥0A,.∠AC0'=90°. .A0:0'C=5:3, .可设A0'=5xcm,0'C=3xcm 在Rt△A0'C中，由勾股定理，得A02=AC2+O'C2, ∴.(5x)2=402+(3x)2,解得x=10(负值舍去)， .0A=A0'=50cm. (2)如答图，过点B作BD⊥A0交AO的延长线于点D. B 0' R C0“ 7题答图 .·∠A0B=150°，∴.∠B0D=30°，∴.BD= OB=OA =50 cm,.'.BD =25 cm. 由(1)易得0'C=30cm,0'B'=A0'=50cm, .'B'C=0'B'+0'C=80 cm,..B'C-BD=55 cm, ∴.显示屏顶部B'比原来升高了55cm. 8.解：(1)根据题意，得∠BAC=90°-75°=15°， ∠CBE=90°-60°=30°，AB=15×2=30(海里)， .∠C=30°-15°=15°， .∠BAC=∠C,∴.BC=AB=30海里， 答：B处到灯塔C的距离为30海里. (2)若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险 理由如下：过点C作CD⊥AE于点D,如答图. C 北 北 西A B DE东 8题答图 ∠CBD=30°，BC=30海里， CD=Bc=15(海里). .15<16, .若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险. 第五章分式与分式方程 基础过关检测卷 1.D2.C3.C4.B5.B6.D7.D8.A9.A 10.D[解析]去分母，得ax=12+3x-9,即(a-3)x=3.若 方程无解，则必须满足α-3=0且3≠0，此时a=3;若方 程的解=2为原方程的增根，即三=3，代入，得。 3,解得a=4,因此，a的值为3或4.故选D. 1.-号12.石13.114.28 15.x=10[解析]根据题意，得(-3)@x=(-3)2-x 1 9-x'9-x-9-2,解得x=10,经检验x=10是原分式 11 1 参考答案及解析 方程的解，所以(-3)@=)-2的解是x=10 16.解：(1)原式=4 @照武高-2g2.2 x+2 x+2 x-3,(x+1)21+x-1 (3)原式=(x+1)(x-·x-3-1 =x+1x=1 x-1x-1x-11 17.解：(1)3=2 x-3=x, 方程两边都乘x(x-3),得3x=2(x-3), 解得x=-6. 检验：当x=-6时，x(x-3)≠0， 所以x=-6是原分式方程的解， 即原分式方程的解是x=-6. (223+2=2 3 方程两边都乘(x-2),得x-3+2(x-2)=-3, 4 解得x=3 检验：当x=号时，-2≠0， 所以x=号是原分式方程的解， 即原分式方程的解是x=手 18.解：原式[2a-2g2]44 La+2 a+2 -。-a2+4.(a+2)(a-2 a+2 4a 4.（a+2)(a-2】 a+2 4a =4-2 a 当a=2时，原式=1-2=1-2=1-2. √2 a a+2,1 19.解：(1)P=(a+2)(a-2)‘a(a-3)ta-2 1 1 F(a-2(a-3)+a-2 1+a-3 (a-2)(a-3) a-2 =(a-2)(a-3) (2)由题意可知1<a<5. 因为a为整数，所以a可取2,3,4. 由分式有意义的条件可知a≠2，且a≠3，故a=4, 1 所以P=4-3=1. 20.解：(1)x(x-3)去分母等式的基本性质 (2)检验：当x=3时，x(x-3)=0, .x=3是原分式方程的增根，原分式方程无解 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须 检验. ·15·